2023-2024學年北京十五中高二（上）期中數(shù)學試題和答案

高中PAGE1試題2023北京十五中高二（上）期中數(shù)學2023.11考生注意：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時間為120分鐘。請將答案作答在答題紙上。第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分；每小題只有一個選項是正確的；請將答案填涂在答題紙上)1．已知直線經(jīng)過點A(0，4)和點B(1，2)，則直線AB的斜率為（）A．－2B．3C．2D．不存在2．直線l經(jīng)過點P(1，1)，且與直線平行，則直線l的方程為（

）A．B． C．D．3．已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關系為（

）A．相交 B．外切 C．內切D．內含4．橢圓的焦點坐標是（）A．(0，3)，(0，－3) B．(4，0)，(－4，0) C．(0，5)，(0，－5) D．(0，4)，(0，－4)5．若，，與的夾角為，則的值為（）A．5 B．4C．D．06．焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．7．已知向量，，，若向量與向量，共面，則實數(shù)的值為（）A． B．C． D．8．已知圓經(jīng)過三點，則圓心到直線的距離為（

）A． B．1 C．2 D．39．已知直線與曲線有兩個不同公共點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C． D．10．如圖，在棱長為2的正方體中，P為線段的中點，Q為線段上的動點，則下列四個命題中正確命題的個數(shù)是（

）①存在點Q，使得②不存在點Q，使得平面③三棱錐的體積是定值④不存在點Q，使得PQ與AD所成角為60°A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分；請將答案填入答題紙的指定位置)11．以(－1，2)為圓心且與x軸相切的圓的方程為_______________．12．直線與圓交于A，B兩點，則_________．13．若直線與直線平行，則a=_________．14．已知點A(2，0)，B(－2，0)，點P在直線上，則最小值等于__．15．已知橢圓的兩個焦點分別為，，過橢圓上頂點A與左焦點的直線與橢圓的另一個交點為B，若是直角，則橢圓的離心率是________．三、解答題(本大題共5小題，共75分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟；請將答案寫在答題紙的指定位置上)16．(本小題14分)已知三角形的頂點為.（Ⅰ）求邊上的中線所在直線方程；（Ⅱ）求邊上的高線所在直線方程.17．(本小題14分)已知直線經(jīng)過點，圓.（Ⅰ）若圓關于直線對稱，求直線的方程；（Ⅱ）若直線平行于直線，求直線關于點的對稱直線的方程.8．(本小題15分)如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面是正三角形，的中點為，平面.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求點到平面的距離.19．(本小題16分)如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，E、F分別為棱PD，PB的中點，平面PAD與平面PBC的交線是l．

（Ⅰ）求證：∥直線；（Ⅱ）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說明理由．20．(本小題16分)已知點P(1，3)，圓．（Ⅰ）求圓C過點P的切線方程；（Ⅱ）為圓與軸正半軸的交點，過點作直線l與圓交于兩點，設，的斜率分別為，求證：為定值．

參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分；每小題只有一個選項是正確的；請將答案填涂在答題紙上)1．（A）2．（C

）3．（

B

）4．（D）5．（C）6．（

D

）7．（B）8．（

D

）9．（A）10．（

A

）第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分；請將答案填入答題紙的指定位置)11．(或寫成)12．13．－214．815．三、解答題(本大題共5小題，共75分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟；請將答案寫在答題紙的指定位置上)16．解：（Ⅰ）BC的中點坐標為，3分因為，則邊BC上的中線所在直線的方程為；6分（Ⅱ）邊BC的斜率為，8分則其上的高的斜率為，10分又因為直線過，則邊BC上的高所在直線的方程為，12分即14分(直線方程也可以寫成斜截式：)17．解：（Ⅰ）由2分可得圓心，半徑，因為圓關于直線l對稱，所以直線l過圓心，3分又直線l過點，所以直線l斜率為，5分由點斜式方程可得，即7分(直線方程也可以寫成斜截式：)（Ⅱ）由題意知，直線l斜率為，則由點斜式方程可得，即，9分因為直線l與直線關于點對稱，所以，10分又因為點關于點對稱的點，直線過點，12分(也可以用直線l上其他的點求其對稱點)則由點斜式方程可得，即14分(直線方程也可以寫成斜截式：)18．解：（Ⅰ）四邊形為正方形，則，1分因為平面，所以，2分因為，；3分所以平面；4分（Ⅱ）如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，6分則，7分，，設面的一個法向量為，則，令，則，9分設直線與平面所成角為，，11分，因此直線與平面所成角的正弦值為12分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，13分設點到平面的距離為，所以15分19．解：（Ⅰ）因為//，平面，平面，所以//平面，2分又因為平面，平面平面直線l，3分所以∥4分（Ⅱ）取的中點，連接，由題意可得：//，且，則為平行四邊形，可得//，且平面PAD，則平面PAD，由平面PAD，則，又因為△PAD為等邊三角形，則為的中點，可得，，平面，則平面，6分如圖，以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，7分則，可得，8分設平面的法向量，則，令，則，即，10分由題意可知：平面PAD的法向量，11分可得，所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值12分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，13分設，，則，可得，解得，即，可得，15分若∥平面AEF，則，可得，解得，所以存在點，使得∥平面AEF，此時16分20．解：（Ⅰ）圓，圓心為，半徑為，當直線l斜率不存在時，直線l與圓C相切；此時方程為2分當直線l斜率存在時