信號(hào)與系統(tǒng)（MATLAB版 微課視頻版 第2版） 課件 7-4 系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

7.4系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1．狀態(tài)方程的復(fù)頻域解連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(7-4-1)輸出方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為方程兩邊進(jìn)行拉氏變換將式(7-4-1)改寫(xiě)為(7-4-4)式中,I為單位矩陣,為了方便,定義分解矩陣這時(shí)式(7-4-4)可表示為這就是狀態(tài)方程的拉氏變換解。7.4.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解2．狀態(tài)方程的時(shí)域解對(duì)于狀態(tài)方程將上式作時(shí)域運(yùn)算，得其中，零狀態(tài)響應(yīng)為零輸入響應(yīng)為從上面的討論中可以看到，在矢量微分方程的時(shí)域解中，如何計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題。常用的計(jì)算方法有：⑴冪級(jí)數(shù)法。按照定義展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，然后求出其近似解。⑵矩陣的相似變換法。

將矩陣A變換成相似的對(duì)角矩陣，即⑶應(yīng)用凱來(lái)-哈密爾頓定理，將表示成有限項(xiàng)之和，然后進(jìn)行計(jì)算當(dāng)然，在復(fù)頻域中求分解矩陣，然后，逆變換求就更好些。7.4.2離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1．離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的z域解用Z變換求解一階差分方程組與求解單個(gè)標(biāo)量差分方程沒(méi)有什么本質(zhì)上的差異。對(duì)狀態(tài)方程式(7-4-1)兩邊取z變換，根據(jù)z變換的微分性質(zhì)，得

(7-4-17)式中，和分別表示狀態(tài)矢量和輸入矢量

的單邊Z變換，表示狀態(tài)矢量的初始狀態(tài)。相應(yīng)地，輸出方程式(7-4-2)的變換為(7-4-18)定義為離散系統(tǒng)的分解矩陣。(7-4-19)這時(shí)式(7-4-17)可表示為

(7-4-20)這就是狀態(tài)矢量的Z域解。對(duì)上式取逆Z變換，有

=Z+Z(7-4-20)式(7-4-20)中第一項(xiàng)為狀態(tài)矢量的零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)為零狀態(tài)響應(yīng)。在求得狀態(tài)矢量的Z域解后，代入輸出方程式(7-4-17)，即可得到輸出矢量的Z域解為

(7-4-21)對(duì)上式取z反變換，有

Z+Z(7-4-22)

2．狀態(tài)方程的時(shí)域解矢量差分方程和標(biāo)量差分方程的時(shí)域求解在本質(zhì)上同樣是相同的。由于是一階差分方程，只需采用疊代法求解就可以了。對(duì)于離散系統(tǒng)狀態(tài)方程式(7-3-3)，當(dāng)給定時(shí)的初始狀態(tài)，矢量以及時(shí)的輸入矢量后，依次令狀態(tài)方程中的，就可以得到相應(yīng)狀態(tài)矢量的解為

(7-4-26)由上面離散系統(tǒng)狀態(tài)變量分析法變換域和時(shí)域的討論中可以看到，它與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)變換域和時(shí)域解法是非常類(lèi)似的。

離散系統(tǒng)狀態(tài)方程求解中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算是非常重要