吉林省“三區(qū)九校”2023-2024學年高一下學期7月期末考試數學

2023~2024學年度下學期高一期末考試數學試卷全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的共軛復數是（）A. B.C. D.2.已知是兩個單位向量，則下列四個結論正確的是（）A B. C. D.3.如圖，正方形OABC邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積是（）A. B. C. D.4.從4，2，3，8，9中任取兩個不同的數，記為（a，b），則為正整數的概率為（）A. B. C. D.5.為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位:℃），高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（單位:℃）則高三（一）班這組數據的第25百分位數和高三（二）班第80百分位數分別為（）A.36.3，36.7 B.36.3，36.8 C.36.25，36.7 D.36.25，36.86.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）Aα∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于7.隨著卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會在某場比賽結束后，隨機抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進行調查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組:[20，25），第二組:[25，30），第三組:[30，35），第四組:[35，40），第五組:[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第四組與第五組共有150人，第二組中女性球迷有75人，則第二組中男性球迷的人數為（）A.140 B.120 C.100 D.808.已知中，角對應的邊分別為，，，是的中點且，，則的最大值是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.B.在上的投影向量為C.與共線的單位向量的坐標為D.向量，夾角余弦值為10.已知事件則下列說法正確的是（）A.若則 B.若互斥，則C若獨立，則 D.若獨立，則11.已知四邊形ABCD是等腰梯形（如圖1），，，，將沿DE折起，使得（如圖2），連接AC，AB，設M是AB的中點.下列結論中正確的是（）A.B.點D到平面AMC的距離為C.∥平面ACDD.四面體ABCE的外接球表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓臺的上，下底面半徑分別為2和6，母線長為8.則該圓臺的表面積為______.13.已知事件、互斥，，且，則_______.14.如圖，一幢高樓樓面上有一塊浮雕，上沿為C，下沿為，某班數學小組在斜坡坡腳處測得浮雕下沿的仰角滿足，在斜坡上的處測得滿足．已知斜坡與地面的夾角為滿足，，則浮雕的高度（上下沿之間的距離）為______m.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知z是復數，z+1為純虛數，的實部為2（i為虛數單位）.（1）求復數z;（2）求模.16.在中，內角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，且，求的面積．17.某校對2022年高一上學期期中數學考試成績（單位：分）進行分析，隨機抽取100名學生，將分數按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：請完成以下問題：（1）估計該校高一期中數學考試成績的平均數；（2）為了進一步了解學生對數學學習的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求抽取的這2名學生至少有1人成績在內的概率.18.在四棱錐中，平面，，分別為，的中點，.（1）求證:平面平面;（2）求二面角的大小.19.國務院正式公布的《第一批全國重點文物保護單位名單》中把全國重點文物保護單位（下述簡稱為“第一批文保單位”）分為六大類.其中“A：革命遺址及革命紀念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及歷史紀念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遺址”、“F：古墓群”，某旅行機構統(tǒng)計到北京部分區(qū)的17個“第一批文保單位”所在區(qū)分布如下表：行政區(qū)門類個數東城區(qū)A：革命遺址及革命紀念建筑物3C：古建筑及歷史紀念建筑物5西城區(qū)C：古建筑及歷史紀念建筑物2豐臺區(qū)A：革命遺址及革命紀念建筑物1海淀區(qū)C：古建筑及歷史紀念建筑物2房山區(qū)C：古建筑及歷史紀念建筑物1E：古遺址1昌平區(qū)C：古建筑及歷史紀念建筑物1F：古墓葬1（1）某個研學小組隨機選擇該旅行社統(tǒng)計的北京市17個“第一批文保單位”中的一個進行參觀，求選中的參觀單位恰好為“C：古建筑及歷史紀念建筑物”的概率；（2）小王同學隨機選擇該機構統(tǒng)計到的北京市“第一批文保單位”中的“A：革命遺址及革命紀念建筑物”中的一個進行參觀；小張同學隨機選擇統(tǒng)計到的北京市“第一批文保單位”中的“C：古建筑及歷史紀念建筑物”中的一個進行參觀，兩人選擇參觀單位互不影響，求兩人選擇的參觀單位恰好在同一個區(qū)的概率；（3）現在擬從該機構統(tǒng)計到的北京市“第一批文保單位”中的“C：古建筑及歷史紀念建筑物”中隨機抽取2個單位進行常規(guī)檢查.記抽到海淀區(qū)的概率為，抽不到海淀區(qū)的概率為，試判斷和的大小.2023~2024學年度下學期高一期末考試數學試卷全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的共軛復數是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先將復數的分母化成實數，再求其共軛復數即可.【詳解】而的共軛復數是故選：B.2.已知是兩個單位向量，則下列四個結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用單位向量的定義與向量數量積運算即可得解.【詳解】對于A，因為是兩個單位向量，但兩者方向不一定相同，所以不一定成立，故A錯誤；對于B，，顯然不一定成立，故B錯誤；對于C，，則，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D.3.如圖，正方形OABC邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據斜二測畫法的規(guī)則，確定原圖形的底和高，求出它的面積即可．【詳解】在直觀圖中，，所以在原圖中，如圖，所以原圖形的面積是．故選：C．4.從4，2，3，8，9中任取兩個不同的數，記為（a，b），則為正整數的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應用列舉法利用古典概型計算即可.【詳解】從4，2，3，8，9中任取兩個不同的數，記為，共有20個基本事件，分別為，，記“為正整數”為事件A，所以事件A包含3個基本事件：，故其概率為．故選:A．5.為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位:℃），高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（單位:℃）則高三（一）班這組數據的第25百分位數和高三（二）班第80百分位數分別為（）A.36.3，36.7 B.36.3，36.8 C.36.25，36.7 D.36.25，36.8【答案】B【解析】【分析】利用百分位數的定義進行求解.【詳解】，故從小到大，選取第3個數據作為高三（一）班這組數據的第25百分位數，即36.3；，故從小到大，選取第8個和第9個數據的平均數作為第80百分位數，即.故選：B．6.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論．7.隨著卡塔爾世界杯的舉辦，全民對足球的熱愛程度有所提高，組委會在某場比賽結束后，隨機抽取了若干名球迷對足球“喜愛度”進行調查評分，把喜愛程度較高的按年齡分成5組，其中第一組:[20，25），第二組:[25，30），第三組:[30，35），第四組:[35，40），第五組:[40，45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第四組與第五組共有150人，第二組中女性球迷有75人，則第二組中男性球迷的人數為（）A140 B.120 C.100 D.80【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖求出第四組與第五組的頻率之和，即可求出樣本容量，再求出第二組的人數，即可得解.【詳解】由題意結合頻率分布直方圖可得，第四組與第五組的頻率之和為，第二組頻率為．因第四組與第五組共有150人，所以樣本容量，所以第二組人數為，所以第二組中男性球迷人數為．故選：C．8.已知中，角對應的邊分別為，，，是的中點且，，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，由兩邊平方得，由基本不等式求出.【詳解】因為，所以，由正弦定理得，可得，即，所以，又，則，是的中點，，故，兩邊平方得，，故，其中，故（當且僅當時符號成立），解得．故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.B.在上的投影向量為C.與共線的單位向量的坐標為D.向量，夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據數量積的坐標公式即可判斷A；根據投影向量的定義即可判斷B；根據共線向量及單位向量的定義即可判斷C；根據向量夾角的坐標公式即可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，在方向上的投影向量，故B錯誤；對于C，與共線的單位向量為，即或，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：AD．10.已知事件則下列說法正確的是（）A.若則 B.若互斥，則C.若獨立，則 D.若獨立，則【答案】ABD【解析】【分析】利用概率的性質及互斥事件和獨立事件的概念,可以作出判斷.【詳解】若，則，故A正確；因為A，B互斥，所以，故B正確；因為A，B獨立，由獨立事件的性質可知：二者同時發(fā)生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故C錯誤；因為A，B獨立，所以，故D正確．故選:ABD．11.已知四邊形ABCD是等腰梯形（如圖1），，，，將沿DE折起，使得（如圖2），連接AC，AB，設M是AB的中點.下列結論中正確的是（）AB.點D到平面AMC的距離為C.∥平面ACDD.四面體ABCE的外接球表面積為【答案】ABD【解析】【分析】對于A：在圖1中，過作，連接，易證平面，進而可得；對于B：到平面的距離即為到平面的距離，設點到平面的距離為，根據，求解即可；對于C：假設∥平面，從而得到平面∥平面，結合題意分析判斷；對于D：連接，易得為四面體的外接球的球心，再計算外接球表面積即可.【詳解】對于選項A：在圖1中，過作，如圖所示：，因為，所以四邊形是矩形，因為，所以，因為四邊形是等腰梯形，，所以，因為，所以.連接，則，因為，所以，得，則.在圖2中，因為，，，平面，所以平面，且平面，所以，且，平面，所以平面，由平面，可得，故A正確；對于選項B：因為，可得，所以，，因為到平面的距離即為到平面的距離，設點到平面的距離為，由，可得，解得，故B正確；對于選項C：假設∥平面，因為∥，平面，平面，則平面，又因為，平面，所以平面∥平面，與已知條件矛盾，故C錯誤；對于選項D：連接，如圖所示：因為，為直角三角形，且為的中點，所以，即為四面體的外接球的球心，所以四面體的外接球的半徑為，則四面體的外接球表面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓臺的上，下底面半徑分別為2和6，母線長為8.則該圓臺的表面積為______.【答案】【解析】【分析】利用圓臺的表面積公式即可求解.【詳解】由題意知該圓臺的表面積為：．故答案為：13.已知事件、互斥，，且，則_______.【答案】##0.8【解析】【分析】由已知事件、互斥，且，可求，進而根據對立事件概率公式得到答案.【詳解】解：事件、互斥，且，解得,.故答案為：.14.如圖，一幢高樓樓面上有一塊浮雕，上沿為C，下沿為，某班數學小組在斜坡坡腳處測得浮雕下沿的仰角滿足，在斜坡上的處測得滿足．已知斜坡與地面的夾角為滿足，，則浮雕的高度（上下沿之間的距離）為______m.【答案】【解析】【分析】過作于點，根據三角函數的定義，分別求得，和的長，再在中，由，結合兩角差的正切公式，推出的長，然后由，求解即可．【詳解】過作于點，則四邊形是矩形，在中，，所以，在中，，，所以，所以，，所以，在中，，而，所以，所以．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知z是復數，z+1為純虛數，的實部為2（i為虛數單位）.（1）求復數z;（2）求的模.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，由已知條件列方程求出即可；（2）由復數的乘法化簡，再由模長公式計算即可.【小問1詳解】設，由為純虛數，則，得由的實部為2，則，所以；【小問2詳解】，．16.在中，內角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根據正弦定理求出，再由，得；（2）由已知條件及正弦定理得，根據余弦定理得，求出，最后根據面積公式計算即可.【小問1詳解】因為，，所以由正弦定理得,，又，所以，又，所以.【小問2詳解】由，則，故，，所以，所以，又，整理得，則，解得，所以的面積為．17.某校對2022年高一上學期期中數學考試成績（單位：分）進行分析，隨機抽取100名學生，將分數按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：請完成以下問題：（1）估計該校高一期中數學考試成績的平均數；（2）為了進一步了解學生對數學學習的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求抽取的這2名學生至少有1人成績在內的概率.【答案】（1）71.5分；（2）.【解析】【分析】（1）根據頻率分布表求出，再求出樣本平均數，并估計該校高一期中數學考試成績的平均數.（2）求出在和內抽取的人數，再用列舉法求出概率即得.【小問1詳解】由，得，數學成績在頻率依次為：，樣本平均值為：，據此可以估計該校高一下學期期中數學考試成績估計71.5分.【小問2詳解】依題意，分數段內人數為，分數段內人數為，按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學生，則需在分數段內抽2人，記為，在分數段內抽3人，記為，設“從樣本中任取2人，至少有1人在分數段內”為事件A，則樣本空間，共10個樣本點，而A的對立事件，有1個樣本點，于是，所以抽取的這2名學生至少有1人在內的概率為.18.在四棱錐中，平面，，分別為，的中點，.（1）求證:平面平面;（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由可得，利用和，可證平面，進而可得，再結合中位線得到，再利用，可得，進而得證平面，利用面面垂直判定得出結果.（2）取的中點，連接，取的中點，連接，由題得平面，又，可得，進而是二面角的平面角，利用三角形中邊長的關系即可得出結果.【小問1詳解】，，平面平面，又，平面，又在中，分別為中點，故，又，又是中點，，又平面，平面，∴平面平面.【小問2詳解】取的中點，連接，取的中點，連接，由平面，可得平面，又，可得，因為是斜線在平面上的射影，可得，所以是二面角的平面角，二面角的平面角與互補，則在中，設，由，可得，在直角三角形中，，可得，即有，則二面角的大小為．19.國務院正式公布的《第一批全國重點文物保護單位名單》中把全國重點文物保護單位（下述簡稱為“第一批文保單位”）分為六大類.其中“A：革命遺址及革命紀念建筑