河北省衡水市武邑中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

河北省衡水市武邑中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.2．空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，的C的離心率為（）A. B.C.2 D.4．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.85．已知數(shù)列滿足：對任意的均有成立，且，，則該數(shù)列的前2022項和（）A0 B.1C.3 D.46．在棱長為1的正方體中，點，分別是，的中點，點是棱上的點且滿足，則兩異面直線，所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.8．某學(xué)生2021年共參加10次數(shù)學(xué)競賽模擬考試，成績分別記為，，，…，，為研究該生成績的起伏變化程度，選用一下哪個數(shù)字特征最為合適（）A.，，，…，的平均值； B.，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差；C.，，，…，的中位數(shù)； D.，，，…，的眾數(shù)；9．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.910．雙曲線的焦距是（）A.4 B.C.8 D.11．已知，，點為圓上任意一點，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.12．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當(dāng)a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線過拋物線的焦點F，且與C交于A，B兩點，則___________.14．定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.15．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則___________.16．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點，其中為左焦點，P是與在第一象限的公共點.線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點，則的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：，，：，，且為真命題，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求的通項公式；（2）若，求n的最小值19．（12分）男子10米氣步槍比賽規(guī)則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內(nèi)射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8名的射手進(jìn)入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發(fā)子彈．已知甲乙兩名運動員均進(jìn)入了決賽，資格賽中的環(huán)數(shù)情況整理得下表：環(huán)數(shù)頻數(shù)678910甲2352327乙5502525以各人這60發(fā)子彈環(huán)數(shù)的頻率作為決賽中各發(fā)子彈環(huán)數(shù)發(fā)生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）決賽打完第9發(fā)子彈后，甲比乙落后2環(huán)，求最終甲能戰(zhàn)勝乙（甲環(huán)數(shù)大于乙環(huán)數(shù)）的概率20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線軸，垂足為H，，圓N過點O，與l的公共點的軌跡為（1）求的方程；（2）過M的直線與交于A，B兩點，若，求21．（12分）如圖，幾何體中，平面，，，，E是中點，二面角的平面角為.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）若分別是橢圓的左、右焦點，是該橢圓上的一個動點，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，使（其中為坐標(biāo)原點）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關(guān)系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設(shè)球的半徑為cm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點睛】本題主要考查球的體積公式的應(yīng)用，以及球的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.3、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據(jù)直線和圓相交弦長可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得，結(jié)合，可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，被圓所截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離為，，解得，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點到直線距離等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.4、D【解析】先求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當(dāng)點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.5、A【解析】根據(jù)可知，數(shù)列具有周期性，即可解出【詳解】因為，所以，即，所以數(shù)列中的項具有周期性，，由，，依次對賦值可得，，一個周期內(nèi)項的和為零，而，所以數(shù)列的前2022項和故選：A6、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點、、、和向量的、坐標(biāo)，運用求異面直線余弦值的公式即可求出.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則，，，，故,,，故兩異面直線，所成角的余弦值是.故選：A.【點睛】本題考查求異面直線所成角的余弦值，屬于中檔題.7、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D8、B【解析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)及眾數(shù)的概念即得.【詳解】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念可知，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小估計數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選：B.9、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.10、C【解析】根據(jù)，先求半焦距，再求焦距即可.【詳解】解：由題意可得，，∴，故選：C【點睛】考查求雙曲線的焦距，基礎(chǔ)題.11、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點為圓上任意一點，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時，取得最大值為22.故選：C.12、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當(dāng)時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及即可求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.14、2【解析】設(shè)出曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時，顯然不成立，故，此時，設(shè)曲線任意一點，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時即為最小值.故答案為：215、36【解析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算可得；【詳解】解：因，所以，所以；故答案為：16、##4.5【解析】設(shè)為右焦點，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由，為真，可得對任意的恒成立，從而分和求出實數(shù)的取值范圍，再由，，可得關(guān)于的方程有實根，則有，從而可求出實數(shù)的取值范圍，然后求交集可得結(jié)果【詳解】解：可化為.若：，為真，則對任意的恒成立.當(dāng)時，不等式可化為，顯然不恒成立，當(dāng)時，有且，所以.①若：，為真，則關(guān)于的方程有實根，所以，即，所以或.②又為真命題，故，均為真命題.所以由①②可得的取值范圍為.18、（1）（2）12【解析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)的公差為d，因為，可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，，故n的最小值為1219、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運動員打中10環(huán)的概率，從而可求出甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率；（2）由于甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙6環(huán)，甲9環(huán)或10環(huán)，或者乙7環(huán)，甲10環(huán)，再利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數(shù)據(jù)可得甲運動員打中10環(huán)的概率為，所以甲運動員在決賽中前2發(fā)子彈共打出1次10環(huán)的概率為【小問2詳解】因為甲比乙落后2環(huán)，所以甲要獲勝，則乙打中6環(huán)，甲打中9環(huán)或10環(huán)，或者乙打中7環(huán)，甲打中10環(huán)，因為由題意可得乙打中6環(huán)的概率和打中7環(huán)的概率均為，甲打中9環(huán)的概率為，打中10環(huán)的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰(zhàn)勝乙的概率為20、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出圓N與l的公共點坐標(biāo)，再探求出點N的坐標(biāo)，并由圓的性質(zhì)列出方程化簡即得.(2)設(shè)出直線AB的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合已知條件并借助韋達(dá)定理計算作答.【小問1詳解】設(shè)為圓N與l的公共點，而直線軸，垂足為H，則，又，，于是得，因O，P在圓N上，即，則有，化簡整理得：，所以的方程為.【小問2詳解】顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB的方程為，，由消去x并整理得：，則，因為，則點A到x軸距離是點B到x軸距離的2倍，即，由解得或，則有，因此有，所以.21、（1）證明見解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，從而可證平面；（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個法向量與的方向向量，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值【小問1詳解】證明：取中點，又是中點，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中點，，平面，，又，平面，平面.【小問2詳解】解：以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，