2023-2024學(xué)年北京大峪中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京大峪中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分）1.已知直線，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知空間向量，，則（）A. B. C.1 D.23.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切4.若表示圓的方程，則的取值范圍是（）A. B. C. D.5.已知直線和直線互相平行，則a的值是（）A.0 B.2 C. D.6.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，設(shè)，則x，y，z的值為（）A. B. C. D.7.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.8.若，分別為與上任一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.9.直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.10.設(shè)為函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，是圓（其中）上的動(dòng)點(diǎn)，若最小值為1，則以所有滿足條件的點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）11.已知，，若，則___________.12.已知圓與圓外切，則__________．13.無(wú)論取何值，直線恒經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，的坐標(biāo)為_(kāi)_________，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為_(kāi)_________．14.在棱長(zhǎng)為的正四面體（四個(gè)面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為_(kāi)_________.15.如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是等邊三角形，平面平面，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，為及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，滿足平面，給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線與平面所成角為；②二面角的余弦值為；③點(diǎn)到平面的距離為定值；④線段長(zhǎng)度的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________．三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1）設(shè)的中點(diǎn)為，求邊上的中線所在的直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程；（3）求的面積．17.已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心為．（1）求圓的方程；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系；（3）已知過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．18.在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．19.已知圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，從下列3個(gè)條件選取一個(gè)：①過(guò)點(diǎn)；②圓E恒被直線平分；③與y軸相切.（1）求圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓E相切，求直線l方程.20.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）證明：若，直線平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說(shuō)明理由.21.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，現(xiàn)定義由點(diǎn)到點(diǎn)的“折線距離”為.（1）已知，求；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）對(duì)平面上給定的兩個(gè)不同的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，同時(shí)滿足①②.若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)予以證明.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分）1.【答案】B【分析】根據(jù)方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線l的傾斜角為故選：B2.【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】∵，，則，∴.故選：D.3.【答案】C【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找到圓心之間的距離和半徑之間的關(guān)系即可判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】解:由題知可化為,,所以圓心為,半徑為2,,圓心為,半徑為4,所以圓心之間的距離為,因?yàn)閳A心距大于半徑差的絕對(duì)值,小于半徑和,所以兩圓相交.故選:C4.【答案】A【分析】把給定方程配方化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式即可計(jì)算作答.【詳解】方程化為：，因方程表示圓，于是得，解得，所以的取值范圍是：.故選：A5.【答案】B【分析】由兩直線平行直接列方程求解即可.【詳解】由題意可知，因?yàn)橹本€和直線互相平行，所以，解得，故選：B6.【答案】C【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，由對(duì)稱關(guān)系可知，兩點(diǎn)連線與直線垂直，所以，又由兩點(diǎn)連線段的中點(diǎn)在直線上，得，解出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，直線的斜率為-1，由對(duì)稱關(guān)系，兩點(diǎn)連線與直線垂直，所以，又因?yàn)閮牲c(diǎn)連線段的中點(diǎn)在直線上，代入得，解方程，解得，，所以對(duì)稱點(diǎn)為.故選：A.8.【答案】C【分析】?jī)蓷l直線相互平行，的最小值是平行線之間的距離.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，的最小值是平行線之間的距離，直線可變形為則的最小值為．故選：C9.【答案】D【分析】作出曲線的圖象，通過(guò)直線的平移，求解滿足條件時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】即，表示的曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑是1的圓在x軸以及x軸上方的部分．

作出曲線的圖象，直線即，直線在軸上的截距為，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，，由，解得，所以直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D10.【答案】D【分析】由題意，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且到函數(shù)圖像距離為2，找出符合條件的點(diǎn)，求多邊形的面積.【詳解】函數(shù)的圖像是原點(diǎn)出發(fā)的兩條射線與，兩條射線關(guān)于軸對(duì)稱，與軸正方向夾角為，圓，圓心，半徑為1，最小值為1，此時(shí)為2，，圓的圓心點(diǎn)始終在坐標(biāo)軸上，所有滿足條件的點(diǎn)即坐標(biāo)軸上到或或原點(diǎn)距離等于2的點(diǎn)，軸上有滿足條件，軸上有有滿足條件，如圖所示，過(guò)和分別作的垂線，垂足為與，則，，，，四邊形的面積.故選：D二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）11.【答案】6【分析】根據(jù)，可得，解方程即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，解?故答案為：6.12.【答案】【分析】由兩圓外切，兩圓心距等于兩圓半徑之和即可求出結(jié)果．【詳解】圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為2圓，圓心坐標(biāo)，半徑為,

由兩圓外切，兩圓心距等于兩圓半徑之和，即，所以．

故答案為：．13.【答案】①.②.或【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為，即可得出定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)截距的概念分類討論求直線方程即可.【詳解】直線，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo).過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程,當(dāng)截距為0時(shí)，直線的方程即：；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)截距為，直線方程為：，點(diǎn)在直線上，所以，解得，此時(shí)直線方程為，即，故直線方程為：或.故答案為：；或.14.【答案】【分析】連接MD，取MD中點(diǎn)E，連接EN，CE，所以，所以直線和夾角即為，分別求得各個(gè)長(zhǎng)度，結(jié)合余弦定理，即可求得答案.【詳解】連接MD，取MD中點(diǎn)E，連接EN，CE，因?yàn)锳BCD為正四面體，且棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镋，N分別為MD，AD中點(diǎn)，所以，且，所以直線和夾角即為，在中，，所以在中，，所以直線和夾角的余弦值為.故答案為：15.【答案】②③【分析】對(duì)于①，直接找出直線與平面所成角求解；對(duì)于②，直接找到二面角的平面角求解；對(duì)于③，利用平面，兩點(diǎn)到平面的距離相等；對(duì)于④，求出的軌跡，再求線段長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】對(duì)于①，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又平面平面，平面平面，面，所以面，所以與平面所成角為，在直角中，，所以，故直線與平面所成角為不正確，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以，又，所以二面角的平面角為，又因?yàn)槊?，所以，在直角中，，所以，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)槠矫?，所以兩點(diǎn)到平面的距離相等，而點(diǎn)到平面的距離為定值，故點(diǎn)到平面的距離為定值，故③正確；對(duì)于④，取中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)槊妫?，故面，同理可證面，又因?yàn)椋?，面，所以面面，又平面，面，面面，所以的軌跡為線段，在等邊中，的最大值為，最小值為到直線的距離為，故線段長(zhǎng)度的取值范圍是，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.三、解答題（共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再利用點(diǎn)斜式即可求得所在的直線方程；（2）利用直線垂直斜率相等求得，再利用點(diǎn)斜式即可求得邊上的高所在的直線方程；（3）先用點(diǎn)斜式求得直線的方程，再利用點(diǎn)線距離公式與兩點(diǎn)距離公式分別求得的高與底，由此可求得的面積．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋缘闹悬c(diǎn)，故，所以邊上的中線所在的直線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，交與點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以邊上的高所在的直線方程為，即.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，又，所以的面積為.17.【答案】（1）（2）直線與圓相切（3）或【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑，即可得解；（2）求出圓心到直線的距離，即可判斷；（3）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，利用垂徑定理與勾股定理表示出弦長(zhǎng)，即可求出參數(shù)的值，從而得解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，圓的半徑為，所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)圓心到直線的距離為，則，故直線與圓相切；【小問(wèn)3詳解】解：若斜率不存在，則直線方程為，弦心距，半徑為，則，符合題意；·若斜率存在，設(shè)直線方程為，即.所以弦心距，所以，解得，直線方程為，綜上所述，直線的方程為或.18.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，只須判定即可.（2）根據(jù)面面垂直的判定只須證明平面即可.（3）在（2）的基礎(chǔ)上，可利用三棱錐可換底的特性知，從而得解.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面.【小問(wèn)2詳解】連結(jié)，如圖，，，則，故，又為的中點(diǎn)，，同理，，又，，又，平面.由于平面，平面平面.【小問(wèn)3詳解】由（2）可知平面為三棱錐的高，且，故.19.【答案】（1）（2）或【分析】（1）結(jié)合已知條件利用待定系數(shù)法或圓的幾何性質(zhì)即可求解；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的離公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】若選①：設(shè)圓E的方程為：，因?yàn)閳AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，所以，故圓E的方程為：，即；若選②：由直線方程可知，，故直線恒過(guò)點(diǎn)，因?yàn)閳AE恒被直線平分，所以圓E的圓心為，因?yàn)樵趫A上，故圓的半徑，從而圓E的方程為：；若選③：不妨設(shè)圓E的圓心為，半徑為，此時(shí)，故圓E的方程為：，分別將，代入上式可得，，故圓E的方程為：；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓E的圓心到直線的距離為，則此時(shí)直線與圓相切，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，則圓心到直線的距離，解得，所以此時(shí)直線的方程為，即，綜上：直線l的方程為或.20.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，或【分析】（1）利用面面平行證明線面平行；（2）利用坐標(biāo)法求二面角余弦值與正弦值；（3）設(shè)，可表示點(diǎn)與，再根據(jù)線面夾角求得的值.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，在線段上取一點(diǎn)，使，連接，，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，所以平面平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又是中點(diǎn)，則，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，則二面角的正弦值為；【小問(wèn)3詳解】存在，或假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，則，，則，，解得或，故存在點(diǎn)，此時(shí)或.21.【答案】（1）4；（2）；（3）存在，答案見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題中給定定義直接求解;（2）根據(jù)定義列出式子，用不等式求解最值；（3）根據(jù)定義分類討論證明.【小