湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再利用集合的運算，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，又，所以，故選：C.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則，得到，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，其對應(yīng)的坐標(biāo)為，故選：C.3.已知向量，滿足，，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，進而兩式作差并整理即可得答案.【詳解】因為向量，滿足，，所以，，即，①，②所以，得：，即，所以.故選：D4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C.40 D.80【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】展開式中含的項為，所以的系數(shù)為，故選：D5.函數(shù)在（）內(nèi)沒有最小值，且存在，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過取特殊值排除驗證即可.【詳解】當(dāng)時，此時，，，不滿足存在，使得，故排除A,D當(dāng)時，此時，，，，，，此時不滿足題意，故排除C綜上所述B正確故選：B6.若為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)化簡，可求，進而求出.【詳解】因為，所以，所以，因為為銳角，故.故選：B7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的定義域及單調(diào)性得出參數(shù)范圍即可.【詳解】因為對數(shù)的定義域，得或，又因為4a2+1-4a=因為，所以可得,因為，可得,所以.故選：B.8.已知函數(shù)，若的圖象上存在兩點，，使得的圖象在，處的切線互相垂直，且過點只能作1條切線與的圖象相切，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)得到，設(shè)過點的直線與相切于點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過兩點直線的斜率得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合的圖象與題設(shè)條件，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，因為，所以，由題有有解，又，所以，即，設(shè)過點的直線與相切于點，則有，整理得到，令，則，由，得到或，由，得到，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，1,+∞，遞減區(qū)間為0,1，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的圖象如圖，又過點只能作1條切線與的圖象相切，所以或，又，所以或，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于，通過設(shè)過點的直線與相切于點，根據(jù)題設(shè)得到，從而將問題轉(zhuǎn)化成只有一解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可解決問題.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下圖為2024年中國大學(xué)生使用APP偏好及目的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖，下列關(guān)于2024年中國大學(xué)生使用APP的結(jié)論正確的是（）A.超過大學(xué)生更愛使用購物類APPB.超過半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要C.使用APP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是D.APP使用目的中6個占比數(shù)字的分位數(shù)是【答案】AC【解析】【分析】選項A和B，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項C，根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解；選項D，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解.【詳解】對于選項A，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用購物類APP占比為，所以選項A正確，對于選項B，根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要的占比為，所以選項B錯誤，對于選項C，根據(jù)圖表知，使用APP偏好情況中7個占比數(shù)字的極差是，所以選項C正確，對于選項D，根據(jù)圖表知，APP使用目的中6個占比數(shù)字從小排到大分別為，又，所以分位數(shù)是，故選項D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)滿足對任意，都有，且，則（）A. B.C. D.是偶函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】選項A，根據(jù)條件，令，即可求得，即可判斷選項A的正誤；選項B，令，可求得，即可判斷選項B的正誤；選項C，利用選項A的結(jié)果，從而可得，即可求解；選項D，用代替，得到與相減，可得，即可求解.【詳解】對于選項A，令，得到，所以選項A正確，對于選項B，令，得到，由（1）知，所以，故選項B錯誤，對于選項C，由選項A知，而，所以選項C錯誤，對于選項D，用代替，得到，即①，又②，由①②得到，，得到，又的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，即選項D正確，故選：AD.11.已知數(shù)列滿足對任意，，都有，且，（）的所有不同的值按照從小到大構(gòu)成數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.中任意3項不成等差數(shù)列 D.的前15項的和為402【答案】ACD【解析】【分析】令，，據(jù)題意，可知是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，對于A，代入通項公式即可；對于BD，列舉數(shù)列的前幾項即可驗證；對于C，假設(shè)成等差數(shù)列，由通項公式可得，方程兩邊同時除以，得，偶數(shù)=奇數(shù)，出現(xiàn)矛盾，即可判斷.【詳解】由題意，因為對任意，，都有，令，，則，因為，所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，對于A，，，故，A正確；對于B，由題意，數(shù)列的前5項為：2，4，6，8，12，所以，B錯誤；對于C，假設(shè)成等差數(shù)列，不妨設(shè)，因為，所以，即，方程兩邊同時除以，得，由于方程左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不成立，故C正確；對于D，由題意，數(shù)列的前15項為：2，4，6，8，12，14，16，24，28，30，32，48，56，60，62，所以的前15項的和為：，故D正確；故選：ACD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.命題“，”的否定是__________.【答案】，.【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定的結(jié)構(gòu)形式可得其否定.【詳解】由“，”可得其否定為：，.故答案為：，.13.某傳媒公司針對“社交電商用戶是否存在性別差異”進行調(diào)查，共調(diào)查了個人，得到如下列聯(lián)表：是社交電商用戶不社交電商用戶合計男性女性合計已知，若根據(jù)的獨立性檢驗認為“社交電商用戶存在性別差異”，則的最小值為__________.【答案】3【解析】【分析】先根據(jù)已知計算，再根據(jù)獨立性檢驗的性質(zhì)列不等式計算即可.【詳解】，所以根據(jù)的獨立性檢驗認為是不是社交電商用戶與性別有關(guān)，則的最小值為3.故答案為：3.14.已知函數(shù)有3個極值點，，（），則的取值范圍是______；若存在，使得，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，分和求導(dǎo)，進而構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個交點，進而數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍；再結(jié)合以上討論即可得到，的取值范圍即為的取值范圍，進而令，并根據(jù)極值點問題轉(zhuǎn)化得，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以，當(dāng)時，，，令得，所以，當(dāng)時，，，令得所以，令，則所以，當(dāng)時，時，，時，，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；因為函數(shù)有3個極值點，，（），所以，函數(shù)與有三個交點，因為，當(dāng)時gx>0，當(dāng)時gx>0，作出函數(shù)與圖象如圖，由圖可知，函數(shù)與有三個交點，則滿足且，所以，當(dāng)存在，使得，只需滿足，所以，的取值范圍即為的取值范圍.令，則，因為，為函數(shù)的極值點，所以，，即，，所以，，所以，即，所以，，故令，所以，，令，則，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，即，所以，，即函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，，即的取值范圍為.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個交點，進而結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，數(shù)形結(jié)合求解問題.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組，為測量學(xué)校附近正在建造中的某建筑物的高度，在學(xué)校操場選擇了同一條直線上的，，三點，其中，點為中點，興趣小組組長小王在，，三點上方5m處的，，觀察已建建筑物最高點的仰角分別為，，，其中，，，點為點在地面上的正投影，點為上與，，位于同一高度的點.（1）求建造中的建筑物已經(jīng)到達的高度；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件得到，在和，利用余弦定理得到，即可求解；（2）利用正弦定理得到，由（1）知，即可求解.【小問1詳解】如圖，設(shè)，因為在，，處觀察已建建筑物最高點的仰角分別為，，，且，，，所以，又，是的中點，在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，又，所以，整理得到，解得，所以.【小問2詳解】在中，由正弦定理知①，在中，由正弦定理知②，由（1）知，由②①得到.16.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且時，.（1）求時的解析式；（2）若方程有3個不同的實根，，，求的取值范圍及的取值范圍.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，根據(jù)條件，代入，再利用，即可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而得出圖象，結(jié)合圖象，即可求出的取值范圍；再分，和三種情況討論，通過換元和函數(shù)的對稱性，將問題轉(zhuǎn)化成和的根來求解，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，又，所以，得到，即時的解析式為.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時，，時，，其圖象如圖，又方程有3個不同的實根，由圖知.不妨設(shè)，當(dāng)時，則有，又當(dāng)時，，令，得到，其圖象如圖，此時，其中是的兩根，則，又由對稱性知，是的根，所以是的根，如下取端點，取，得到，解得或（舍），取，得到，解得或，則，，當(dāng)，易得，所以，當(dāng)時，因為是定義域為R的奇函數(shù)，由對稱性可知，，綜上所述，.17.已知等差數(shù)列的前項和為，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，，且是等差數(shù)列，求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差，應(yīng)用遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)是等差數(shù)列得出，再應(yīng)用裂項相消法求和即可證明.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,則,所以,故為定值，所以是等差數(shù)列.【小問2詳解】因為是等差數(shù)列，所以為定值，所以,即得或,又因為，所以,所以，結(jié)合知，.18.已知，且，.（1）求的最小值；（2）求證：.（參考數(shù)據(jù)）【答案】（1）（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）由于在上單調(diào)遞增，由得，可確定的單調(diào)性，進而求出最值；（2）由（1）知，要證，即證，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，命題即可證.【小問1詳解】因為，定義域為，所以，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，取到最小值.【小問2詳解】由（1）知的最小值，所以要證，只需證，即證，因為，且，所以，設(shè)，則，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以上單調(diào)遞增，所以故成立，即得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題（2）的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.19.若數(shù)列an（）滿足，則稱數(shù)列an為項數(shù)列，由所有項數(shù)列組成集合.（1）若an是100項數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)（，）時，，求數(shù)列的所有項的和；（2）從集合中任意取出兩個數(shù)列an，bn，記.①求分布列，并證明；②若用某軟件產(chǎn)生項數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，若，比較與的大小.【答案】（1）（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列（，）的前33項和問題，進而根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可；（2）①由題知的可能取值為：，進而結(jié)合題意得到，再結(jié)合等式求數(shù)學(xué)期望，并結(jié)合不等式放縮即可證明；②利用條件概率公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)變形即可證明.【小問1詳解】解：因為是100項數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)（，）時，所以，當(dāng)和