2024-2025學(xué)年廣東省華南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省華南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.半徑為2的圓上長度為4的圓弧所對的圓心角是(

)A.1 B.2 C.4 D.82.直線l過拋物線C:x2=?4y的焦點，且在x軸與y軸上的截距相同，則l的方程是A.y=?x?1 B.y=?x+1 C.y=x?1 D.y=x+13.已知x>0，y>0，則(

)A.7lnx+lny=7lnx+4.函數(shù)f(x)=aln|x|+1x的圖象不可能是(

)A. B.

C. D.5.已知a，b，c滿足2a=3，bln2=1，3c=2A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c6.若正數(shù)x,y滿足x2?2xy+2=0，則x+y的最小值是(

)A.6 B.62 C.27.已知a>1，b>1.設(shè)甲：aeb=bea，乙：A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8.已知正實數(shù)x1，x2，x3滿足x12+2x1+1=x12x1A.x3<x2<x1 B.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)fx=x3A.fx有兩個極值點 B.fx有一個零點

C.點0,1是曲線y=fx的對稱中心 D.直線y=2x10.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+y)?f(x?y)=f2(x)?f2(y)A.f(3)=2 B.f(x)為奇函數(shù) C.f(2)=0 D.k=111.已知函數(shù)f(x)=ln2x，曲線C:y=f(x).過不在C上的點P(a,b)(a>0)恰能作兩條C的切線，切點分別為(x1,f(A.a>e B.2a=e(b+1) C.x1<a 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某中學(xué)的A、B兩個班級有相同的語文、數(shù)學(xué)、英語教師，現(xiàn)對此2個班級某天上午的5節(jié)課進(jìn)行排課，2節(jié)語文課，2節(jié)數(shù)學(xué)課，1節(jié)英語課，要求每個班級的2節(jié)語文課連在一起，2節(jié)數(shù)學(xué)課連在一起，則共有

種不同的排課方式.(用數(shù)字作答)13.已知函數(shù)y=f(x+2)?1為定義在R上的奇函數(shù)，則i=14051f(i?2024)=14.一段路上有100個路燈L1，L2，?，L100一開始它們都是關(guān)著的，有100名行人先后經(jīng)過這段路，對每個k∈{1,2,3,?,100}，當(dāng)?shù)趉名行人經(jīng)過時，他將所有下標(biāo)為k的倍數(shù)的路燈Lk，L2k，?的開關(guān)狀態(tài)改變.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2csin(1)求C；(2)若tanA=tanB+tanC，a=2，求△ABC的面積．16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，點E是線段AD的中點，

(1)證明：PE//平面BDM;(2)求平面AMB與平面BDM的夾角．17.(本小題12分)

某中學(xué)在運動會期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計時的趣味性比賽，并對學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別速度合計快慢男生65女生55合計110200(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？

(2)現(xiàn)有n(n∈N+)根繩子，共有2n個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．

(i)當(dāng)n=3，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(ii)求證：這n根繩子恰好能圍成一個圈的概率為22n?1?n!(n?1)!(2n)!．P(0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63518.(本小題12分)

費馬原理，也稱為時間最短原理：光傳播的路徑是光程取極值的路徑.在凸透鏡成像中，根據(jù)費馬原理可以推出光線經(jīng)凸透鏡至像點的總光程為定值(光程為光在某介質(zhì)中傳播的路程與該介質(zhì)折射率的乘積).一般而言，空氣的折射率約為1.如圖是折射率為2的某平凸透鏡的縱截面圖，其中平凸透鏡的平面圓直徑MN為6，且MN與x軸交于點(?2,0).平行于x軸的平行光束從左向右照向該平凸透鏡，所有光線經(jīng)折射后全部匯聚在點(2,0)處并在此成像.(提示：光線從平凸透鏡的平面進(jìn)入時不發(fā)生折射)

(1)設(shè)該平凸透鏡縱截面中的曲線為曲線C，試判斷C屬于哪一種圓錐曲線，并求出其相應(yīng)的解析式．

(2)設(shè)曲線F為解析式同C的完整圓錐曲線，直線l與F交于A，B兩點，交y軸于點H，交x軸于點Q(點Q不與F的頂點重合).若HQ=k1QA=k2QB19.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=e(Ⅰ)當(dāng)a=12時，記函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，求(Ⅱ)當(dāng)a=1，x≥1時，證明：f(x)>(Ⅲ)當(dāng)a≥2時，令g(x)=ex[a+1?f(x)]，g(x)的圖象在x=m，x=n(m<n)處切線的斜率相同，記g(m)+g(n)的最小值為?(a)(注：e=2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù))

參考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.A

6.A

7.A

8.A

9.ABC

10.BCD

11.BCD

12.8

13.4051

14.10

15.解：由題可得2csinB=2bsinC=2b.

(1)sinC=2b2b=22，所以C=π4或3π4;

(2)因為tanA+B=?tanC=tanA+tanB1?tanA·tanB，

可得tanA+tanB+tanC=16.解：(1)連接EC交BD于N，由E是AD的中點可得DE=1則△DEN與△BCN相似，所以EN=1又PM=12MC又MN?平面BDM，PE?平面BDM

所以PE/?/平面BDM;(2)∵PA=PD，點E是線段AD的中點，

∴PE⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，E(0,0,0)，A(1,0,0)，D(?1,0,0)，B(1,2,0)，C(?1,2,0)，P(0,0,2)，PC=(?1,2,?2)，PM則M(?13,設(shè)平面AMB的法向量為n1=(x1,y1則AB?n1同理可得平面BDM的法向量為n2=(1,?1,0)，

所以cos<所以平面AMB與平面BDM的夾角為π

17.解：(1)補全列聯(lián)表如下：別速度合計快慢男生6535100女生4555100合計11090200則K2=200(65×55?35×45)2100×100×110×90=80099≈8.08>6.635，

所以有99%的把握，認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)；

(2)(i)易知X的所有可能取值為1，2，3，

此時P(X=1)=X123P861所以E(X)=1×815+2×615+3×115=2315；

(ii)證明：不妨令繩頭編號為1，2，3，4，…，2n，

可以與繩頭1打結(jié)形成一個圓的繩頭除了1，2外還有2n?2種可能，

假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，

那么相當(dāng)于對剩下n?1根繩子進(jìn)行打結(jié)，

不妨設(shè)n(n∈N?)根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為an，

那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下n?1根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為an?1，

所以an=(2n?2)an?1，n≥2，

即anan?1=2n?2，

an?1an?2=2n?4，

，…，

a18.解：(1)設(shè)C上任意一點T(x0,y0)，x0<0，光線從點N至點(2,0)的光程為δ1，

光線穿過凸透鏡后從T點折射到點(2,0)的光程為δ2，

則δ1=1×32+42=5，δ2=2×(x0+2)+1×(x0?2)2+y02，

由題意得δ1=δ2，則2(x0+2)+(x0?2)2+y02=5，化簡得1?2x0=(x0?2)2+y02，

所以1+4x02?4x0=x02+4?4x0+y02，所以x02?y23=1．

令y0=0，得x0=?1，

所以C19.解：(Ⅰ)當(dāng)a=12時，f′(x)=(Ⅱ)當(dāng)a=1，x≥1時，f(x)=ex2+xex，∴f′(x)=(ex)2+2?2x2ex，

則ex>x+1>0，∴(e∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

∴f(x)≥f(1)=e(Ⅲ)當(dāng)a≥2時，g(x)=?eg′(x)=?(ex?a)(ex?