北京市育英學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)月考試題2024.10一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，再由補(bǔ)集以及交集定義可得結(jié)果.【詳解】由題可知，易知，所以.故選：D2.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B.1C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到的不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)椋炙鶎?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.3.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即得.【詳解】因.故選：A.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，A不正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域是R，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上也單調(diào)遞增，即函數(shù)在其定義域R上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，C不正確；對(duì)于D，函數(shù)定義域是，它是奇函數(shù)，在和(0,+∞)上單調(diào)遞增，但在其定義域上不單調(diào)，D不正確.故選：B5.平面向量與向量滿足,且，,則向量與的夾角為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，得到，代入已知等式得到，設(shè)向量與的夾角為，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和，，算出，最后根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍，可得答案【詳解】，則又，解得設(shè)向量與的夾角為，則，即解得，，故選【點(diǎn)睛】本題給出兩個(gè)向量的模，并且在已知它們的和向量與其中一個(gè)向量數(shù)量積的情況下，求兩個(gè)向量的夾角，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和兩個(gè)向量夾角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖可得，求得，再利用圖象過點(diǎn)，可得到，從而得到，再利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.【詳解】由圖象可知，解得，因?yàn)?，所以，解得，將代入解析式化?jiǎn)得，因?yàn)?，則，得，故，所以.故選：A7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，借助進(jìn)行比較判斷選項(xiàng).【詳解】，，而，則，即，所以.故選：B8.在中，，則“”是“是鈍角三角形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先判斷如果能不能推出是鈍角三角形，再判斷如果是鈍角三角形，是否一定有即可.【詳解】如果，由于B是三角形的內(nèi)角，并且,則，，是鈍角三角形，所以是充分條件；如果是鈍角三角形，不妨設(shè)，則，所以不是必要條件；故選：A.9.分貝（）、奈培（）均可用來量化聲音的響度，其定義式分別為，，其中為待測(cè)值，為基準(zhǔn)值．如果，那么（）（參考數(shù)據(jù)：）A.8.686 B.4.343C.0.8686 D.0.115【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意得到，再利用換元法與換底公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，令，則，所以.故選：A.10.已知點(diǎn)集．設(shè)非空點(diǎn)集，若對(duì)中任意一點(diǎn)，在中存在一點(diǎn)（與不重合），使得線段上除了點(diǎn)外沒有中的點(diǎn)，則中的元素個(gè)數(shù)最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)整點(diǎn)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素?cái)?shù)，討論只有一個(gè)點(diǎn)得到矛盾，進(jìn)而有中元素不止一個(gè)，取分析是否滿足要求即可.【詳解】對(duì)于整點(diǎn)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素?cái)?shù)，若只有一個(gè)點(diǎn)，取的點(diǎn)使和分別同奇偶，有公因子2（或重合），不合題意，故中元素不止一個(gè)，令，對(duì)于的點(diǎn)，當(dāng)或3時(shí)，?。划?dāng)或4時(shí)，?。挥捎?、橫坐標(biāo)之差為，故內(nèi)部無整點(diǎn)；當(dāng)，時(shí)，取，此時(shí)橫坐標(biāo)之差，縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素；當(dāng)，時(shí)，取，此時(shí)橫坐標(biāo)之差為，縱坐標(biāo)之差為，二者互素；綜上，中的元素個(gè)數(shù)最小值是2.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)分析出整點(diǎn)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與互為素?cái)?shù)為關(guān)鍵.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.將答案填在題中橫線上.）11.函數(shù)的定義域?yàn)開________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次根式被開方式非負(fù)和對(duì)數(shù)的真數(shù)為正，以及分式的分母非零即可求得函數(shù)定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，須使3?x≥0x+1>0解得且.故函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：.12.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的最大值為________．【答案】##【解析】分析】首先得出，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.【詳解】由題意，從而，因?yàn)椋缘娜≈捣秶?，的取值范圍是，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.故答案為：.13.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足，則_________.【答案】3【解析】【分析】先對(duì)等式進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為與和有關(guān)的形式，然后再求的值.【詳解】已知，根據(jù)向量的減法法則，則.因?yàn)椋?，所以，移?xiàng)可得.由于，那么，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)其中．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，存在?shí)數(shù)，則的取值范圍為___．【答案】①.##②.【解析】【分析】將代入函數(shù)解析式畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象易知的單調(diào)遞增區(qū)間為；利用反比例函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)的值域?yàn)椋虼酥恍韬瘮?shù)的值域?yàn)榈恼孀蛹纯蓾M足題意，由圖可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),則，利用反比例函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖象如下：由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）易知函數(shù)的值域?yàn)?，若函?shù)的值域?yàn)?，存在?shí)數(shù)，則的值域不為，即使函數(shù)的值域?yàn)榈恼孀蛹纯?；利用二次函?shù)性質(zhì)可知當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值為，所以根據(jù)圖象可知，即的取值范圍為.故答案為：；15.已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，、分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)，則______.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②圖2中，；③圖2中，過線段的中點(diǎn)且與垂直的平面與軸交于點(diǎn)；④圖2中，是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①.②.②③【解析】【分析】在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出的值，結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷①；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷②；求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算，可判斷③；求出，結(jié)合扇形的面積公式可判斷④.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)、，，因?yàn)?，解得，所以，，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，①錯(cuò)；因?yàn)?，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離軸最近的最高點(diǎn)，則，可得，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心，所以，，可得，翻折后，則有、、、，所以，，，所以，在圖2中，，②對(duì)；在圖2中，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則，即，③對(duì)；在圖2中，設(shè)點(diǎn)，，可得，，，，易知為銳角，則，所以，區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，故區(qū)域面積，④錯(cuò).故答案為：；②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查翻折問題，解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法來求解相應(yīng)問題.三、解答題（木大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文?說明、演算步驟或證明過程.）16.在中，．（1）求；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計(jì)分．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用余弦定理求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，若選擇①②，求得，由正弦定理求得，再由余弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；若①③：先求得，由，利用正弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得，不符合題意.【小問1詳解】解：因?yàn)?，由余弦定理得，又因?yàn)?，所?【小問2詳解】解：由（1）知，若選①②：，，由，可得，由正弦定理，可得，解得，則，又由余弦定理，可得，即，解得或（舍去），所以的面積為.若選①③：且，由，可得，因?yàn)?，可得，由正弦定理，可得，解得，所以的面積為.若選：②③：且，因?yàn)?，可得，整理得，解得，不符合題意，（舍去）.17.已知函數(shù)，.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最大值；(3)求證：存在唯一的，使得.【答案】（1）；（2）6；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，寫出切線方程；（2）寫出函數(shù)在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的變化情況，列表求最值即可；（3）構(gòu)造函數(shù)=，只需證明函數(shù)有唯一零點(diǎn)即可.【詳解】（1）由，得，所以，又所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即：.（2）令，得.與在區(qū)間的情況如下：-0+極小值因?yàn)樗院瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為6.（3）證明：設(shè)=，則，令，得.與隨x的變化情況如下：100極大值極小值則的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.又，，所以函數(shù)在沒有零點(diǎn)，又，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn).綜上，在上存在唯一的，使得.18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè).當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，，解不等式即可求解；（2）先求出并化簡(jiǎn)，利用的值域可得出，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，即可求出的最大值.【詳解】（1）令，.所以，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)榈娜≈捣秶鸀椋匀≈捣秶鸀樗?解得：.所以m的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是要熟記正弦函數(shù)的圖象，靈活運(yùn)用三角恒等變換將化為一名一角，能結(jié)合正弦函數(shù)的圖象得出.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，．（1）如果，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）如果，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求；（3）如果數(shù)列為遞增數(shù)列，求的取值范圍．【答案】（1）；（3）證明見解析，；（3）或.【解析】【分析】（1）時(shí)，，由求出；（2）利用定義法證明出數(shù)列為等比數(shù)列，直接套公式求出；（3）利用定義法證明出數(shù)列為等比數(shù)列．求出，列不等式組求出的取值范圍.詳解】（1）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，所以，相減得：．所以，又有，在n=1時(shí)，可得：，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比2為的等比數(shù)列，所以，．（3）由（1）可知，顯然當(dāng)時(shí)，則，得．當(dāng)時(shí)，，，相減得，即．因?yàn)?，所以．所以為等比?shù)列．所以．因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以或，所以的取值范圍是或．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；（3）試比較與的大小，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）將在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)即可得解；（3）由（2）知，時(shí)，在區(qū)間上恒成立，取，可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為即.【小問2詳解】在區(qū)間上恒成立，即，對(duì)，即，對(duì)，令，只需，，，當(dāng)時(shí)，有，則，在上單調(diào)遞減，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，其對(duì)應(yīng)方程的判別式，若即時(shí)，有，即，在上單調(diào)遞減，符合題意，若即時(shí)，，對(duì)稱軸，又，方程的大于1的根為，，，即，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意.綜上，在區(qū)間上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上恒成立，即，對(duì)，取代入上式得，化簡(jiǎn)得.21.給定整數(shù)，數(shù)列、、、每項(xiàng)均為整數(shù)，在中去掉一項(xiàng)，并將剩下的數(shù)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為.將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.（Ⅰ）已知數(shù)列、、、、，寫出、、的值及的特征值；（Ⅱ）若，當(dāng)，其中、且時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；（Ⅲ）已知數(shù)列的特征值為，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；；.的特征值為；（Ⅱ），理由見解析；（Ⅲ）最小值為.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題中的定義可求出、、的值及的特征值；（Ⅱ）分、和、兩種情況討論，結(jié)合題中定義可證明出；（Ⅲ）設(shè)，利用（Ⅱ）中的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的特征值為，可得出，并證明出，即可求出的最小值.【詳解】（Ⅰ）由題知：，，，的