1112全等圖形及全等三角形（原卷版）

（蘇科版）八年級上冊數(shù)學《第1章全等三角形》1.1&1.2全等圖形及全等三角形知識點一知識點一全等圖形◆1、全等圖形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．【注意】全等形的形狀相同，大小相同，與圖形所在的位置無關，因此平移、翻折、旋轉前后的圖形全等．知識點二知識點二全等三角形◆1、全等形的有關概念和表示方法：（1）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．（2）三角形全等的符號：“全等”用符號“≌”表示．全等的表示方法：△ABC≌△FDE【注意】在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．（3）對應頂點、對應邊、對應角：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點；重合的邊叫做對應邊；重合的角叫做對應角．（4）尋找對應元素的規(guī)律①有公共邊的，公共邊一般是對應邊；②有公共角的，公共角一般是對應角；③有對頂角的，對頂角一般是對應角；④兩個全等三角形最大的邊是對應邊，最小的邊也是對應邊；⑤兩個全等三角形最大的角是對應角，最小的角也是對應角.◆2、三種常見的全等類型：（1）平移型；（2）翻折型；（3）旋轉型.全等變化：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀和大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的兩個圖形全等．知識點三知識點三全等三角形的性質◆性質1：全等三角形的對應邊相等．性質2：全等三角形的對應角相等．拓展：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等．②全等三角形的周長相等，面積相等．【注意】①全等三角形的性質是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應用時要會找對應角和對應邊．②要正確區(qū)分對應邊與對邊，對應角與對角的概念，一般地：對應邊、對應角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．題型題型一全等圖形【例題1】（2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）下列各組給出的兩個圖形中，全等的是（）A． B． C． D．解題技巧提煉根據(jù)定義來判斷全等圖形，能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形．【變式11】（2022秋?沙河市期末）與如圖全等的圖形是（）A．B． C．D．【變式12】（2022春?濟南期中）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．【變式13】（2022秋?欒城區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．兩個面積相等的圖形一定是全等圖形 B．兩個正方形是全等圖形 C．若兩個圖形的周長相等，則它們一定是全等圖形 D．兩個全等圖形的面積一定相等【變式14】在如圖所示的四個圖形中，屬于全等形的是（）A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④【變式15】（2023春?南山區(qū)期中）下列四個選項中，不是全等圖形的是（）A． B． C． D．題型二題型二全等三角形的概念及表示方法【例題2】如圖，若把△ABC繞點A旋轉一定角度就得到△ADE，那么對應邊AB，BC＝，對應角∠CAB＝，∠B＝．解題技巧提煉能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形．“全等”用符號“≌”表示．在記兩個三角形全等時，通常把對應頂點寫在對應位置上．【變式21】如圖，把△ABC繞點A旋轉一定角度得到△ADE，那么這兩個三角形的關系可用符號表示為，點B的對應頂點為，邊DE的對應邊為，∠BAC的對應角為．【變式22】如圖，△ABD≌△ACE，∠B＝∠C，則∠AEC的對應角是，BD的對應邊是．【變式23】已知△ADC≌△CEB，寫出兩個全等三角形的對應頂點、對應邊及對應角．【變式24】如圖，在△AEC≌△ADB，點E和點D是對應頂點．寫出它們的對應邊和對應角．【變式25】如圖，△ABC≌△DEF，AB和DE是對應邊，∠A和∠D是對應角，找出圖中所有相等的線段和角．題型三題型三利用全等三角形的性質求角度【例題3】（2022秋?梁子湖區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DBE，∠ABC＝80°，∠D＝65°，則∠C的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．35°解題技巧提煉先利用全等三角形的性質確定兩個三角形中角的對應關系，再由這種關系實現(xiàn)已知角和未知角之間的轉換，從而求出所要求的角的讀數(shù)等．【變式31】（2022秋?新豐縣期末）如圖所示，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠C＝95°，∠EAD的度數(shù)是（）A．44° B．55° C．66° D．77°【變式32】（2023春?渝中區(qū)校級期中）如圖，△ABC≌△ADE，線段BC的延長線過點E，與線段AD交于點F，∠AED＝108°，∠CAD＝12°，∠B＝48°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．28° B．36° C．38° D．42°【變式33】（2022秋?平橋區(qū)期末）如圖，N，C，A三點在同一直線上，N，B，M三點在同一直線上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM的度數(shù)等于（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式34】（2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，已知△ABC≌△ADE，且點B與點D對應，點C與點E對應，點D在BC上，∠BAE＝114°，∠BAD＝40°，則∠E的度數(shù)是°．【變式35】（2022春?榆林期中）如圖，AB與CD相交于點E，連接AD、AC、BC，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，求∠B的度數(shù)．題型四題型四利用全等三角形的性質求線段長【例題4】（2023?廣東模擬）如圖，△ABC≌△BAD，A的對應頂點是B，C的對應頂點是D，若AB＝8，AC＝3，BC＝7，則AD的長為（）A．3 B．7 C．8 D．以上都不對解題技巧提煉先利用全等三角形的性質確定兩個三角形中邊的對應關系，再由這種關系實現(xiàn)已知線段和未知線段之間的轉換，從而求出所要求的線段的長等．【變式41】（2023?長沙模擬）如圖，△ABC≌△DEF，DE＝5，AE＝2，則BE的長是（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式42】（2022秋?德城區(qū)校級期末）如圖，點E在AC上，△ABC≌△DAE，BC＝3，DE＝7，則CE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式43】（2023春?豐澤區(qū)期末）如圖，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD長為．【變式44】（2022?黎城縣一模）如圖，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7，求線段AB的長．【變式45】（2022秋?青縣校級月考）如圖，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是對應角．在△NMH中，MH是最長邊．在△EFG中，F(xiàn)G是最長邊，EF＝2.1cm，EH＝1.2cm，NH＝4.4cm．（1）寫出其他對應邊及對應角；（2）求線段NM及線段HG的長度．題型五題型五利用全等三角形的性質證明線段或角相等【例題5】如圖，△ABC≌△ADE，AC和AE，AB和AD是對應邊，點E在邊BC上，AB與DE交于點F．（1）求證：∠CAE＝∠BAD；（2）若∠BAD＝35°，求∠BED的度數(shù)．解題技巧提煉利用全等三角形的性質證明線段、角的數(shù)量關系的方法是先根據(jù)全等三角形的性質，得到線段、對應角相等，然后根據(jù)等量關系將已知線段、角進行等量代換，再結合圖形利用線段、角的和、差、倍、分關系進行計算、證明，此外，要注意挖掘圖形中隱含的條件.【變式51】（2022秋?淮安期中）如圖，點E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED．【變式52】如圖，已知△ABE≌△ACF，請確定BF與CE的大小關系，并說明理由．【變式53】如圖所示，已知△ABC≌△DCB，試說明∠ABD＝∠ACD．【變式54】（2023春?長春期末）如圖，△ABC≌△DEF，點A對應點D，點B對應點E，點B、F、C、E在一條直線上．（1）求證：BF＝EC；（2）若AB＝3，EF＝7，求AC邊的取值范圍．【變式55】如圖，A，E，C三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．題型六題型六利用全等三角形的性質判斷兩直線的位置關系【例題6】（2022春?白塔區(qū)校級月考）已知，如圖∠B＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三點共線．試說明：AC⊥CE．解題技巧提煉證明兩直線的位置關系時，通?？紤]平行、垂直特殊的關系，證明平行的方法是將問題轉化為證明同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補，這些角的關系一般可由全等三角形的性質得到；證明垂直的方法是將問題轉化為證明它們的夾角為90°或相關三角形的兩銳角互余.【變式61】（2023春?南岸區(qū)校級期中）如圖所示，已知AD⊥BC于點D，△ABD≌△CFD．（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的長．（2）求證：CE⊥AB．【變式62】（2022春?余江區(qū)期末）如圖，A，E，C三點在同一直線上，且△ABC≌△DAE．（1）線段DE，CE，BC有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．（2）請你猜想△ADE滿足什么條件時，DE∥BC，并證明．【變式63】如圖，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度數(shù)與DH的長；（2）求證：AB∥DE．【變式64】如圖，點A，O，B在同一直線上，且△ACO≌△BDO．證明：（1）點C，O，D在同一直線上；（2）AC∥BD．【變式65】如圖，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE與BD交于點F，試探究AE與BD有怎樣的大小關系和位置關系，并說明理由．題型七題型七全等三角形的性質在圖形變換中的應用【例題7】如圖，將長方形ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（）A．60° B．45° C．30° D．15°解題技巧提煉一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀和大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的兩個圖形全等,因此可利用全等三角形的性質解決問題．【變式71】如圖，將Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，則陰影部分的面積是．【變式72】（2022秋?橋西區(qū)期末）長方形ABCD如圖折疊，D點折疊到D'的位置，已知∠D'FC＝40°，則∠EFC＝（）A．120° B．115° C．112° D．110°【變式73】如圖，三角形紙片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使頂點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△AED的周長為（）cm．A．9 B．13 C．16 D．10【變式74】（2022?紅橋區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝BC，將△ABC繞點B順時針旋轉，得到△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC，BC于點D，F(xiàn)，則下列結論一定正確的是（）A．∠CDF＝∠A B．A1E＝CF C．∠A1DE＝∠C1 D．DF＝FC【變式75】如圖，將△ABC繞點A旋轉至△ADE的位置，使點E落在BC邊上，則對于結論：①DE＝BC；②∠EAC＝∠DAB；③EA平分∠DEC；④若DE∥AC，則∠DEB＝60°；其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式76】（2022秋?大興區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，點B的對應點為E，點A的對應點D落在線段AB上，連接BE．下列結論：①DC平分∠ADE；②∠BDE＝∠BCE；③BD⊥BE；④BC＝DE．其中所有正確結論的序號是．題型八題型八利用全等三角形的性質探究動點問題【例題8】如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，點D是AB中點，點P在線段BC上以每秒3個單位長度的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段CA上由點C向點A以每秒a個單位長度的速度運動．設運動的時間為t秒．（1）求CP的長（用含t的式子表示）；（2）若以點C、P、Q為頂點的三角形和以點B、D、P為頂點的三角形全等，并且∠B和∠C是對應角，求a和t的值．解題技巧提煉利用全等三角形的性質探究動點問題，主要是“化動為靜”，再利用全等三角形的對應邊相等解決問題，同時要注意對應關系的明確，有時要用到分類討論的思想.【變式81】（2022秋?煙臺期末）如圖，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動．同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，設運動時間為t（s），則當△ACP與△BPQ全等時，點Q的運動速度為．【變式82】（2023春?渭濱區(qū)期末）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動點P，從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s，設運動時間為ts．（1）如圖（1），當t＝時，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4