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文檔簡介

第4章習題課一、基本概念

二、多元函數微分法三、多元函數微分法的應用多元函數微分法一、基本概念連續(xù)性

偏導數存在

方向導數存在可微性1.多元函數的定義、極限、連續(xù)

定義域及對應規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數的連續(xù)性及其性質2.幾個基本概念的關系思考與練習1.

討論二重極限解法1解法2

令解法3

令時,下列算法是否正確?分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.此時極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,解法3

令此法忽略了

的任意性,極限不存在!由以上分析可見,三種解法都不對,因為都不能保證自變量在定義域內以任意方式趨于原點.特別要注意,在某些情況下可以利用極坐標求極限,但要注意在定義域內r,

的變化應該是任意的.同時還可看到,本題極限實際上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(0,0)處連續(xù)且偏導數存在,但不可微.2.證明:而所以f

在點(0,0)不可微!例1.

已知求出的表達式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且二、多元函數微分法顯示結構隱式結構1.分析復合結構(畫變量關系圖)自變量個數=變量總個數–方程總個數自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號3.利用一階微分形式不變性例2.

設其中f與F分別具解法1

方程兩邊對x

求導,得有一階導數或偏導數,

求(1999考研)解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得例3.設有二階連續(xù)偏導數,且求解:三、多元函數微分法的應用1.在幾何中的應用求曲線在切線及法平面(關鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關鍵:抓住法向量)

2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數法)

求解最值問題3.在微分方程變形等中的應用

最小二乘法例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小,并求切點.解:

設切點為則切平面的法向量為即切平面方程問題歸結為求在條件下的條件極值問題.設拉格朗日函數切平面在三坐標軸上的截距為令由實際意義可知為所求切點.唯一駐點例5.求旋轉拋物面與平面之間的最短距離.解:設為拋物面上任一點，則

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