專題03 勾股定理應(yīng)用（十二大類型）（題型專練）（解析版）-A4

第頁專題03勾股定理應(yīng)用（十二大類型）【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問題】【題型2應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度】【題型3應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離】【題型4應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度】【題型5應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題】【題型6應(yīng)用勾股定理解決航海問題】【題型7應(yīng)用勾股定理解決風(fēng)吹荷花模型】【題型8應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題】【題型9應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題】【題型10應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題】【題型11應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題】【題型12面展開圖-最短路徑問題】【題型1應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問題】1．（2023春?益陽期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米【答案】A【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25（米）．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故選：A．2．（2023秋?嶧城區(qū)期中）如果梯子的底端離建筑物底部8米，則17米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【答案】D【解答】解：如圖；梯子AC長是17米，梯子底端離建筑物的距離AB長為8米；在Rt△ABC中，AC＝17米，AB＝8米；根據(jù)勾股定理，得BC＝（米）；故選：D．2．（2023秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，一個梯子AB長25米，斜靠在豎直的墻上，這時梯子下端B與墻角C距離為7米，梯子滑動后停在DE上的位置上，如圖，測得AE的長4米，則梯子底端B向右滑動了8米．【答案】8．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，∴AC＝＝24（米），∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），∵DE＝AB＝25米，∴CD＝＝15（米），∴BD＝CD﹣BC＝8（米），∴梯子底端B向右滑動了8米．故答案為：8．3．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，一把梯子靠在垂直于水平地面的墻上，梯子AB的長為2.5米，梯子的底部離墻的距離BC為0.7米．若梯子的頂部向下滑0.4米到D處，此時梯子的底部向外滑到E處，求梯子的底部向外滑出多少米？【答案】0.8米．【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝＝2.4（米），∴CD＝AC﹣AD＝2.4﹣0.4＝2（米），∵DE＝AB＝2.5米，∴CE＝＝1.5（米），∴BE＝CE﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8（米），∴梯子的底部向外滑出0.8米．【題型2應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度】4．（2023?定西模擬）如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m【答案】D【解答】解：旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為12m，旗桿離地面5m折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形．根據(jù)勾股定理，AB＝＝＝13（m），所以旗桿折斷之前高度為BC+AB＝13+5＝18（m）．故選：D．5．（2023春?濟南期末）如圖，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處約6米，則滑輪到地面的高度為9米．【答案】9．【解答】解：設(shè)滑輪到地面的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得x2+122＝（x+6）2，解得：x＝9；答：滑輪到地面的高度為9米．故答案為：9．6．（2023秋?吉安期中）在第十四屆全國人大一次會議召開之際，某中學(xué)舉行了莊嚴的升旗儀式．看著冉冉升起的五星紅旗（如圖1），小樂想用剛學(xué)過的知識計算旗桿的高度．如圖2，AD為旗桿AE上用來固定國旗的繩子，點D距地面的高度DE＝1m．將繩子AD拉至AB的位置，測得點B到AE的距離BC＝3m，到地面的垂直高度BF＝2m，求旗桿AE的高度．【答案】6m．【解答】解：∵BF＝2m，∴CE＝2m，∵DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝1m，設(shè)AD＝x，則AB＝x，AC＝AD﹣CD＝x﹣1，由題意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5，即AD＝5，∴旗桿AE的高度為：AD+DE＝5+1＝6m．【題型3應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離】7．（2022秋?婺城區(qū)期末）如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則它至少要飛行（）米．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解答】解：兩棵樹的高度差為8﹣2＝6m，間距為8m，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離＝＝10m．故選：C．8.（2022秋?興慶區(qū)校級期末）如圖，有兩棵樹分別用線段AB和CD表示，樹高AB＝15米，CD＝7米，兩樹間的距離BD＝6米，一只鳥從一棵樹的樹梢（點A）飛到另一棵樹的樹梢（點C），則這只鳥飛行的最短距離AC＝（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝15m，小樹高為CD＝7m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故小鳥至少飛行10m．故選：C．9．（2022?三穗縣校級模擬）有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高11m，且巢離樹頂部1m．當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要時間5s才能趕回巢中．【答案】5s．【解答】解：如圖，由題意知AB＝3m，CD＝11﹣1＝10（m），BD＝24m．過A作AE⊥CD于E．則CE＝10﹣3＝7（m），AE＝24m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝25（m），∴25÷5＝5（s），答：它至少需要5s才能趕回巢中．故答案為：5s．【題型4應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度】10．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，木桿折斷之前的高度為（）A．7米 B．8米 C．9米 D．12米【答案】B【解答】解：∵一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，∴折斷的部分長為＝5（米），∴折斷前高度為5+3＝8（米）．故選：B．11．（2022秋?輝縣市校級期末）如圖1，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，圖2是這棵大樹折斷的示意圖，則這棵大樹在折斷之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米【答案】B【解答】解：設(shè)大樹在折斷之前的高是xm，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合題意，舍去），∴大樹在折斷之前的高是18m；故選：B．12．（2023秋?汝州市期中）《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【答案】D【解答】解：設(shè)折斷處離地面x尺，根據(jù)題意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故選：D．13．（2022秋?達川區(qū)校級期末）如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強臺風(fēng)中于離地面6米B處折斷倒下，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為8米，則這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【答案】D【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC＝＝＝10（m），∴大樹的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故選：D．14．（2023?南寧模擬）在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【答案】D【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．15．（2023秋?金水區(qū)期中）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A4m．（1）求旗桿距地面多高處折斷；（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25m的點D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的危險？【答案】（1）3米；（2）6米．【解答】解：（1）由題意可知：AC+BC＝8米，∵∠A＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，又∵AB＝4米，∴AC＝3（米），BC＝5（米），故旗桿距地面3米處折斷；（2）如圖，∵D點距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米），∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米），∴AB′＝（米），∴距離桿腳周圍6米大范圍內(nèi)有被砸傷的危險．【題型5應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題】16．（2022秋?陵水縣期末）如圖，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是（）A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13【答案】C【解答】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時h最小，如圖所示：AB＝＝＝13cm，故h＝24﹣13＝11cm．故h的取值范圍是11cm≤h≤12cm．故選：C．17．（2022秋?蒲城縣期末）將一根24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為16cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的最小值為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝16cm，∴，此時h＝24﹣20＝4cm，∴h的最小值是4cm，故選：B．18．（2022秋?寧化縣期中）如圖，將一根長為20cm的吸管，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為hcm，則h的取值范圍是7≤h≤8．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時，h最短，此時AB＝＝13，故h最短＝20﹣13＝7（cm）；當(dāng)吸管豎直插入水杯時，h最大，此時h最大＝20﹣12＝8（cm）．故答案為：7≤h≤8．【題型6應(yīng)用勾股定理解決航海問題】19．（2023春?武江區(qū)期中）如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，兩船相距（）A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里【答案】A【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC＝90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2＝32（海里），12×2＝24（海里），根據(jù)勾股定理得：＝40（海里）．故選：A．20．（2023春?仁化縣期中）某港口位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號沿東北方向航行，每小時航行16海里，“海天”號沿西北方向航行，每小時航行12海里．它們離開港口2小時后兩船相距40海里．【答案】40．【解答】解：∵遠航”號沿東北方向航行，“海天”號沿西北方向航行，∴∠RPS＝∠QPS＝45°，∴∠RPQ＝90°，∵“遠航”號沿東北方向航行，每小時航行16海里，“海天”號沿西北方向航行，每小時航行12海里，航行時間為2小時，∴PQ＝16×2＝32海里，PR＝2×12＝24海里，∴由勾股定理得海里，∴它們離開港口2小時后兩船相距40海里，故答案為：40．21．（2023秋?開封期末）如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，求此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離．【答案】30海里．【解答】解：由題意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，故AB＝2AP＝60（海里），則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為：BP＝＝＝30（海里）．22．（2023秋?茂南區(qū)期中）如圖，兩艘輪船M和N分別從港口A出發(fā)，輪船M以4海里/時的速度向東北方向航行，輪船N以3海里/時的速度從港口A出發(fā)向東南方向航行，行駛5個小時后，MN兩船的距離多少海里？【答案】25海里．【解答】解：連接MN如圖，∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠MAN＝90°，在Rt△AMN中，AM＝4×5＝20（海里），AN＝3×5＝15（海里），根據(jù)勾股定理得（海里）．答：兩船的距離是25海里．23．（2023春?湘潭縣期末）已知A，B兩艘船同時從港口O出發(fā)，船A以15km/h的速度向東航行；船B以10km/h的速度向北航行．它們離開港口2h后，相距多遠？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵船A以15km/h的速度向東航行，船B以10km/h的速度向北航行，它們離開港口2h后，∴AO＝30km，OB＝20km，在Rt△AOB中，AB＝＝＝10（km），答：離開港口2h后，兩艘船相距10km．24．（2023春?慶云縣期中）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達B處，客船到達C處，若此時兩船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向為北偏東10°．【解答】解：客船的速度為4x海里/小時，則貨船的速度為3x海里/小時，由題意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度為20海里/小時，則貨船的速度為15海里/小時，∵貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達B處，客船到達C處，∴AC＝20×2＝40（海里），AB＝15×2＝30（海里），∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向為北偏東10°．25．（2023春?梁山縣期末）某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？【答案】“海天”號沿北偏西45°方向航行．【解答】解：由題意可得：RP＝18海里，PQ＝24海里，QR＝30海里，∵182+242＝302，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“遠航”號沿東北方向航行，∴∠RPS＝45°，∴“海天”號沿北偏西45°方向航行；【題型7應(yīng)用勾股定理解決風(fēng)吹荷花模型】26．（2023春?鹽山縣期末）如圖，有一個水池，水面是一邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【答案】C【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：蘆葦長13尺．故選：C．27．（2023秋?肅州區(qū)校級期末）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′（示意圖如圖，則水深為12尺．【答案】12．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深A(yù)C＝（x﹣1）尺，因為B'E＝10尺，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故答案為：12．28．（2023秋?乳山市期中）一根離河岸邊1.5m遠的蘆葦，蘆葦高出水面0.5m，將蘆葦拉向河岸邊，蘆葦頂端與水面剛好齊平，則蘆葦處河水的深度為2m．【答案】2．【解答】解：在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m.設(shè)河深BC＝xm，則AB＝（0.5+x）米．根據(jù)勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2，故答案為：2．29．（2023秋?石景山區(qū)期末）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．水深和蘆葦長各多少尺？【答案】水深12尺；蘆葦長13尺．【解答】解：設(shè)水深x尺，則蘆葦長（x+1）尺．由題意得x2+52＝（x+1）2．解得x＝12．∴x+1＝13．答：水深12尺；蘆葦長13尺．【題型8應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題】30．（2023秋?銀川期中）“中華人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速檢測儀A正前方60米B處，過了5秒后，測得小汽車C與車速檢測儀A間距離為100米，這輛小汽車超速了嗎？【答案】這輛小汽車沒有超速．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝60m，AC＝100m，且AC為斜邊，根據(jù)勾股定理得：BC＝80（m）；∵80÷5＝16（m/s），平均速度為：16m/s，16m/s＝57.6km/h，57.6＜70，∴這輛小汽車沒有超速．31．（2023秋?市北區(qū)期中）某條東西走向的道路限速70公里/時．如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到C處，C處位于車速檢測儀A處的正北方30米．2秒鐘后，這輛小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀之間的距離是50米，請通過計算說明這輛小汽車是否超速．【答案】超速了，計算見解析．【解答】解：由題意知，AC＝30米，OB＝50米，∴BC＝＝40（米），∵2秒鐘后，這輛小汽車到達B處，40÷2＝20（米/秒），∴小汽車行駛的速度＝20米/秒＝72公里/時，∵72＞70，∴這輛小汽車超速了．32．（2023春?新會區(qū)校級期中）如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間的距離為50m，若規(guī)定小汽車在該城市街路上的行駛速度不得超過70km/h，則這輛小汽車超速了嗎？（參考數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換：1m/s＝3.6km/h）【答案】超速了．【解答】解：在RtABC中，AC＝30cm，AB＝50m；根據(jù)勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽車的速度為v＝＝20（m/s）＝72（km/h）；∵72km/h＞70km/h，∴這輛小汽車超速行駛．答：這輛小汽車超速了．33．（2023春?崆峒區(qū)校級期中）某路段限速標志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過70km/h，如圖，一輛小汽車在該筆直路段l上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m．（1）求BC的長．（2）這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】（1）40m；（2）這輛小汽車超速了，理由見解析．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：∠ACB＝90°，AC＝30m，AB＝50m，∴BC＝＝＝40（m），答：BC的長為40m；（2）這輛小汽車超速了，理由如下：∵該小汽車的速度為40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）＞70km/h，∴這輛小汽車超速了．【題型9應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題】34．（2023秋?秦州區(qū)期末）2023年7月五號臺風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴重影響．據(jù)報道，這是今年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑250km（即以臺風(fēng)中心為圓心，250km為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響）．如圖，線段BC是臺風(fēng)中心從C市向西北方向移動到B市的大致路線，A是某個大型農(nóng)場，且AB⊥AC．若A，C之間相距300km，A，B之間相距400km．（1）判斷農(nóng)場A是否會受到臺風(fēng)的影響，請說明理由．（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為25km/h，則臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時間有多長？【答案】（1）會受到臺風(fēng)的影響，理由見解析；（2）臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時間為5.6h．【解答】解：（1）會受到臺風(fēng)的影響．理由：如圖1，過點A作AD⊥BC，垂足為D．圖1因為在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝400km，AC＝300km，所以BC＝＝＝500（km），因為AD⊥BC，所以，所以AD＝＝＝240（km）．因為AD＜250km，所以農(nóng)場A會受到臺風(fēng)的影響．（2）如圖2，假設(shè)臺風(fēng)在線段EF上移動時，會對農(nóng)場A造成影響，圖2所以AE＝AF＝250km，AD＝240km，由勾股定理，可得，因為臺風(fēng)的速度是25km/h，所以受臺風(fēng)影響的時間為140÷25＝5.6（h）．答：臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時間為5.6h．35．（2022秋?秦安縣校級期末）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向AB由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C受臺風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺風(fēng)的速度為20km/h，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）海港C受臺風(fēng)影響．理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB∴300×400＝500×CD∴CD＝＝240（km）∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受到臺風(fēng)影響．（2）當(dāng)EC＝250km，F(xiàn)C＝250km時，正好影響C港口，∵ED＝＝70（km），∴EF＝140km∵臺風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20＝7（小時）即臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為7小時．36．（2023秋?武侯區(qū)校級月考）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力，此時某臺風(fēng)中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心風(fēng)力為13級，每遠離臺風(fēng)中心25千米，臺風(fēng)就會減弱一級，如圖所示，該臺風(fēng)中心正以20千米/時的速度沿北偏東30°方向向C移動，且臺風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力超過5級，則稱受臺風(fēng)影響．試問：（1）A城市是否會受到臺風(fēng)影響？請說明理由．（2）若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級？【答案】（1）會受到這次臺風(fēng)的影響；（2）12小時；（3）6.6級．【解答】解：（1）A城市會受到這次臺風(fēng)的影響，理由如下：如圖1，過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝320千米，∴AD＝AB＝160千米，∵城市受到的風(fēng)力超過5級，則稱受臺風(fēng)影響，∴受臺風(fēng)影響范圍的半徑為：25×（13﹣5）＝200（千米），∵160千米＜200千米，∴A城市會受到這次臺風(fēng)的影響；（2）如圖2，以A為圓心，200千米為半徑作⊙A交BC于E、F，則AE＝AF＝200千米，∴臺風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：EF＝2DE＝2＝2＝240（千米），∴臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間t＝240÷20＝12（小時），（3）∵AD＝160千米，∴160÷25＝6.4（級），∴13﹣6.4＝6.6（級），∴該城市受到這次臺風(fēng)最大風(fēng)力為6.6級．37．（2023春?公安縣期中）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，∠OPN＝30°，點A處有一所學(xué)校．AP＝240m．假設(shè)汽車在公路MN上行駛時，周圍150m以內(nèi)會受到噪音影響，則學(xué)校是否會受到噪音影響？請說明理由．如果受影響，請求出受影響的時間．（已知汽車的速度為18m/秒．）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過點A作AB⊥PN于點B，∵∠QPN＝30°，AP＝240m，∴，∵120m＜150m，∴學(xué)校會受到噪音的影響；設(shè)從點E開始學(xué)校學(xué)到影響，點F結(jié)束，則AE＝AF＝150m，又∵AB⊥MN，∴BE＝BF，由勾股定理得：，∴EF＝2BE＝180m，∵汽車的速度為18m/s，∴受影響的時間為：180÷18＝10（s）．【題型10應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題】38．（2022秋?新泰市期末）如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，你能求出CD的長嗎？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB＝＝＝10．由折疊的性質(zhì)可知：DC＝DE，AC＝AE，∠DEA＝∠C．∴BE＝4，∠DEB＝90°．設(shè)DC＝x，則BD＝8﹣x．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2＝BD2，即42+x2＝（8﹣x）2．解得：x＝3．∴CD＝3．39．（2023秋?青島期中）如圖，平面直角坐標系中，點D的坐標為（15，9），過點D作DA⊥y軸，DC⊥x軸，點E為y軸上一點，將△AED沿直線DE折疊，點A落在邊BC上的點F處．（1）請你直接寫出點A的坐標；（2）求FC，AE的長；（3）求四邊形EOFD的面積．【答案】（1）A（0，9）；（2）CF＝12，AE＝5；（3）．【解答】解：（1）∵DA⊥y軸，DC⊥x軸，∠AOC＝90°，∴四邊形AOCD是矩形，∵D的坐標為（15，9），∴AD＝OC＝15，CD＝AO＝9，∴A（0，9）；（2）∵將△AED沿直線DE折疊，點A落在邊BC上的點F處．∴DF＝AD＝15，∴CF＝＝12，∴OF＝OC﹣CF＝15﹣12＝3，設(shè)AE＝x，則EF＝x，OE＝9﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得，OE2+OF2＝EF2，即（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，∴AE＝5；（3）由（2）知AE＝5，∴OE＝9﹣5＝4，由折疊的性質(zhì)可知，S△AED＝S△DFE，∴四邊形EOFD的面積＝S△EOF+S△EFD＝S△EOF+S△AED＝＝＝．【題型11應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題】40．（2023春?長沙期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D′處，則重疊部分△AFC的面積為10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，設(shè)D′F＝x，則AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝?AF?BC＝10