湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖南高一10月入學(xué)考試數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一、二章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．已知，則（）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題3．已知集合，則的非空真子集的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知a，b是非零實數(shù)，且是任意實數(shù)，則（）A． B． C． D．6．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．7．時下，新質(zhì)生產(chǎn)力成為人們茶余飯后的熱門話題．為了解學(xué)生在這方面的興趣情況，某校選取高一（1）班全班學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于對人工智能、新能源汽車、綠色能源是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項．經(jīng)統(tǒng)計，有41人對人工智能感興趣，27人對新能源汽車感興趣，20人對綠色能源感興趣，同時對人工智能和新能源汽車感興趣的有20人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣的有8人，同時對人工智能和綠色能源感興趣的有14人，對三種都感興趣的有4人．那么該班級學(xué)生的人數(shù)為（）A．50 B．51 C．52 D．538．在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即．下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”D．若，則二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列對象能構(gòu)成集合的有（）A．接近于2025的所有正整數(shù) B．小于的實數(shù)C．未來10年內(nèi)的房價趨勢 D．點與點10．已知正數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．11．已知對任意的，不等式恒成立，則a，b的可能取值有（）A． B． C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．命題“”的否定為_______．13．當(dāng)時，二次函數(shù)的最小值為，則______．14．已知關(guān)于的不等式只有有限個整數(shù)解，且0是其中一個解，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，寫出這些命題的否定，并判斷這些命題的否定的真假．（1）對任意的實數(shù)，都有；（2）存在實數(shù)，使得；（3）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（4）方程的每一個根都是正數(shù)．16．（15分）已知集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若是的子集，求的取值范圍．17．（15分）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若上述方程的兩個不同根都是負(fù)數(shù)，求的取值范圍．（2）上述方程是否存在兩根中恰有一個是正數(shù)，且為整數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．（17分）已知一矩形紙片的周長為，如圖，將沿向折疊，折過去后交于點．（1）證明：．（2）若改變的長度（矩形的周長保持不變），則的面積是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，說明理由．19．（17分）若至少由兩個元素構(gòu)成的有限集合，且對于任意的，都有，則稱為“一集合”．（1）判斷是否為“一集合”，說明理由；（2）若雙元素集為“一集合”，且，求所有滿足條件的集合；（3）求所有滿足條件的“一集合”．

湖南高一10月入學(xué)考試數(shù)學(xué)參考答案1．B因為，，所以．2．C對于，當(dāng)時，，所以是假命題，是真命題．對于，當(dāng)時，是真命題，是假命題．3．B因為，所以，故其非空真子集的個數(shù)為．4．A由都是有理數(shù)，得一定是有理數(shù)．當(dāng)是有理數(shù)時，不一定是有理數(shù)，比如是有理數(shù)，但是是無理數(shù)．故“”是“”的充分不必要條件．5．C對于A，當(dāng)時，不等式不成立，所以A錯誤．對于B，當(dāng)時，滿足，但，所以B錯誤．對于C，因為，所以，則，所以C正確．對于D，因為不一定成立，所以D錯誤．6．D由題意可得，故A，C均錯誤．因為，所以，D正確．，B錯誤．7．A由集合的容斥原理可得有11人只對人工智能感興趣，3人只對新能源汽車感興趣，2人只對綠色能源感興趣，同時對人工智能和新能源汽車感興趣但對綠色能源不感興趣的有16人，同時對人工智能和綠色能源感興趣但對新能源汽車不感興趣的有10人，同時對新能源汽車和綠色能源感興趣但對人工智能不感興趣的有4人，對三種都感興趣的有4人．那么所求該班級學(xué)生的人數(shù)為．8．D對于A，因為，所以，A錯誤．對于B，每個整數(shù)除以4所得的余數(shù)只有0，1，2，3，沒有其他余數(shù)，所以，又，所以，B錯誤．對于C，若，則，所以；若，則，不妨設(shè)，則，所以，所以a，b除以4所得的余數(shù)相同，即屬于同一“類”．故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“”，C錯誤．對于D，由，可設(shè)，則，所以，D正確．9．BD對于A，接近于2025的所有正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能構(gòu)成集合．對于B，小于的實數(shù)是確定的，能構(gòu)成集合．對于C，未來10年內(nèi)的房價趨勢不明確，不能構(gòu)成集合．對于D，點與點是兩個不同的點，是確定的，能構(gòu)成集合．10．ABD對于A，因為，且，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確．對于B，由，得，又，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B正確．對于C，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故C錯誤．對于D，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確．11．BCD當(dāng)時，由，可得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，此時不存在．當(dāng)時，由對任意的恒成立，作出的大致圖象，如圖所示．由題意可知又是整數(shù)，所以或或12．全稱量詞命題“”的否定為存在量詞命題“”．13．圖象的對稱軸為直線．當(dāng)時，，解得或，與矛盾，舍去．當(dāng)時，，解得．綜上可知，．14．或因為0是的解，所以．因為只有有限個整數(shù)解，所以．因為，所以或．15．解：（1）全稱量詞命題．原命題的否定：存在一個實數(shù)，使得．原命題的否定是真命題．（2）存在量詞命題．原命題的否定：對任意的實數(shù)，都有．原命題的否定是假命題．（3）全稱量詞命題．原命題的否定：有些素數(shù)，原命題的否定是偶數(shù)．原命題的否定是真命題．（4）全稱量詞命題．原命題的否定：方程至少有一個根不是正數(shù)．原命題的否定是假命題．．．．．．．16．解：（1）由，解得或，所以或．當(dāng)時，，故．（2）由于是的子集，當(dāng)時，則，解得，滿足是的子集；當(dāng)時，則滿足解得．綜上所述，，即的取值范圍為．17．解：（1）因為的兩個不同根都是負(fù)數(shù)，所以且解得，即的取值范圍為．（2）由題意，上述方程的兩根中恰有一個是正數(shù)，若該方程有一正一負(fù)根，則解得無整數(shù)解；若該方程有一正根一零根，則解得，此時一元二次方程為，不滿足題意．故滿足條件的整數(shù)不存在．18．（1）證明：設(shè)折疊后點變成，在與中，因為，所以．因為，所以．又，所以，所以．（2）解：由題意可知矩形的周長為．設(shè)，則．因為為直角三角形，所以，解得，從而，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，滿足，故當(dāng)時，的面積取得最大值，最大值為．19．解：（1）因為，所以不是“一集合”．（2）設(shè)．若，則或．由，解得（舍去）；將化簡為，因為，所以無正整數(shù)解．若，則或，由，