1822菱形的性質(zhì)與判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

18.2.2菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.注意：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.題型1：菱形的定義1.在?ABCD中，添加以下哪個(gè)條件能判斷其為菱形（）A．AB⊥BC B．BC⊥CD C．CD⊥AC D．AC⊥BD【分析】由菱形的判定和矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；故選項(xiàng)B不符合題意；C、CD⊥AC，不能判定ABCD是菱形；故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【變式11】在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD互相平分，要使四邊形ABCD為菱形，需添加的條件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由AC⊥BD，即可得出結(jié)論．【解答】解：要使四邊形ABCD為菱形，需添加的條件是AC⊥BD，理由如下：∵四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選：C．【變式12】下列條件中，不能判定一個(gè)四邊形是菱形的是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形 B．一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形 C．四條邊都相等的四邊形 D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形【分析】根據(jù)菱形的判定和平行四邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷，即可求解．【解答】解：A、∵一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，∴選項(xiàng)A不符合題意；B、∵一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形不一定是菱形，∴選項(xiàng)B符合題意；C、∵四邊相等的四邊形是菱形，∴選項(xiàng)C不符合題意；D、∵對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，∴選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問題.題型2：菱形的性質(zhì)求長(zhǎng)度2.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，連接AC，BD，若BD＝8，則AC的長(zhǎng)為（）A． B．8 C． D．16【分析】如圖，設(shè)AC，BD交于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，求得AD＝2OD＝8，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，設(shè)AC，BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，∴AD＝2OD＝8，∴AO＝＝＝4，∴AC＝2AO＝8，故選：C．【變式21】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為6和8，O為AC、BD的交點(diǎn)，H為AD上的中點(diǎn)，則OH的長(zhǎng)度為（）A．3 B．4 C．2.5 D．5【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，由三角形中位線定理可得OH＝AB，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，又∵點(diǎn)H是AD中點(diǎn)，∴OH＝AB，在Rt△AOB中，AB＝＝5，則OH＝AB＝2.5，故選：C．【變式22】如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，∠BAD＝60°，則AC的長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)菱形ABCD的周長(zhǎng)是16，∠BAD＝60°，可知△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，DO＝＝2，再根據(jù)勾股定理可求出AO，再根據(jù)菱形性質(zhì)可求出AC．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，且周長(zhǎng)是16，∴AD＝AB＝BC＝CD＝4，AB⊥CD，又∵∠BAD＝60°，∴△ADO是直角三角形且∠DAO＝30°，∴DO＝＝2，∴AO＝＝＝2，∴AC＝2A0＝4，故答案為：4．【變式23】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，）．【分析】過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，由菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求AD，BD，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，∵四邊形OABC是菱形，點(diǎn)O（0，0），A（4，0），∴OA＝AB＝4，AB∥OC，∴∠BAD＝∠AOC＝60°，∵BD⊥OA，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∴DO＝6，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（6，），故答案為：（6，）．題型3：菱形的性質(zhì)求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，連接AC，則∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】由菱形的性質(zhì)可得∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠D＝150°，∴∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝15°，故選：B．【變式31】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度數(shù)．【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB＝AD，從而求出AB＝AE，設(shè)∠BAE＝x，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠ABE，再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)列出方程求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD，∵AE＝AD，∴AB＝AE，設(shè)∠BAE＝x，則∠EAD＝2x，∠ABE＝（180°﹣x），∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE＝180°，∴x+2x+（180°﹣x）＝180°，解得x＝36°，即∠BAE＝36°．【變式32】如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部作菱形ABCF，則∠FAE的度數(shù)為（）A．30° B．32° C．36° D．40°【分析】由正五邊形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度數(shù)，由菱形ABCF可得，∠ABC和∠BAF互補(bǔ)，繼而求得∠BAF的度數(shù)，從而求出∠FAE的度數(shù)．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠ABC＝108°，∵四邊形ABCF是菱形，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故選：C．題型4：菱形的性質(zhì)與等面積法4.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝（）A． B． C．4 D．8【分析】由四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，可求得此菱形的面積與AB的長(zhǎng)，繼而求得答案．【解答】解：設(shè)AC與BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝＝5，S菱形ABCD＝AC?BD＝24，∵DH⊥AB，∴DH＝＝．故選：A．【變式41】如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝（）A．24 B．10 C． D．【分析】由菱形面積＝對(duì)角線積的一半可求面積，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∴BC＝＝＝5，∵菱形ABCD的面積＝×6×8＝24，∴AH＝，故選：C．【變式42】已知：如圖所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)，已知BD＝4，求菱形ABCD的周長(zhǎng)和面積．【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出△ABD是等邊三角形，直接利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AC的長(zhǎng)，利用菱形面積求法得出答案．【解答】解：∵DE⊥AB于E，且E為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BA，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠DAB＝60°；∵BD＝4，∴DO＝2，AD＝4，∴AO＝＝2，∴AC＝4；∴AB＝＝＝4，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為4×4＝16；菱形ABCD的面積為：BD?AC＝×4×4＝8．題型5：菱形的性質(zhì)簡(jiǎn)單綜合5.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，且E為邊AB的中點(diǎn)．（1）求∠A的度數(shù)；（2）如果AB＝4，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB＝AD，即可證△ADB是等邊三角形，可得∠A＝60°（2）由題意可得∠DAC＝30°，AC⊥BD，可得DO＝2，AO＝2，即可求AC的長(zhǎng)．【解答】解：連接AC，BD（1）∵四邊形ABCD是菱形∴AD＝AB∵E是AB中點(diǎn)，DE⊥AB∴AD＝DB∴AD＝DB＝AB∴△ADB是等邊三角形∴∠A＝60°（2）∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∠DAC＝∠DAB＝30°，AO＝CO，DO＝BO∵AD＝BA＝4∴DO＝2，AO＝DO＝2∴AC＝4【變式51】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點(diǎn)，且BE＝BF．（1）求證：△ADE≌△CDF；（2）若∠DEF＝65°，求∠EDB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法“SAS”即可證明△ADE≌△CDF；（2）根據(jù)△ADE≌△CDF，得到DE＝DF，再求出∠EDB＝∠FDB＝25°；【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∵∠DEF＝65°，∴∠EDB＝∠FDB＝25°．菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.注意：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.題型6：菱形的判定（條件選擇）6.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD【分析】直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、∵AC與BD互相平分，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式61】如圖所示，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列條件能判定?ABCD為菱形的是（）A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷；【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形；故選：C．【變式62】已知O為?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，下列條件能使□ABCD成為菱形的是（）A．AB＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC，OB＝OD D．∠A＝∠B＝∠C＝90°【分析】根據(jù)菱形的判定方法以及平行四邊形的判定方法逐個(gè)進(jìn)行證明，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、?ABCD中，當(dāng)AB＝BC；可利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定?ABCD是菱形；故本選項(xiàng)正確；B、?ABCD中，當(dāng)AD＝CB時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、當(dāng)OA＝OC，OB＝OD時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠A＝∠B＝∠C＝90°，即可判定?ABCD是矩形，而不能判定?ABCD是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．題型7：菱形的判定（四邊相等）7.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分別是△ABC兩個(gè)外角的平分線．（1）求證：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求證：四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD＝∠B，進(jìn)而得到AD∥BC，再利用∠D＝∠ACD，證明AC＝AD，再由AB＝AC可得AB＝AD；（2）首先證明△ABC和△ADC是等邊三角形，進(jìn)而得到AD＝CB＝AB＝CD，可判定四邊形ABCD是菱形．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠FAC，∵∠B+∠ACB＝∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥CB，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，∴AC＝AD，∵AB＝AC，∴AB＝AD；（2）解：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AC，∴△ADC是等邊三角形，∴AD＝DC＝AC，∴AD＝CB＝AB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．【變式71】如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA＝OB＝OD．（1）求證：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求證：四邊形OBCD是菱形．【分析】（1）延長(zhǎng)AO到E，利用等邊對(duì)等角和角之間關(guān)系解答即可；（2）連接OC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可．【解答】證明：（1）延長(zhǎng)AO到E，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，又∠BOE＝∠ABO+∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO，同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO），即∠BOD＝2∠BAD，又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C；（2）連接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共邊，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四邊形OBCD是菱形．法二，連接OC，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共邊，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠B＝∠D，∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∴∠BOD＝∠BCD，∴四邊形BCDO是平行四邊形，∵BC＝CD，∴平行四邊形BCDO是菱形．【變式72】已知：如圖，P是線段AB上的一點(diǎn)，分別以線段AP，PB為一邊在AB的同側(cè)作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，連接EF，點(diǎn)G，M，N，H分別是四邊形ABFE的邊AB，BF，F(xiàn)E，EA的中點(diǎn)，連接HG，GM，MN和NH．求證：四邊形GMNH為菱形．【分析】欲證明四邊形GMNH為菱形，只要證明HN＝HG＝GM＝MN，由題意HN＝GM＝，HG＝MN＝，所以只要證明AF＝EB，利用△APF≌△EPB即可證明．【解答】證明：∵△APE和△PBF都是等邊三角形，∴AP＝PE，PF＝PB，∠APE＝∠FPB＝60°，∴∠APF＝∠EPB，在△APF和△EPB中，，∴△APF≌△EPB，∴AF＝EB，∵EH＝HA，EN＝NF，∴HN＝，同理GM＝，HG＝MN＝，∴HN＝HG＝GM＝MN，∴四邊形MNHG是菱形．題型8：菱形的判定（平行四邊形+鄰邊相等）8.如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF．求證：四邊形DFCE是菱形．【分析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和菱形的判定定理即可得到結(jié)論；【解答】證明：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四邊形DFCE是菱形；【變式81】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF，求證：四邊形ADCF是菱形．【分析】根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．結(jié)合已知條件，利用“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形．【解答】證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝BC，∴四邊形ADCF是菱形．【變式82】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，BE∥AC，CE∥BD，BE與CE交于點(diǎn)E．求證：四邊形BDCE是菱形．【分析】根據(jù)CE∥BD，BE∥AC，求得四邊形BDCE是平行四邊形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BD＝AD＝DC＝AC，由菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵CE∥BD，BE∥AC，∴四邊形BDCE是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴BD＝AD＝DC＝AC，∴四邊形DBEC是菱形．題型9：菱形的判定（平行四邊形+對(duì)角線互相垂直）9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于點(diǎn)G，EF⊥BC于點(diǎn)F，求證：四邊形DFGE是菱形．【分析】由已知條件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行線分線段成比例定理得出OG＝OD，OE＝OF，證出四邊形DFGE是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂直，即可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖所示：∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∵DG⊥AC，EF⊥BC，∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，∵AE＝ED＝DB，∴OG＝OD，OE＝OF，∴四邊形DFGE是平行四邊形，又∵DG⊥EF，∴四邊形DFGE是菱形．【變式91】如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，以AB，BD為鄰邊作?ABDE，連接EC，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，說明四邊形ADCE是菱形的理由．【分析】由題意可得AE＝BD，AE∥CD，AB∥DE，BD＝CD，即可證四邊形ABDE是平行四邊形，且AC⊥DE，即可得四邊形ADCE是菱形．【解答】解：理由如下：∵四邊形ABDE是平行四邊形∴AE＝BD，AE∥BD，AB∥DE∵AD是邊BC上的中線∴BD＝CD∴CD＝AE，且AE∥CD∴四邊形AECD是平行四邊形∵AB∥DE，∠BAC＝90°∴∠COD＝∠BAC＝90°即AC⊥DE且四邊形AECD是平行四邊形∴四邊形AECD是菱形【變式92】如圖，在三角形紙片ABC中，AD是△ABC的角平分線，把△ABC進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AB相交于E，與AC相交于F，求證：四邊形AEDF是菱形．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°證△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四邊形AEDF，根據(jù)EF⊥AD得出菱形AEDF．【解答】證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，又∵A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，∴AO＝DO，∴EF、AD相互平分，∴四邊形AEDF是平行四邊形∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于直線EF對(duì)稱，∵EF⊥AD，∴平行四邊形AEDF為菱形．題型10：菱形的判定與性質(zhì)最值問題10.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)P在BD上，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，且PC+PE＝1，則邊AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【分析】首先連接AP，AE，AC由已知條件可以得出PE+PC＝PE+PA＝1≥AE（當(dāng)P是AE與DB的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），再利用等邊三角形的性質(zhì)得出AE＝AD＝AB，進(jìn)而求出AB長(zhǎng)的最大值．【解答】解：連接AP，AE，AC根據(jù)四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AP＝CP，∴PE+PC＝PE+PA＝1≥AE，∵∠ABC＝60°，∴∠ADE＝60°，AD＝CD，∴△ADC是等邊三角形，∵DE＝CE，∴∠AED＝90°，∠DAE＝30°，設(shè)DE＝x，則AD＝2x，由勾股定理得：AE＝＝x∴AE＝AD＝AB≤1，所以AB≤，即AB長(zhǎng)的最大值是，故選：B．【變式101】菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)A點(diǎn)，則PM+PN的最小值是．【分析】要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PN，PM的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：如圖：作ME⊥AC交AD于E，連接EN，則EN就是PM+PN的最小值，∵M(jìn)、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴BN＝BM＝AM，∵M(jìn)E⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四邊形ABNE是平行四邊形，∴ENAB，而由已知可得AB＝＝5，∴PM+PN的最小值為5，故答案為5．【變式102】如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CD至F，使得DF＝CD，連接EF分別交AD，AC于點(diǎn)M，N．（1）求證：AC⊥EF；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P為AC上一點(diǎn)（P與點(diǎn)A不重合），連接PB和PE可得△PBE，求△PBE周長(zhǎng)的最小值．【分析】（1）只要證明AM＝AE，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠CAN＝∠CAE，由此即可證明．（2）如圖連接BM交AC于P，連接PE，此時(shí)△PEB周長(zhǎng)最?。鱉K⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于K，在RT△AMK，RT△KMB中利用勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，AB∥FC∵AE＝EB，DF＝CD，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴∠EAM＝∠FDM，在△AEM和△DFM中，，∴△EAM≌△FDM，∴AM＝DM＝AE，∵∠MAN＝∠EAN，∴AN⊥ME即AC⊥EF．（2）如圖連接BM交AC于P，連接PE，此時(shí)△PEB周長(zhǎng)最小．作MK⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于K．∵四邊形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∴AD∥BC，AD＝AB＝4，∴∠KAM＝∠ABC＝60°在RT△AMK中，∵∠MKA＝90°，AM＝2，∠KMA＝30°，∴AK＝1，KM＝，在RT△KMB中，∵∠K＝90°，KM＝，KB＝5，∴BM＝＝2，∴△PEB周長(zhǎng)的最小值＝PE+PB+EB＝PM+PB+EB＝BM+EB＝2+2．題型11：菱形的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題11.如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．給出如下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正確結(jié)論的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF＝∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF＝30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE＝DF，再由FE＝AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝4AG，從而得到答案．【解答】解：∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F為AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正確，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中點(diǎn)，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④說法正確；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四邊形ADFE為平行四邊形，∵AE≠EF，∴四邊形ADFE不是菱形；故②說法不正確；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，則AD＝4AG，故③說法正確，故選：C．【變式111】如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD、BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先求出∠ACD＝60°，繼而可判斷△ACD是等邊三角形，從而可判斷①是正確的；根據(jù)①的結(jié)論，可判斷四邊形ABCD是平行四邊形，從而可判斷②是正確的；根據(jù)①的結(jié)論，可判斷④錯(cuò)誤．【解答】解：△ABC、△DCE是等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正確；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD、AC互相平分，故②正確；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四邊形ACED是菱形，即③正確．∵BD⊥AC，AC∥DE，∴BD⊥DE，∴BE＞BD，故④錯(cuò)誤．綜上可得①②③正確，共3個(gè)．故選：D．【變式112】如圖，等邊△ABC沿射線BC向右平移到△DCE的位置，連接AD，BD，則下列結(jié)論：①AD＝BC＝CE；②BD，AC互相平分；③四邊形ACED是菱形；④四邊形ABED的面積為AB2．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)平移的定義可知AB＝CD，AB∥CD推出四邊形ABCD是平行四邊形，同理可知四邊形ACED是平行四邊形由此即可解決問題．【解答】解：∵△DCE是由△ABC平移得到，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝CE，BD與AC互相平分，故①②正確，∵AD∥CE，AD＝CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵AC＝CE，∴四邊形ACED是菱形，故③正確，∵四邊形ABED的面積＝3?S△ABC＝3×（AB）2＝（AB）2，故④正確，∴①②③④正確，故選：A．題型12：菱形的判定與性質(zhì)動(dòng)點(diǎn)問題12.如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5cm，∠C＝30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DF⊥ED；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AEFD是菱形？【分析】（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，可以證明四邊形BEDF是矩形，由＝列出方程即可解決．（2）當(dāng)AE＝AD時(shí)，可以證明四邊形AEFD是菱形，列出方程即可．【解答】解：（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，∵DF∥AB，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴四邊形BEDF是矩形，∴∠EDF＝90°即DE⊥DF．在RT△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°，∴AB＝5，AC＝10，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴t＝．（2）∵在RT△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，∴DF＝DC＝?2t＝t，∵AE＝t，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AE＝AD時(shí)，四邊形AEFD是菱形，∴t＝10﹣2t，∴t＝，∴t＝時(shí)，四邊形AEFD是菱形．【變式121】如圖1，△ABC為等腰三角形，AB＝AC＝6，P點(diǎn)是底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．PD∥AC，PE∥AB．（1）求四邊形ADPE的周長(zhǎng)；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形，請(qǐng)說明理由；（3）如果ABC不是等腰三角形（圖2）其他條件不變，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形，并說明理由．【