專題112第一章集合與常用邏輯用語（思維導圖知識清單）-2024-2025學年高一數(shù)學舉一反三（人教A版2019）

第一章集合與常用邏輯用語（思維導圖+知識清單）【人教A版（2019）】1.1集合的概念【知識點1集合的概念】1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．【知識點2元素與集合的關系】1．元素與集合的關系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.2．常用的數(shù)集及其記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR【知識點3集合的表示法】1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．3．圖示法圖示法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圓形表示一個集合，是集合的一種直觀的圖形表示法.1.2集合間的基本關系【知識點1子集與真子集】1．子集的概念定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結論(1)任何一個集合是它本身的子集，即；

(2)對于集合A,B,C，若，且，則2．真子集的概念定義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結論(1)且，則；

(2)，且，則【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，則AB.【知識點2集合相等與空集】1．集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.2．空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.3．Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀.(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.【知識點3集合間關系的性質(zhì)】集合間關系的性質(zhì)：(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.(2)對于集合A，B，C，①若AB，且BC，則AC；②若AB，B=C，則AC.(3)若AB，A≠B，則AB.1.3集合的基本運算【知識點1并集與交集】1．并集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集的概念及表示自然語言符號語言圖形語言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)兩個集合的并集、交集還是一個集合．(2)對于A∪B，不能認為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因為A與B可能有公共元素，每一個公共元素只能算一個元素．(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．【知識點2補集與全集】1．全集(1)定義：如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．(2)符號表示：全集通常記作U.2．補集定義文字

語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合

A的所有元素組成的集合稱為集合A相

對全集U的補集，簡稱為集合A的補集，

記作?UA符號

語言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形

語言性質(zhì)(1)

(2)【注】?UA的三層含義：(1)?UA表示一個集合；(2)A是U的子集，即A?U；(3)?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．【知識點3Venn圖表達集合的關系和運算】如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個集合運算結果的Venn圖表示.1.4充分條件與必要條件【知識點1命題】命題及相關概念【知識點2充分、必要與充要條件】1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關系及符號表示由p通過推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結論q，記作：條件關系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學中的每一條判定定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個充分條件．數(shù)學中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應數(shù)學結論成立的一個必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設與命題p對應的集合為A={x|p(x)}，與命題q對應的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.1.5全稱量詞與存在量詞【知識點1全稱量詞與存在量詞】1．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x，有p(x)成立”，可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”2.存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x，使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”3．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x0，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個x0使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題.【注】常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”,表示整體或全部的含義.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”,表示個別或一部分的含義.【知識點2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】1．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．2．對全稱量詞命題否定的兩個步驟：①改變量詞：把全稱量詞換為恰當?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))存在量詞(?)．②否定結論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．3．對存在量詞命題否定的兩個步驟：①改變量詞：把存在量詞換為恰當?shù)娜Q量詞．即：存在量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))全稱量詞(?)．②否定結論：原命題中的