微積分-經管類-下冊-8.6 習題課

習題課級數(shù)的收斂、求和與展開三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級數(shù)法一、數(shù)項級數(shù)的審斂法二、求冪級數(shù)收斂域的方法

第8章

求和展開(在收斂域內進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.為傅里葉級數(shù).為傅氏系數(shù))時,時為數(shù)項級數(shù);時為冪級數(shù);一、數(shù)項級數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.正項級數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限3.任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)Leibniz審斂法:若且則交錯級數(shù)收斂,概念:且余項若收斂,稱絕對收斂若發(fā)散,稱條件收斂例1.

若級數(shù)均收斂,且證明級數(shù)收斂.證:

則由題設收斂收斂收斂判別下列級數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較審斂法的極限形式,原級數(shù)發(fā)散.∴原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)收斂發(fā)散,收斂,用洛必達法則,原級數(shù)發(fā)散時收斂;時,為p

級數(shù)時收斂;時發(fā)散.時發(fā)散.設正項級數(shù)和也收斂.法1

由題設根據(jù)比較審斂法的極限形式知結論正確.都收斂,證明級數(shù)法2

因故存在N>0,當n>N時從而再利用比較法可得結論設級數(shù)收斂,且是否也收斂？說明理由.但對任意項級數(shù)卻不一定收斂.問級數(shù)提示:

對正項級數(shù),由比較判別法可知級數(shù)收斂,收斂,級數(shù)發(fā)散.例如,取討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:提示:(1)p>1

時,絕對收斂;0<p≤1

時,條件收斂;p≤0

時,發(fā)散.(2)故原級數(shù)絕對收斂.因單調遞減,且但對所以原級數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz審斂法知級數(shù)收斂

;因所以原級數(shù)絕對收斂.二、求冪級數(shù)收斂域的方法?

標準形式冪級數(shù):先求收斂半徑R:再討論?非標準形式冪級數(shù)通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.求下列級數(shù)的斂散域:練習:(自證)

解:當因此級數(shù)在端點發(fā)散,時,時原級數(shù)收斂.故收斂域為解:

因故收斂域為級數(shù)收斂;一般項不趨于0,級數(shù)發(fā)散;例2.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在∵原級數(shù)=∴其收斂半徑注意:此題?求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法求和?

映射變換法逐項求導或求積分對和函數(shù)求積或求導難直接求和:直接變換,間接求和:轉化成冪級數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內）?

數(shù)項級數(shù)求和例3.

求冪級數(shù)法1

易求出級數(shù)的收斂域為法2先求出收斂區(qū)間則設和函數(shù)為練習:解:(1)顯然x=0

時上式也正確,故和函數(shù)為而在x≠0求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,(4)x≠0顯然x=0

時,級數(shù)收斂于0,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有x=1時,級數(shù)也收斂.即得又練習:解:

原式=的和.求級數(shù)例3四、函數(shù)的冪級數(shù)展開法?

直接展開法?間接展開法練習:1)

將函數(shù)展開成

x

的冪級數(shù).—利用已知展式的函數(shù)及冪級