專題11直角三角形的邊角關(guān)系（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（北師大版）

專題1.1直角三角形的邊角關(guān)系（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)正弦：sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)正切：tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b).【知識(shí)點(diǎn)二】特殊三角函數(shù)度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°1【知識(shí)點(diǎn)三】解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：；(2)銳角之間的關(guān)系：；(3)邊角之間的關(guān)系：，，.【知識(shí)點(diǎn)四】解直角三角形的應(yīng)用(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用表示，則有.(3)方向角：平面上，通過(guò)觀察點(diǎn)作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點(diǎn)出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.(4)解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟：a.弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；b.將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；c.選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；d.得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】銳角三角函數(shù)；【考點(diǎn)2】特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算；【考點(diǎn)3】解直角三角形；【考點(diǎn)4】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合【考點(diǎn)5】三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題【考點(diǎn)一】銳角三角函數(shù)【例1】（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，若滿足，求所在直線的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】【分析】此題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)：根據(jù)及公共角證得，得到，根據(jù)三角函數(shù)值求得，得到，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，綜合掌握所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．解：∵，∴

又∵∠C是公共角，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，設(shè)所在的直線方程為，將，代入得，，∴，∴所在的直線為．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，則（

）

A． B．3 C． D．【答案】A【分析】本題考查正切的計(jì)算，熟知直角三角形中正切的表示是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案．解：在中，，，故選：A．【變式2】（2023上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)，則（1）與是否垂直？（填“是”或“否”）．（2）．（3）．

【答案】是//【分析】（1）如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，由題意知，，，由，，證明，則，則，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由勾股定理得，，由，可得；（3）由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．（1）解：如圖，作于，的延長(zhǎng)線于，

由題意知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：是；（2）解：由勾股定理得，，∵，∴，故答案為：；（3）解：由題意知，，即，解得，，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算【例2】（2023上·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再按照實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)絕對(duì)值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：；（2）．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式的性質(zhì)．【舉一反三】【變式1】（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┮阎?，則銳角的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，直接判斷的度數(shù)即可．解：，銳角的度數(shù)為，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握常見特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023上·山東濰坊·九年級(jí)高密市立新中學(xué)?？茧A段練習(xí)）．【答案】/【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的是三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．解：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的是三角函數(shù)值，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】解直角三角形【例3】（2023上·江西宜春·九年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？计谥校┤鐖D，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿、相交于點(diǎn)，、兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：，，．現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈成一條線段，且．（1）求證：；（2）求扣鏈與立桿的夾角的度數(shù)．（精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）見分析；（2）扣鏈與立桿的夾角【分析】（1）證，得，利用相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）作交于，由等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而求得，從而即可得解．解：（1）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，作交于，，∵，，，∴，，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形為矩形紙片，，現(xiàn)把矩形紙片折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處（不與重合），點(diǎn)落在處，此時(shí)，交邊于點(diǎn)，設(shè)折痕為．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，設(shè)，由矩形的性質(zhì)得，由折疊得，，則，因?yàn)?，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合題意的值為3，則，，所以，于是得到問(wèn)題的答案．正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊并且用代數(shù)式表示線段、、的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，四邊形是矩形，，，，由折疊得，，，，，，，且，，，，解得，（不符合題意，舍去），，，，故選：．【變式2】（2023上·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿著折疊得到，連接，分別交和于點(diǎn)和，已知，，若與相似，則的長(zhǎng)是．

【答案】1或3【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，分別進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．解：當(dāng)時(shí)，，

四邊形是矩形，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，

；綜上所述，的長(zhǎng)是1或3，故答案為：1或3．【考點(diǎn)四】銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合【例4】（2023上·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，，，交．求：（1）的長(zhǎng)；（2）的值．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義求出，再由勾股定理求出的長(zhǎng)即可；（2）先利用勾股定理求得，從而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函數(shù)值得出答案．（1）解：，，，，，；（2）解：，，由（1）知，由勾股定理得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形、特殊角三角函數(shù)值，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握解直角三角形的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，點(diǎn)在直線上，若矩形的周長(zhǎng)為，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為6，則點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角的余角相等，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)．利用矩形性質(zhì)求出的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出最后結(jié)果，其中證明是解題關(guān)鍵．解：四邊形為矩形，，，，，且矩形的周長(zhǎng)為，，解得：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為，故選:．【變式2】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D，菱形的一邊在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與交于點(diǎn)D，若的面積為30，則k的值等于．

【答案】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和解直角三角形，由題意得，，進(jìn)一步有，由得，，結(jié)合菱形面積求得x，可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可求得答案．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作過(guò)點(diǎn)C作，，設(shè)，

∵四邊形為菱形，∴，，∵，∴，同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴代入點(diǎn)C得：，故答案為：．【考點(diǎn)五】三角函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題【例5】（2023上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明利用所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)對(duì)小區(qū)樓房的高度進(jìn)行測(cè)量．他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得樓房頂端點(diǎn)的仰角為，向樓房前行在點(diǎn)處測(cè)得樓房頂端點(diǎn)的仰角為，已知測(cè)角儀的高度是（點(diǎn)，，在同一條直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓房的高度．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】樓房的高度約為【分析】本題考查了等腰三角形的判定、解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．先根據(jù)等腰三角形的判定可得，再在中，解直角三角形可得的長(zhǎng)，最后根據(jù)求解即可得．解：由題意得：，，，，，，，，在中，，，答：樓房的高度約為．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）一艘游輪從小島正南方向的點(diǎn)處向西航行海里到達(dá)點(diǎn)處，然后沿北偏西方向航行海里到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)觀測(cè)到小島在北偏東方向，則小島與出發(fā)點(diǎn)之間的距離為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)題意可得然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可解答.解：如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

由題意得：，在中,海里，，（海里），（海里）,海里，海里，在中,海里，海里，∴小島A與出發(fā)點(diǎn)B之間的距離為海里，故選:A.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.【變式2】（2023上