吉林省部分名校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)

高一數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章至第九章.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B. C.3 D.2.某紡織廠4月份生產(chǎn)了三種類(lèi)型的紗線，分別為大卷紗線?中卷紗線和小卷紗線，其中大卷紗線有2000卷，中卷紗線有8000卷，小卷紗線有20000卷.為檢查該紡織廠4月份生產(chǎn)的這三種類(lèi)型紗線的質(zhì)量，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽檢240卷，則被抽檢的小卷紗線有（）A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷3.有一艘船以每小時(shí)25海里的速度向正東方向行駛，在處測(cè)得燈塔在該船的東北方向，該船行駛2小時(shí)后到達(dá)處，測(cè)得燈塔在該船的東偏北方向上，則（）A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里4.小唐5月日每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示，則（）A.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)是72B.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是42C.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是75D.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的第80百分位數(shù)是925.若某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，該圓臺(tái)的體積不小于，則該圓臺(tái)的高的取值范圍是（）A. B. C. D.6.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，是該正五角星的中心，則（）A. B. C.12 D.187.如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）

A. B. C. D.8.如圖，在平面四邊形中，為鈍角三角形，，則四邊形面積的最大值為（）A.1 B. C. D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C.為實(shí)數(shù) D.10.在正三棱錐中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則二面角是B.若二面角是，則正三棱錐的體積是C.荅，則正三棱錐內(nèi)切球的半徑是.D.若，則正三梭錐外接球的表面積為11.歐拉線定理指出三角形的外心?垂心?重心都在同一條直線士，且重心與外心之間的距離是重心與垂心之間的距離的一半.設(shè)分別是的外心?垂心和重心，則（）A. B.C. D.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，若，則實(shí)數(shù)__________；若，則實(shí)數(shù)__________.13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，男生成績(jī)平均數(shù)為100，方差為11，女生成績(jī)的平均數(shù)為95，方差為16，則這次測(cè)驗(yàn)中班級(jí)總體成績(jī)的方差為_(kāi)_________.14.在棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面的中心，則的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離.16.在中，角對(duì)邊分別是，已知，且.（1）求角大?。唬?）若，求面積的最大值.17.近年來(lái)，由于互聯(lián)網(wǎng)的普及，直播帶貨已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種營(yíng)銷(xiāo)形式.某直播平臺(tái)工作人員在問(wèn)詢了解了本平臺(tái)600個(gè)直播商家的利潤(rùn)狀況后，隨機(jī)抽取了100個(gè)商家的平均日利潤(rùn)（單位：百元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所得的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求m的值，并估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）以樣本估計(jì)總體，該直播平臺(tái)為了鼓勵(lì)直播帶貨，提出了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，一是對(duì)平均日利潤(rùn)超過(guò)78百元的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，二是對(duì)平均日利潤(rùn)排名在前的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案只選擇一種，你覺(jué)得哪種方案受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多?并說(shuō)明理由.18.對(duì)任意兩個(gè)非零向量，，定義：（1）若向量，，求的值；（2）若單位向量，滿足，求向量與的夾角的余弦值；（3）若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數(shù)，求的取值范圍．19.如圖，在四棱錐中，在線段上（不含端點(diǎn)），底面.（1）證明：平面平面.（2）設(shè)，請(qǐng)寫(xiě)出三棱錐體積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值.高一數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章至第九章.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A.1 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方化簡(jiǎn)，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?.故選：A2.某紡織廠4月份生產(chǎn)了三種類(lèi)型的紗線，分別為大卷紗線?中卷紗線和小卷紗線，其中大卷紗線有2000卷，中卷紗線有8000卷，小卷紗線有20000卷.為檢查該紡織廠4月份生產(chǎn)的這三種類(lèi)型紗線的質(zhì)量，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽檢240卷，則被抽檢的小卷紗線有（）A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣的意義列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，被抽檢的小卷紗線有（卷）.故選：C3.有一艘船以每小時(shí)25海里的速度向正東方向行駛，在處測(cè)得燈塔在該船的東北方向，該船行駛2小時(shí)后到達(dá)處，測(cè)得燈塔在該船的東偏北方向上，則（）A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里【答案】A【解析】【分析】由題意畫(huà)圖，再利用正弦定理求解.【詳解】由題可知,海里，在中，由正弦定理可得，則海里.故選：A4.小唐5月日每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示，則（）A.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)是72B.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是42C.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是75D.小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的第80百分位數(shù)是92【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，極差，中位數(shù)和百分位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的極差是，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)從小到大排列為，則小唐這7天每天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)是70，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)，即92，D正確.故選：D5.若某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，該圓臺(tái)的體積不小于，則該圓臺(tái)的高的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的體積公式代入求解即可.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的高為，則該圓臺(tái)的體積.因?yàn)樵搱A臺(tái)的體積不小于，所以，解得.故選：B6.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，是該正五角星的中心，則（）A. B. C.12 D.18【答案】A【解析】【分析】設(shè)交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)且，根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得．【詳解】如圖，交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)且，由題意可得.故選：A．7.如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平移法作出異面直線與所成的角，解三角形即可求得答案.【詳解】連接，因?yàn)樵谥比庵?，，分別是棱，的中點(diǎn)，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即異面直線與所成角或其補(bǔ)角；直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為2，連接，則，而平面，故平面，平面，故，是棱的中點(diǎn)，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D8.如圖，在平面四邊形中，為鈍角三角形，，則四邊形的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】（方法一）設(shè)，利用余弦定理求出，由，求出四邊形的面積為，求出最大值；（方法二）四邊形的面積，求出最大值.【詳解】（方法一）設(shè)，則，在中，，因?yàn)?，所?四邊形的面積為，當(dāng)，即時(shí)，四邊形的面積取得最大值，最大值為.（方法二）四邊形的面積.故選：B二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C.為實(shí)數(shù) D.【答案】BC【解析】【分析】首先求解復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)模的公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由，得，A錯(cuò)誤.，B正確.因?yàn)椋詾閷?shí)數(shù)，C正確.D錯(cuò)誤.故選：BC10.在正三棱錐中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則二面角是B.若二面角是，則正三棱錐的體積是C.荅，則正三棱錐內(nèi)切球的半徑是.D.若，則正三梭錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正三棱錐的幾何關(guān)系，構(gòu)造二面角的平面角，即可判斷A，根據(jù)二面角的平面角，計(jì)算三棱錐的高，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可判斷B，根據(jù)等體積公式的變換，求解三棱錐的內(nèi)切球的半徑，即可判斷C，根據(jù)球心的位置，構(gòu)造球半徑的關(guān)系式，再根據(jù)球的表面積公式，即可判斷D.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角.作平面，垂足為，點(diǎn)在上，且.對(duì)于A，由，得，則，從而，故A正確.對(duì)于B，二面角是，即，得，則3，從而三棱錐的體積，故B正確.由，得.對(duì)于，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，所以，故C錯(cuò)誤.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，且在上，連接，則，即，解得，所以，所以，故D正確.故選：ABD11.歐拉線定理指出三角形的外心?垂心?重心都在同一條直線士，且重心與外心之間的距離是重心與垂心之間的距離的一半.設(shè)分別是的外心?垂心和重心，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形外心、垂心、重心的意義及歐拉定理，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】對(duì)于A，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，，于是，當(dāng)時(shí)，不共線，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由歐拉線定理得，有，則，B正確；對(duì)于C，是的垂心，即，則，于是，即，C正確；對(duì)于D，由歐拉線定理知，則，即，D正確.故選：BCD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，若，則實(shí)數(shù)__________；若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】①.②.【解析】【分析】先得到，根據(jù)平行和垂直得到方程，求出答案.【詳解】依題意得，則.若，則，解得；若，則，解得.故答案為：，13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，男生成績(jī)的平均數(shù)為100，方差為11，女生成績(jī)的平均數(shù)為95，方差為16，則這次測(cè)驗(yàn)中班級(jí)總體成績(jī)的方差為_(kāi)_________.【答案】20【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.【詳解】依題意得這次測(cè)驗(yàn)中班級(jí)總體成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.故答案為：14.在棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面的中心，則的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由對(duì)稱性得到周長(zhǎng)的最小值即的最小值，將兩平面旋轉(zhuǎn)到同一平面上，得到，得到答案.【詳解】如圖①，設(shè)側(cè)面中心為，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，則周長(zhǎng)的最小值即的最小值.將側(cè)面繞著旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面上，將平面繞著旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面上，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，其中，如圖②，則，故的周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）連接，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，故可證明平面.（2）利用等積法可求點(diǎn)面距.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)椋?，故四邊形為平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，而，故四邊形為平行四邊形，故.因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，故，故為等邊三角形，所以?因?yàn)槠矫?，平面所以，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫瑒t點(diǎn)到平面的距離為..因?yàn)?，所?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.由，得，解得.故點(diǎn)到平面的距離為.16.在中，角的對(duì)邊分別是，已知，且.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換關(guān)系，化簡(jiǎn)條件等式，即可求解；（2）根據(jù)向量關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積公式，得到關(guān)于的等式，再根據(jù)基本不等式轉(zhuǎn)化為求的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，解得?因?yàn)?，所以，則.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，則.因?yàn)?，所?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，則的面積，故面積的最大值為.17.近年來(lái)，由于互聯(lián)網(wǎng)的普及，直播帶貨已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種營(yíng)銷(xiāo)形式.某直播平臺(tái)工作人員在問(wèn)詢了解了本平臺(tái)600個(gè)直播商家的利潤(rùn)狀況后，隨機(jī)抽取了100個(gè)商家的平均日利潤(rùn)（單位：百元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，所得的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求m的值，并估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）以樣本估計(jì)總體，該直播平臺(tái)為了鼓勵(lì)直播帶貨，提出了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，一是對(duì)平均日利潤(rùn)超過(guò)78百元的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，二是對(duì)平均日利潤(rùn)排名在前的商家進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案只選擇一種，你覺(jué)得哪種方案受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多?并說(shuō)明理由.【答案】（1），中位數(shù)為74，平均數(shù)為72.5（2）方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中各組頻率之和等于1，列出方程求出，利用中位數(shù)定義和平均數(shù)公式分別計(jì)算即得；（2）按照方案一要求，利用頻率分布直方圖先求出平均日利潤(rùn)超過(guò)78百元的商家所占的比率，再求對(duì)應(yīng)的商家數(shù)目；方案二只需取前，即前200個(gè)商家家，比較即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，解得.設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為74，平均數(shù)為【小問(wèn)2詳解】由題意可知，方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家的個(gè)數(shù)為，方案二受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家的個(gè)數(shù)為，因?yàn)?40>200，所以方案一受到獎(jiǎng)勵(lì)的商家更多.18.對(duì)任意兩個(gè)非零