高考數(shù)學(xué)命題思路分析及復(fù)習(xí)策略

PAGEPAGE1高考數(shù)學(xué)命題思路分析及復(fù)習(xí)策略江蘇省泰州市教育局教研室（225300）石志群從2004年開始進行分省命題試驗，到今年已有18個省、市獨立命題。經(jīng)過六年左、右時間的探索，很多省份都形成了具有自身特點的命題風(fēng)格。而這種風(fēng)格的形成對我們研究高考數(shù)學(xué)命題技術(shù)、命題思路提供了依據(jù)，也為確定恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)策略提供了研究方向。本文對高考數(shù)學(xué)命題(主要對江蘇省)的風(fēng)格、思路及對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)策略作些粗淺的探討，以作引玉之磚。一、江蘇省卷的風(fēng)格、特點分析江蘇高考數(shù)學(xué)命題經(jīng)歷了從全國卷到江蘇卷的過渡期的“穩(wěn)定”（2004年）；在教育與文化大省的背景下，努力形成江蘇卷自身特點的探索期（2005年、2006年、2007年）；再到已初步形成了具有一定的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)和獨特風(fēng)格基本成熟期（2008年、2009年）。這個“成熟”的主要標(biāo)志就是命題專家的變更并沒有產(chǎn)生大家預(yù)想中的命題風(fēng)格的大變化，而是沿著既定的目標(biāo)日臻完善。題號年份江蘇高考數(shù)學(xué)命題經(jīng)過六年的探索，已逐步形成風(fēng)格：一是難度的控制逐步準(zhǔn)確、合適；二是與高中教學(xué)逐步貼切，起到了較好的導(dǎo)向作用（這兩年的高考題大多可以作為課堂教學(xué)中的好的例、習(xí)題）；三是試卷結(jié)構(gòu)的改革有利于考出學(xué)生的真實的水平；四是試卷結(jié)構(gòu)與形式的調(diào)整使得高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)更明確。具體地，有以下幾方面的特點和值得研究的問題：一是整卷難度逐年下降，并逐步趨于穩(wěn)定?；A(chǔ)題足夠基礎(chǔ)已成為不同命題專家的共同認(rèn)識（無論是填空題還是解答題，都有逐年下降的趨勢）；二是填空題基本沒有難題，以基礎(chǔ)題為主，中檔題次之，稍難題2條左右；三是結(jié)構(gòu)基本定型，六個大題所考查的內(nèi)容及位置：三角（向量）、立體幾何、解析幾何、函數(shù)、數(shù)列及應(yīng)用問題。而數(shù)列、函數(shù)作為壓軸題的趨勢有被打破的趨勢：如形成固定模式，則會導(dǎo)致最重要的知識點、花最多時間和精力，卻最沒有希望得分，勢必會影響今后在這兩個模塊上的教學(xué)投入，而且過于固定的試卷結(jié)構(gòu)也不利于中學(xué)教學(xué)中對各模塊的正常教學(xué)課時安排；四是壓軸題難度有逐年下降的趨勢，對多數(shù)考生都能有所題號年份1516171819200811125.85.132.20911.4812.259.337.067.24.14五是附加題成為重要的得分點，值得重視。08年附加題均分21.76，09年均分超過27分。事實上，難度高于去年，而得分也高于去年，這說明，重視度對這部分的得分影響較大（08年不計入劃線，09年計入再劃線）；六是附加題得分的公平性對命題的影響：不等式得分最低，平面幾何次之，矩陣與變換得分最高，連續(xù)兩年如此，且今年對不等式證明的要求還有所降低（作差比較即可）。因此，選擇性與教學(xué)策略很重要；七是逐步克服過重的競賽味，試題更加通俗化，更接近常規(guī)，使學(xué)生看得懂，不會有心理上的恐懼。如今年的幾條大題與去年，去年與前年比較，變化明顯。事實上，與其他省、市卷比，江蘇卷在這方面一直做得比較好；八是壓軸題的獨特風(fēng)格具有延續(xù)性：數(shù)列、函數(shù)題的載體基礎(chǔ)，不別出心裁。其他省市卷中的數(shù)列與不等式、函數(shù)與不等式在江蘇不受青睞。導(dǎo)數(shù)考查層次比較基礎(chǔ)，與其他省市的導(dǎo)數(shù)題的壓軸風(fēng)格及其與方程、不等式等的結(jié)構(gòu)套路形成鮮明對照；九是江蘇新課程卷特別注重對應(yīng)用問題的考查，這兩年都在區(qū)別度最高的位置設(shè)計了較為新穎的應(yīng)用性問題；十要注意風(fēng)格也有多樣性，即穩(wěn)定之中有變化（不可能始終位于平衡位置）。也即有時是個別題把關(guān)（也有層次），有時是多題把關(guān)（每題有一個問題難，且難得適當(dāng)）。從各方反映看，后一種風(fēng)格更為大家接受；十一是《考試說明》得到了充分尊重。內(nèi)容不出界：韋達定理、三垂線定理、立體幾何、解析幾何等敏感內(nèi)容，中規(guī)中矩。文理分得清：文理要求的層次性、文理內(nèi)容的公平性。傳統(tǒng)內(nèi)容、新增內(nèi)容層次分明：新增內(nèi)容全面覆蓋，傳統(tǒng)內(nèi)容重在區(qū)分；十二是可能出現(xiàn)個別有爭議的“超綱”嫌疑的問題，不過可能因為出現(xiàn)在本來就較難的題中，并沒有引起大的爭議。如07年的第21（3）中需要解無理不等式，09年的前n-1個正整數(shù)的平方和問題，等等。個人的看法：到了壓軸題，可能就不一定很“講理”了，可以理解！二、高考數(shù)學(xué)命題思路分析1．源于教材的原則自自主命題以來，江蘇卷在“源于教材”方面進行了很有成效的嘗試，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了較好的導(dǎo)向作用。從下面的內(nèi)容我們可以看到，江蘇卷對教材中例題、練習(xí)與習(xí)題的改編也有一個從探索到成熟的發(fā)展過程。（1）直接改編即將教材中的問題進行較小的變化，如數(shù)據(jù)的改變、圖形的添加等。這些題大多是基礎(chǔ)題，主要考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識或基本方法的掌握的情況。范例1(2008年江蘇卷第2題)若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲兩次，則出現(xiàn)向上點數(shù)之和為4的概率是．教材（指蘇教版課程標(biāo)準(zhǔn)高中數(shù)學(xué)實驗教材，如無特別說明，以下同）必修3P95例3：將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，問：（1）共有多少種不同的結(jié)果？（2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？（3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？高考題就是將教材中的例題的數(shù)據(jù)改了一下，在和的大小上增加了1，而在結(jié)果的情形上降了格。范例2(2008年江蘇卷第15題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角，，它們的終邊分別與單位圓交于A、B兩點。已知A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為BA、BA（Ⅰ）求tan(+)的值；（Ⅱ）求+2的值。教材必修4P103習(xí)題3.1（3）第2（1）題：已知tanx=，tany＝－3，求tan(x-y)的值。教材必修4P108練習(xí)3：C1CAA1B1DFEB已知tanC1CAA1B1DFEB本題只是將原題條件還原為定義，其它基本未變。范例3(2009年江蘇卷第16題)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別是A1B，A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C.求證（1）EF∥平面ABC；BC1CAA1B1DEBC1CAA1B1DE教材必修2P62第17題：如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點D在邊BC上，AD⊥C1D。（1）求證：AD⊥平面BB1C1C.（2）如果點E為B1C1的中點，求證：A1E∥平面ADC1.兩題從圖形到思路都是相似的，屬直接改編。（2）大跨度改編即教材題的背景深藏于新問題之中，從表象上已基本看不出教材中題目的形式或特征了。范例4(2006年江蘇卷第9題)兩個相同的四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放入棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體的體積的可能值有ADADBCC3個D無窮多個人教版全日制普通高級中學(xué)教科書《數(shù)學(xué)》第三冊x（選修I2004年版）P46習(xí)題2.5第4題：如圖，已知x一個正方形內(nèi)接于邊長為a的正方形中，問x取什么值時，內(nèi)接正方形面積最??？該題經(jīng)歷了以下的改編過程：課本題課本題求內(nèi)接正四棱錐體積的最小值先提出的題目：求內(nèi)接八面體體積的最小值后注意到內(nèi)接八面體體積的從最小逐步連續(xù)增大的過程，提出了最后的高考題。本題的編制過程經(jīng)歷了從平面向空間、從簡單圖形向復(fù)雜圖形的演化過程，并借助體積取值的連續(xù)性，提出了一個計數(shù)問題。應(yīng)該說，這樣的改編是本質(zhì)的改編、創(chuàng)造性的改編，對教師研究教材提出了非常高的要求：不僅是在數(shù)、量、形上的不同維度的類比與復(fù)雜化，而且在高觀點的數(shù)學(xué)觀念上要有認(rèn)識、有升華。（3）組合嫁接即將幾個題目進行組合、嫁接，這是一種復(fù)合型編題法。解決這類問題的方法就是“還原”，即編題技術(shù)的逆向運行：分解。范例5(江蘇卷2008第13題)滿足條件AB=2,AC=eq\r(2)BC的ΔABC的面積的最大值是。教材必修2P100習(xí)題2.2（1）第10題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為eq\f(1,2)，那么點M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點M所形成的曲線。教材必修5P24復(fù)習(xí)題第7題：如圖，已知∠A為定角，AQPP、Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長，當(dāng)P、AQP位置時，ΔAPQ的面積最大？前一題的一般規(guī)律即為著名的“阿波羅尼圓”，即到兩個定點距離之比為不等于1的正常數(shù)的點的軌跡是圓。如果將前一題中的A、B分別視為第二題中的P、Q，則第一題中的C即對應(yīng)第二題中的A，也即在第一題中，點C對線段AB張定角（由AB確定，C軌跡是一個圓可知），且AB定長。綜上，該高考題即為課本上這兩個題組合或嫁接而成的。范例6.(2009年江蘇卷第18題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+(y-1)2=4和圓C2：（x-4）2+(y-5)2=4.（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C1截得的弦長為2eq\r(3)，求直線l的方程；（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)。教材必修2P103例3：求直線x-eq\r(3)y+2eq\r(3)=0被圓x2+y2=4截得的弦長。教材必修3P10練習(xí)3：寫出解方程ax+b=0(a，b為常數(shù))的一個算法，并畫出流程圖。高考題第（1）、（2）題均需求直線被圓截的弦長，這與教材必修2上的這道例題的方法是一致的；而第（2）題中，如果設(shè)點P（a，b），直線l1的斜率為k，則由弦長相等最后可化為關(guān)于k的方程(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5。這兩個方程中至少要有一個有無數(shù)多組解，也即教材必修3上的方程ax+b=0求解算法中的一個選擇分支：a=0且b=0時，也即方程有無數(shù)多個解的條件：一次項系數(shù)等于0且常數(shù)項等于0。（4）運用方法、思想也即將教材中的方法、思想作為改編的背景材料或思維起點，這種方法編制出的問題通常有著更加高的測試效果：共同的教材，不同的理解深度，就將教師的水平、學(xué)生的能力充分地區(qū)別開了。范例7（2008江蘇卷第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個交點。記過三個交點的圓為圓C（1）求實數(shù)b的取值范圍；（2）求圓C的方程；（3）圓C是否經(jīng)過定點？證明你的結(jié)論。教材必修２Ｐ115復(fù)習(xí)題第19題：求證：無論k取任何實數(shù)，直線(1+4k)x-(2-3k)y+(2-14k)=0必經(jīng)過一個定點，并求出這個定點的坐標(biāo)．教學(xué)時就應(yīng)該將解決這個問題的基本思想方法與思維策略加以充分的挖掘：思路一：k變化，方程對應(yīng)的曲線也就跟著變，但無論怎樣變，都經(jīng)過一個定點，因而，這個點就一定是這些變化著的曲線的交點，于是思路自然就產(chǎn)生了：取其中兩個特殊的k所對應(yīng)的兩條曲線，求出它們的交點，再檢驗對一般情況都成立。思路二：k在變化，曲線跟著變化，而經(jīng)過定點這個性質(zhì)不變，也即這個性質(zhì)不隨著k的變化而變化，故其與k無關(guān)，故而只要對k集項，并令k的系數(shù)為0即可確定定點了。范例8（2008年江蘇卷第23題）：請先閱讀：在等式cos2x=2cos2x-1(x∈R)的兩邊對x求導(dǎo)：（cos2x）=（2cos2x-1），由求導(dǎo)法則得：(-sin2x)2=4cosx(-sinx)，化簡得等式：sin2x=2sinxcosx。（1）利用上題的想法（或其他方法），試由等式(1+x)n=Ceq\o(\s\up1(0),n)+Ceq\o(\s\up1(1),n)x+Ceq\o(\s\up1(2),n)x2+…+Ceq\o(\s\up1(n),n)xn（x∈R,整數(shù)n≥2）,證明：n[(1+x)n-1-1]=eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=2))kCeq\o(\s\up1(k),n)xk-1。（2）對于正整數(shù)n≥3，求證：（ⅰ）eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=1))(-1)kkCeq\o(\s\up1(k),n)=0；（ⅱ）eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=1))(-1)kk2Ceq\o(\s\up1(k),n)=0；（ⅲ）eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do7(k=0))eq\f(1,k+1)Ceq\o(\s\up1(k),n)=eq\f(2n+1-1,n+1)。教材選修2－2P25練習(xí)3：已知，，求證：。教學(xué)中處理這個問題時，通常只注意到突出轉(zhuǎn)化思想：，但沒有注意到，如果只是為了說明轉(zhuǎn)化思想，本不必要將誘導(dǎo)公式特別給出（這也正是部分教師感到困惑的地方），給出這個誘導(dǎo)公式就是要突出由取導(dǎo)數(shù)導(dǎo)出新等式的數(shù)學(xué)方法，從一個方面說明導(dǎo)數(shù)的價值。而第（3）（ⅲ）題則是對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的進一步、高層次的考查：從表達式的結(jié)構(gòu)上看，分母k+1與組合數(shù)的上標(biāo)的關(guān)系應(yīng)該想到“求積分”的思路，而且就題目的整體結(jié)構(gòu)看、從學(xué)習(xí)的類化能力看，既然等式兩邊求導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)造出新的等式，那么，在等式兩邊求積分也一定能得到新的等式。因此，這個問題充分反映了教材中蘊含的思想、方法是值得深入挖掘的。我一向認(rèn)為：教師對教材認(rèn)識的高度決定學(xué)生的思維深度。范例9（2008年江蘇卷第19題）：（Ⅰ）設(shè)a1，a2，…，an是各項均不為零的n（n≥4）項等差數(shù)列，且公差d≠0。若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列。（I）（1）當(dāng)n=4時，求的值；（2）求n的所有可能值；（Ⅱ）求證：對于給定的正整數(shù)n(n≥4),存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b1，b2,…，bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列。本題（Ⅰ）所使用的是一個簡單的事實：既成等差又成等比的三個數(shù)相等，這是研究等差數(shù)列和等比數(shù)列及其關(guān)系時的很容易想到的基本事實。這說明，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該抓住最基本問題挖掘最本質(zhì)的知識、方法和思想。題（Ⅱ）需要由反面思考：如果有三項成等比數(shù)列（由此可得到一個等式），那么就會出現(xiàn)矛盾的結(jié)論（即那個等式不可能成立）。不僅這個反證的思想源于教材，而且產(chǎn)生矛盾的形式也在教材之中。教材2-2P84習(xí)題22第6題：證明：1，，3不可能是同一個等差數(shù)列中的三項。證明方法就是用反證法，構(gòu)造一個一邊為無理數(shù)，一邊為有理數(shù)的等式?，F(xiàn)在反思我們的教學(xué)，如果只是將反證法的思路講一下，這個題的教學(xué)功能就沒有能夠充分發(fā)揮。我認(rèn)為，如果教學(xué)中對本題多問幾個深究性的問題，學(xué)生對其本質(zhì)就會充分理解了（是不是任取三個實數(shù)，它們都不能成為同一個等差數(shù)列中的項？是不是有了無理數(shù)就不能成為同一個等差數(shù)列中的項？怎樣的三個數(shù)不能成為同一個等差數(shù)列中的項？）。2．以“數(shù)學(xué)思想”與“思維策略”測試“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的原則“思想”（也就是“立意”）是命題者追求命題的創(chuàng)新性、能力考查力度的主要手段。事實證明，一種新的觀念往往有著很好的測試功能，如1990年第一次出現(xiàn)不等式恒成立問題幾乎考倒了所有江蘇考生，而1988年第一次出現(xiàn)雙二次曲線交點問題也幾乎是全軍覆沒。真正的新觀點，肯定是有難度的，真正體現(xiàn)思維素養(yǎng)的。不過，這類題通常的測試功能很低，基本是無效題。問題是：對一些并不很新的“思想”，就體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基本功了，而且是可以有作為的。那么，究竟什么是命題的新思想呢：（1）合情推理，探究發(fā)現(xiàn)的思維策略范例10（2007年江蘇卷第20(3)題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1,a1=b2≠a1。（3）是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{bn}中有三項成等差數(shù)列？若存在，寫出一個q的值，并加以證明；若不存在，請說明理由。思路：（3）若第m,n,k項成等差數(shù)列,則2bn=bm+bk，也即：2b1qn-1=b1qm-1+b1qk-1，即：2qn-1=qm-1+qk-1，也即qm-k-2qn-k+1=0。取m-k=3,n-k=1。為什么要取m-k=3,n-k=1？思維過程應(yīng)該是：方程qm-k-2qn-k+1=0含有4個變量，直接求解是不可能的，所以只能將其“特殊化”：如果m-k與n-k相等，用整體觀點看就是一個一次方程了，但不可能；如果m-k是n-k的2倍也很好，這時本質(zhì)就是一個二次方程了，但解得q=1，也不成立；那么只能考慮m-k是n-k的3倍，更特別地，令m-k=3，n-k=1，則得到一個3次方程?？梢钥闯隹隙ㄓ幸粋€解為q=1（舍去），約去因式q-1后即得到一個一元二次方程，問題就不難解決了。（2）重要數(shù)學(xué)思想范例11（2007年江蘇卷第21題）已知a,b,c,d是不全為零的實數(shù)，函數(shù)f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有實根，且f(x)=0的實數(shù)根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的實數(shù)根都是f(x)=0的根。（Ⅰ）求d的值；（Ⅱ）若a=0，求c的取值范圍；（Ⅲ）若a=1，f(1)=0，求c的取值范圍。本題實際上是始終圍繞“集合思想”進行設(shè)計的：“方程f(x)=0有實根，且f(x)=0的實數(shù)根都是g(f(x))=0的根，反之，g(f(x))=0的實數(shù)根都是f(x)=0的根”即指方程f(x)=0與g(f(x))=0的解集相同；而在題（Ⅱ）的條件下，f(x)=0即x(bx+c)=0，g(f(x))=0即x(bx+c)(b2x2+bcx+c)=0，由兩個方程解集相同可知方程b2x2+bcx+c=0的解集為方程x(bx+c)=0的解集的子集；同樣，在題（Ⅲ）的條件下，方程f2(x)-cf(x)+c=0的解集是方程f(x)=0的解集的子集。有了“集合思想”認(rèn)識和分析問題，則只要對一個集合的子集進行準(zhǔn)確分類，基本思路就明確了。（3）將表示式進行復(fù)合與疊加表示式的形式可以增加抽象程度和復(fù)雜程度，影響學(xué)生對問題本質(zhì)的認(rèn)識。我曾經(jīng)將2008年江蘇卷第20題進行了形式的“簡化”但不改變其實質(zhì)，讓一個高一年級數(shù)學(xué)成績中等偏上一點的學(xué)生做，在20分鐘內(nèi)，該學(xué)生給出了基本正確的解答。下面就是該考題與我改編后的題目：范例12（2008年江蘇卷第20題）已知函數(shù)f1(x)=QUOTE3|x-p1|，f2(x)=2?QUOTE3|x-p2|(x∈R，p1,p2為常數(shù))。函數(shù)f(f1(x)，若f1(x)≤f2(x),f(x)=f2(x)，若f1(x)>f2(x).（Ⅰ）求f(x)=f1(x)對所有實數(shù)x成立的充分必要條件（用p1,p2表示）；（Ⅱ）設(shè)a,b是兩個實數(shù)，滿足a<b，且p1,p2∈(a,b)。若f(a)=f(b)，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為eq\f(b-a,2).（閉區(qū)間[m,n]的長度定義為n-m）改編題：設(shè)f1(x)=|x-p|，f2（x）=|x-q|+2(p,q為常數(shù))。函數(shù)f(x)定義為：對任意給定的實數(shù)x，f1(x)，若f1(x)≤f2(x),f(x)=f2(x)，若f1(x)>f2(x).（Ⅰ）求f(x)=f1(x)對所有實數(shù)x成立的充分必要條件（用p,q表示）；（Ⅱ）設(shè)a,b是兩個實數(shù)，滿足a<b，且p,q∈(a,b)。若f(a)=f(b)，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為eq\f(b-a,2).（閉區(qū)間[m,n]的長度定義為n-m）事實上，只要對高考題進行“取對數(shù)”的變換，就可以很容易地將其轉(zhuǎn)化成我的改編題。換個角度，即使想不到這種變換法，從研究函數(shù)性質(zhì)的最常用方法、最基本思路——圖象分析法的角度也是不難處理的。這種數(shù)形結(jié)合的思想正是教材中引入函數(shù)的單調(diào)性時所采用的方法，也是教材中研究單調(diào)區(qū)間時所用的方法，更是從初中到高中，研究函數(shù)性質(zhì)時最常用的方法?？上У氖?，我們給學(xué)生補充了那么多的確定單調(diào)區(qū)間的技巧，恰恰忘記了最重要、最有效、最基本的方法。（4）數(shù)學(xué)化的基本能力范例13（2009年江蘇卷第19題）按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元，則他的滿意度為eq\f(m,m+a)；如果他買進該產(chǎn)品的單價為n元，則他的滿意度為eq\f(a,n+a)。如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h1和h2，則他對這兩種交易的綜合滿意度為eq\r(h1h2)?，F(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元。設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為mA元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A和買進B的綜合滿意度為h乙。（1）求h甲和h乙關(guān)于mA，mB的表達式；當(dāng)mA=eq\f(3,5)mB時，求證：h甲=h乙；（2）設(shè)mA=eq\f(3,5)mB，當(dāng)mA，mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大綜合滿意度是多少？（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h0，試問能否適當(dāng)?shù)剡x取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。本題閱讀量大，對學(xué)生的心理承受力是一種考驗。其實只要認(rèn)真審題，逐句翻譯，（1）、（2）兩小題并不困難。這次的課程改革，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科特別重視建模能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模其實就是“數(shù)學(xué)表示”，而數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)研究的起點，也是數(shù)學(xué)抽象思維的重要特征，有時還可能是新的數(shù)學(xué)思想的源泉，如歐拉對“七橋問題”問題的研究就是非常典型的數(shù)學(xué)抽象，將現(xiàn)實中的對象抽象為數(shù)學(xué)對象、現(xiàn)實中的對象之間的關(guān)系表示為數(shù)學(xué)關(guān)系，其思想方法導(dǎo)致圖論、拓撲學(xué)等數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生。因此，從思維價值上看，數(shù)學(xué)化應(yīng)該是一種重要的思想，當(dāng)然應(yīng)該為高考命題所重視。（5）初等數(shù)學(xué)中一些特殊技巧盡管我們始終強調(diào)通性通法，而且我認(rèn)為這種提法是絕對正確的，但高考畢竟是選拔性考試，一定的區(qū)分度是必須保證的，于是，不可避免地會出現(xiàn)少量的具有特殊性技巧的問題。而對于這類問題，其實有不少在一些常見題中是出現(xiàn)過的，只是強化訓(xùn)練不夠而已。這從另一方面說明了學(xué)生過份依賴強化訓(xùn)練是有負面作用的：訓(xùn)練得少的，印象不夠深就會遺忘，從而重點與非重點不分，本質(zhì)與非本質(zhì)無別，主干與枝葉混淆。上面的范例13（3）最后就是問使得h甲=eq\r(\f(12,x+12)\f(y,y+5))≥eq\f(2,3)且h乙=eq\r(\f(x,x+3)\f(20,y+20))≥eq\f(2,3)同時成立，且h甲與h乙不能同時取eq\f(2,3)。象這樣的問題的處理方法，我們在一些運用反證法處理不等式證明問題時是遇到過的，如：求證：當(dāng)0<a，b，c<1時，三個數(shù)(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同時大于eq\f(1,4)。運用三個數(shù)相乘，然后將含相同變量的因式結(jié)合，再運用基本不等式可以發(fā)現(xiàn)：(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a≤eq\f(1,64)，因而三個因式不可能均大于eq\f(1,4)。這里所運用的是將三數(shù)相乘，在適當(dāng)組合后出現(xiàn)“和”為定值的結(jié)構(gòu)，于是可以用基本不等式求出其上界，再用上界進行范圍的制約。而范例13（3）要的就是h甲與h乙的“界”，而“積”后也會出現(xiàn)“定值”的結(jié)構(gòu)：h甲h乙=eq\r(\f(12,x+12)\f(y,y+5)\f(x,x+3)\f(20,y+20))=eq\r(\f(12,x+\f(36,x)+15)\f(20,y+\f(100,y)+25))≤eq\f(4,9)，所以，當(dāng)h甲≥eq\f(2,3)，h乙≥eq\f(2,3)時，有h甲=h乙=eq\f(2,3)。因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立。（6）特殊問題一般化有時在常規(guī)題、熟悉題上只要作一點小的改變，問題的難度就會大大提升。比如：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值是常見題，應(yīng)該是難度不大的，但在增加了字母參數(shù)后難度就會變大；如果再將閉區(qū)間改為開區(qū)間，則難度就更大了。范例14是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)=x3-3ax在（-1，2）上的值域為［m,n］？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由。因為在開區(qū)間上的值域是閉區(qū)間，說明在區(qū)間內(nèi)部存在極大值與極小值，同時極大值不小于區(qū)間端點的函數(shù)值，極小值不大于區(qū)間端點的函數(shù)值。（7）類比構(gòu)造如將一種曲線上的問題移植到另一種曲線上，將等差數(shù)列的問題類比到等比數(shù)列上等等。如北京市高考數(shù)學(xué)命題就曾經(jīng)將圓上的“蝴蝶定理”放到橢圓中進行研究。再如,在等差數(shù)列中有前n和最大值問題（高考曾經(jīng)考過），我們也可以類比到等比數(shù)列中，而且可以通過公比的符號增加問題的難度：范例15等比數(shù)列{an}的首項為50，公比為-eq\f(1,2)，求其前n項積的最大值。處理該問題，可以類比于等差數(shù)列前n項和最大值問題中的考察最后一個正項在哪里的思路，先研究各項絕對值中最后一個大于1的是哪個數(shù)，再考察其附近的項的符號就可以加以解決。本例說明：解決一個問題要掌握一種方法、一種思想，就題論題是不可能提高解題能力的。就如波利亞所說，特殊技巧用到第二次時就是一種方法了，問題是我們教學(xué)能否使學(xué)生達到如此境界。（8）逆向提出問題這種問題看似熟悉，有時卻很難，或者讓你在不經(jīng)意中出現(xiàn)失誤。范例16（2006年北京卷第5題）已知函數(shù)（a>0，a≠1)為R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是A（0，1）B（0，eq\f(1,3)）C[eq\f(1,7)，eq\f(1,3)）D[eq\f(1,7)，1)分段函數(shù)學(xué)生還是熟悉的，研究分段函數(shù)的單調(diào)性也不困難?，F(xiàn)在將問題“倒”過來問：已知分段函數(shù)的單調(diào)性，確定其條件，學(xué)生并沒有感到難，但錯誤率卻驚人的高：只是分別確定了兩段上均單調(diào)遞減的條件，而沒有從整體上明確能否保證在（-，+）上始終單調(diào)下降。（9）以具有特殊性質(zhì)的函數(shù)（數(shù)列）為載體運用具有特殊性質(zhì)（如有界性、單調(diào)性、凹凸性等）的函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學(xué)對象作為載體構(gòu)造相關(guān)的問題也是高考命題的常用技法。尤其是一些與函數(shù)有關(guān)的不等式問題、數(shù)列迭代問題，基本都是用函數(shù)的特殊性質(zhì)（可以從函數(shù)圖象上明顯看出）。更難一些的，還要根據(jù)問題特點、數(shù)式結(jié)構(gòu)、目標(biāo)形式由考生自己構(gòu)造函數(shù)解決問題。范例17（2009年遼寧卷第21題）已知函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)x2–ax+(a-1)lnx，a>1。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）證明：若a<5，則對任意x1，x2∈（0，+），x1≠x2，有eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>-1。本題第（2）題就是根據(jù)函數(shù)g(x)=f(x)+x=eq\f(1,2)x2-ax+(a-1)lnx+x在1<a<5時在（0，+）上單調(diào)增加，得到當(dāng)x1>x2>0時，g(x1)-g(x2)>0進而證得結(jié)果；同理，0<x1<x2時也成立。這里，解題的難度在于根據(jù)eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)>-1的目標(biāo)形式進行構(gòu)造。這對于出題者很容易想到：只要研究一下f(x)在（0，+）上的導(dǎo)數(shù)值的范圍就可以了。作為高校教師，這種題目是最容易出的，但也有明顯缺陷：當(dāng)中學(xué)教師知道了其風(fēng)格后，就可以有對付的辦法了。這樣做，對加重題海戰(zhàn)術(shù)的災(zāi)難可能起推波助瀾的作用，這可能也是江蘇命題專家們盡力避免出這類題的深層考慮吧？（10）表示形式復(fù)雜化就是通過函數(shù)復(fù)合的方式提高問題的抽象程度，增加難度，提高區(qū)分度。從這些年的江蘇卷看，命題專家通常喜歡用無理函數(shù)、絕對值函數(shù)與二次函數(shù)、三次函數(shù)等進行復(fù)合或部分替代，構(gòu)成綜合性問題。而這種設(shè)計新題的方法有時恰能出現(xiàn)非常新穎的立意。范例18（(2005年江蘇卷第22題)已知a?R，求函數(shù)f(x)=x2|x-a|在區(qū)間[1，2]上的最小值。本題其實就是將三次函數(shù)y=x3中的一個因子x用|x-a|代替，從而增加了一個參數(shù)，形成了分類討論的思維形態(tài)。該題的創(chuàng)新之處就在于若直接對絕對值進行討論，化成分段函數(shù)進行研究，則很繁，難以承受，能夠堅持到最后的學(xué)生幾乎沒有。而從整體思考，先進行整體認(rèn)識則可明顯降低分類情形和運算難度：顯然，如果沒有定義域的限制，則x2與|x-a|的最小值都是0，故函數(shù)的最小值必然是0?，F(xiàn)在的問題是在定義域的限制下，x2是取不到0的，而|x-a|可能取到0，只需a[1，2]即可。于是，對a進行分類的思路自然出現(xiàn)了：當(dāng)a[1，2]時，函數(shù)的最小值為0；當(dāng)a<1和a>2時，f(x)的表達式唯一確定，不需對解析式進行討論了。這種構(gòu)造題目的方法在江蘇卷中頻繁出現(xiàn)：如2006年第21題、2009年第20題等。事實上，“新思想”并不神秘，還在于我們思考得是否深入、研究得是否到位。有些所謂的“新思想”其實并不新，如2009年江蘇卷第17題的“整除”問題、第18題的ax=b有無數(shù)多個解的問題、2008年第19題的無理、有理分析法（相應(yīng)于還有奇偶分析法）等等。另外，全國卷與有些省的卷子中常用的新定義一種數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)、運算等，再提出相關(guān)問題的題型、將平面軌跡問題向空間拓展的題型在江蘇卷中還未出現(xiàn)過，這一現(xiàn)象的深層原因值得思考。我個人的觀點是：盡可能在學(xué)生學(xué)習(xí)過的內(nèi)容范圍內(nèi)命題，不在所謂的“創(chuàng)新”題上進行開拓，對控制題海的范圍，減輕學(xué)生負擔(dān)是有好處的（教師最痛苦的就是每年高考、各地模擬考試都在擴充題海，實在是“題海無涯”）。因此，我認(rèn)為江蘇的這種做法值得肯定。3．滲透新課程理念的原則從2007年高考開始江蘇就對新課程背景下的高考數(shù)學(xué)命題進行了探索，在2008年、2009年的江蘇卷中都充分體現(xiàn)了新課程的理念，主要表現(xiàn)為對學(xué)生的數(shù)學(xué)探索能力、應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等的有效考查上。如2007年第20題（見前）就對學(xué)生的合情推理能力、探索發(fā)現(xiàn)能力進行了相當(dāng)深度的測試，2008年、2009年在此方面所占份量也相當(dāng)大，這在全國進入新課程的省市的試卷中是絕無僅有的。如2008年第9題、第10題，2009年第8題等。而對邏輯探索、邏輯分析能力的考查是江蘇卷最為重視的，也是最值得重視的。如江蘇卷2008年第18題、第19題、第20題，2009年第17題、第18題、第23題等。江蘇卷對學(xué)習(xí)能力的考查也是很成功的。如2008年第23題（見前），先閱讀材料，介紹一種數(shù)學(xué)方法，再解決問題，并且四個小問題逐題上升：從簡單模仿，到綜合運用，到思想提升（思想方法的運用，也即創(chuàng)造性地運用）。當(dāng)然，應(yīng)用意識也是江蘇卷考查重點，這兩年都出現(xiàn)了應(yīng)用大題：2008年第17題、2009年第19題，而且都是具有高區(qū)分度的題，這是一個值得注意的趨勢。4．新增內(nèi)容的逐步適應(yīng)的原則江蘇命題充分吸取2003年高考新增內(nèi)容較多，且要求較高，導(dǎo)致學(xué)生不能適應(yīng)，均分過低的現(xiàn)象的教訓(xùn)，這兩年對新增內(nèi)容的考查是適度的。與其他省市相比，可以說是新增內(nèi)容考查的面最小、要求最低的。如其他省市對三示圖、二分法，導(dǎo)數(shù)與積分，甚至統(tǒng)計案例都考了，而且前三部分內(nèi)容幾乎每年必考，有些要求還相當(dāng)高，但江蘇卷除導(dǎo)數(shù)有些基本的要求處，其他都沒有考。注意到2010年的高考已是新課程的第三次高考了，教師與學(xué)生對新增內(nèi)容應(yīng)該基本適應(yīng)，在有些內(nèi)容，如導(dǎo)數(shù)（實際上已增加多年了）適當(dāng)提高要求并非不可能。但由于江蘇省《教學(xué)要求》在教學(xué)定位上的限制，在算法、幾何概型、三示圖、二分等方面的要求不會高，而根據(jù)江蘇卷的結(jié)構(gòu)，有些內(nèi)容（如統(tǒng)計案例、積分等）幾乎不會考。三、《考試說明》對命題的影響《考試說明》對考試內(nèi)容及其要求的層級作了明確的規(guī)定，層級分A、B、C三等，并逐級提升。那么，層級要求對命題會有怎樣的影響呢？越是層級高的知識點，考查的概率越大。例如，2008年對《考試說明》中的八個C級知識點，2009年的七個C級知識點，在當(dāng)年的江蘇卷中都全部進行了考查。C級知識點是命題者重點思考的、體現(xiàn)較高能力要求之所在。如2008年江蘇卷中解答題部分沒有出現(xiàn)“基本不等式”，于是就在填空題問題設(shè)計了一個能夠反映學(xué)生相關(guān)能力的問題（第11題），2009年則在第19題中考查了基本不等式，且要求較高。綜合題難度大的原因并不一定在于知識要求為C級，就在該知識點上加大難度，而在綜合性與思維層面。如兩個B級知識點的綜合就可能成為有較大難度的問題，如2009年第20題是函數(shù)部分的問題，而2009年度的《考試說明》中函數(shù)部分已沒有C級要求的內(nèi)容了，，但因其與不等式相綜合、運用分類討論的思維方法、含參數(shù)等綜合因素相作用，其難度仍然很大（是解答題中得分最低的）。高層級的知識點不一定都按高層級考，如C級知識點也可考A級要求。也就是說，如果定B級，則考試要求不超過B級，但不一定就是B級。另外，同級知識點，函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何部分的可能要比其他部分在考試頻度、要求的真實難度上要高一些。四、對高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的建議對高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大家都有著較豐富的經(jīng)驗和很有效的做法，我就不全面、系統(tǒng)地講了，下面對我認(rèn)為比較重要的幾個問題談?wù)剛€人的看法。1．講題要突出數(shù)學(xué)本質(zhì)與一般規(guī)律不能因追求簡捷、優(yōu)美的“好”方法而失去一般性，否則會產(chǎn)生負作用。范例19（人教版全日制高中數(shù)學(xué)教材的《數(shù)列》）已知數(shù)列{an}、{bn}均為等差數(shù)列，它們的前n項的和分別為Sn、Tn，且eq\f(Sn,Tn)=\f(2n+1,5n-1)，求eq\f(a9,b9)。老師通常介紹的方法是：將eq\f(Sn,Tn)中的n用17代替即可得到eq\f(a9,b9)。后來有人將問題中所求的式子改為eq\f(a9,a7)，很多學(xué)生就縮手無策了。我對一些學(xué)生進行了跟蹤了解，原來他們一直在想著如何選擇合適的n對條件式進行代入處理，從而走進了死胡同。事實上，上述方法并不是這類問題的最本質(zhì)的方法，不是通法。思路1：根據(jù)等差數(shù)列前n項和的公式的結(jié)構(gòu)形式（這是思考問題、抓住問題本質(zhì)的一個視角：結(jié)構(gòu)特征），可以知道可設(shè)Sn=k(2n+1)n，Tn=k(5n-1)n，k為非零常數(shù)，則a9=S9-S8==35k，,b7=64k，故eq\f(a9,b7)=eq\f(35,64)。思路2：我們知道，一個等差數(shù)列完全由其首項與公差而確定，故而，其性質(zhì)必定反映到首項與公差之間的關(guān)系上。為此，我們運用從特例開始的探索方法（或用基本量表示出等式eq\f(Sn,Tn)=\f(2n+1,5n-1)，由恒等的條件，過程略），確定等差數(shù)列{an}與｛bn｝的首項與公差的關(guān)系。即在條件式eq\f(Sn,Tn)=\f(2n+1,5n-1)中分別令n取1，2，3等可以得到等差數(shù)列｛an｝的首項a1、公差d與等差數(shù)列｛bn｝的首項b1與公關(guān)d‘之間的關(guān)系：a1=eq\f(3,4)d，b1=d，d’=eq\f(5,2)d，于是，eq\f(a9,b7)=eq\f(a1+8d,b1+6d')=eq\f(\f(3,4)d+8d,d+15d)=eq\f(35,64)。上文中介紹的2006年北京卷第5題所反映出的問題也是這樣，只講單調(diào)性判定、證明的各種操作步驟、特殊技巧，忽略了對其概念本質(zhì)的內(nèi)涵的認(rèn)識，講再多的方法、做再多的題目，只要一出現(xiàn)沒見過的問題就縮手無策，或出了錯還沒有知覺。PABCDMN范例20（必修2P38第11題）如圖，在四棱錐P－ABCD中，M、N分別是AB、PC的中點，若ABCDPABCDMN這是去年我在江蘇省海安中學(xué)聽一位老師在高三復(fù)習(xí)課“空間平行關(guān)系”一課上所講的第一道例題。問題提出后，學(xué)生們很快提出了兩種思路：思路一：連結(jié)A與PD中點，證明MN與連線平行；思路二：證明M、N及PB中點所在平面平行于平面PAD。這位老師分析了學(xué)生的思路并說明兩種方法：將線線平行問題轉(zhuǎn)化為線面平行；將線線平行問題轉(zhuǎn)化為面面平行。再提出問題：如果還是用第一種思路，但不用上面的那條線，也就是在平面PAD內(nèi)再找一條線與MN平行，怎么辦？問題提出后，學(xué)生們思考了六分鐘之久，才有人陸續(xù)地想到直線的作法，如有學(xué)生提出：連結(jié)CM并延長交DA的延長線于E，連結(jié)PE，則可以證明PE與MN平行。老師要求學(xué)生說明：你是怎么想到這條輔助線的？最后“逼”著學(xué)生把握到最本質(zhì)的“作線”的操作技能：找一個過MN的平面與平面PAD相交得到交線。為什么這位老師一定要讓學(xué)生找到后一種類型的輔助線而不滿足于已有的、最容易想到的“中點連線”呢？我認(rèn)為，從思維的深度上看，中點連線的思路更多的是直覺的，非理性的，能夠作這種輔助線的學(xué)生對確定面內(nèi)的滿足條件的線的最本質(zhì)的方法：“線是面與面相交得到的”不一定有所認(rèn)識，這從后來的較長時間的等待足以看出。一旦問題中缺少了諸如中點之類的明顯的提示性語言的“啟發(fā)”，就可能無從下手。只有明確了這種線是由“面面相交”（包括取中點時的線）得到，才能真正掌握解決這類問題的基本方法。2．解題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生進行廣泛聯(lián)想對信息的處理，尤其是相關(guān)聯(lián)想能力是解題能力的重要方面，因此，在解題教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生對題目提供的各種信息進行有效聯(lián)想。這里的聯(lián)想包括與條件有關(guān)的知識、方法、已經(jīng)見識過的問題有哪些？與目標(biāo)有關(guān)的知識、方法、已經(jīng)解決過的問題有哪些？由條件能得到哪些推論？要達到目標(biāo)需要哪些要求？條件與目標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系？條件或目標(biāo)的等價形式是什么？（包括代數(shù)等價對象、幾何等價對象以及其他形式的等價對象）…。南京師范大學(xué)葛軍教授曾經(jīng)提出過下面的問題：你看到“已知一元二次方程x2+bx+c=0的兩個根是x1、x2”能想到哪些東西？他認(rèn)為，應(yīng)該想到（1）根與系數(shù)關(guān)系；（2）函數(shù)圖像、頂點、對稱軸分別用系數(shù)或根表示的式子；（3）方程根的判別式>0；（4）用求根公式表示系數(shù)與根的關(guān)系；（5）函數(shù)解析式的根的表示法x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)；…。他以1997年高考壓軸題“設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的兩個根分別為x1，x2，且滿足0<x1<x2<eq\f(1,a)。（I）當(dāng)x?(0,x1)時，證明：x<f(x)<x1；…”為例，說明了這種聯(lián)想的重要作用：本題是一條幾乎全軍覆沒的難題，如果注意到目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)形式：0<f(x)-x<x1-x，應(yīng)該聯(lián)系到了函數(shù)表達式的根的表示形式：設(shè)f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，故即要證：0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x。約去x1-x即得到一個顯然成立的不等式：0<x2-x<eq\f(1,a)。3．要有對已經(jīng)解決了的問題進行引申、拓展的習(xí)慣范例21對于所有滿足1≤x≤2的實數(shù)x，不等式|ax+2|≥|x-4|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。方法一：因為不等式|ax+2|≥|x－4|等價于(ax+2)2≥(x－4)2，所以，只要求不等式（a2-1）x2+(4a+8)x-12≥0在x?當(dāng)a2-1=0時，若a=1，則由12x-12≥0解得x≥1，可見，當(dāng)x?[1，2]上不等式恒成立；若a=-1，由4x-12≥0，解得x≥3，故當(dāng)x?[1，2]上不等式不成立。當(dāng)a2-1>0時，二次函數(shù)f(x)=（a2-1）x2+(4a+8)x-12的對稱軸為x=-eq\f(2a+4,a2-1)，因為不等式-eq\f(2a+4,a2-1)<1等價于-2a-4<a2-1，等價于a2+2a+3>0，不是恒成立的，所以，當(dāng)x=1時f(x)