2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.4.2超幾何分布學案含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.4.2超幾何分布[教材要點]要點一超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k）＝____________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機變量X聽從超幾何分布．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)推斷一個隨機變量是否聽從超幾何分布，關(guān)鍵是要看隨機變量是否滿意超幾何分布的特征：①不放回抽樣；②一個總體(共有N個）內(nèi)含有兩種不同的事物A(有M個），B(有N－M個），任取n個，其中恰有X個A.符合以上特征即可斷定隨機變量聽從超幾何分布．滿意超幾何分布模型的事務的總體都是由較明顯的兩部分組成，如男生，女生；正品，次品；優(yōu)，劣等．要點二超幾何分布的均值設(shè)隨機變量X聽從超幾何分布，則X可以說明為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝eq\f(M,N)，則E(X）＝________．[基礎(chǔ)自測]1.推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）(1）超幾何分布的模型是有放回的抽樣．(）(2）二項分布與超幾何分布是同一種分布．(）(3）從3本物理書和5本數(shù)學書中選出3本，記選出的數(shù)學書為X本，則X聽從超幾何分布．超幾何分布的總體里只有兩類物品．(）2.下列隨機事務中的隨機變量X聽從超幾何分布的是(）A．將一枚硬幣連拋3次，正面對上的次數(shù)XB．從7名男生與3名女生共10名學生干部中選出5名優(yōu)秀學生干部，選出女生的人數(shù)XC．某射手射擊的命中率為0.8，現(xiàn)對目標射擊1次，記命中目標的次數(shù)為XD．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)3.一袋中裝5個球，編號為1，2，3，4，5，從袋中同時取出3個，以ξ表示取出的三個球中的最小號碼，則隨機變量ξ的分布列為(）4.已知100件產(chǎn)品中有10件次品，從中任取3件，則隨意取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學期望為________．題型一超幾何分布——師生共研例1在高二年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎嬉戲，在一個口袋中裝有5個紅球和10個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出3個球，至少摸到2個紅球就中獎，求中獎的概率．方法歸納(1）當探討的事物涉及二維離散型隨機變量(如：次品、兩類顏色等問題）時的概率分布可視為一個超幾何分布；(2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以依據(jù)公式求出X取不同值時的概率．跟蹤訓練1從一批含13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求至少有一件次品的概率．題型二超幾何分布的分布列與期望——師生共研例2盒中裝有12個乒乓球，其中9個是新的，3個是舊的(用過的就是舊的）.從盒中任取3個運用，用完后放回盒中，此時盒中舊球個數(shù)Y是一個隨機變量，求Y的分布列．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)若隨機變量Y的分布列不易求，則可以依據(jù)題意找出與隨機變量Y有關(guān)的隨機變量X，確定二者的對應值及取對應值的概率的關(guān)系，將求隨機變量Y的分布列轉(zhuǎn)化為求隨機變量X的分布列．方法歸納若X是隨機變量，則Y＝f(X）也是隨機變量，求Y的分布列，可由X的分布列得出：先由Y＝f(X）求出隨機變量Y的值，再依據(jù)隨機變量X的取值所對應的概率寫出分布列．跟蹤訓練2在心理學探討中，常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響，詳細方法如下：將參與試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評價兩種心理示意的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1）求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2）用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．題型三超幾何分布與二項分布的區(qū)分——師生共研例3在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽樣時，抽取次品數(shù)ξ的均值；(2）放回抽樣時，抽取次品數(shù)η的均值．方法歸納二項分布和超幾何分布最主要的區(qū)分在于是有放回抽樣還是不放回抽樣，所以在解有關(guān)二項分布和超幾何分布問題時，細致閱讀，辨別題目條件是特別重要的．跟蹤訓練3(1）現(xiàn)有語文、數(shù)學課本共7本(其中語文課本不少于2本），從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是eq\f(5,7)，則語文課本的本數(shù)為(）A．2B．3C．4D．5(2）甲、乙兩人玩秒表嬉戲，先按起先鍵，然后隨機按暫停鍵，視察秒表最終一位數(shù)．若出現(xiàn)0，1，2，3，則甲贏；若出現(xiàn)6，7，8，9，則乙贏；若出現(xiàn)4，5，則是平局．玩三次，記甲贏的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列．易錯辨析對超幾何分布的概念理解不透致錯例4盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，若取出的是次品不再放回，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)X的分布列．解析：X的全部可能取值為0，1，2，3.P(X＝0）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(12)))＝eq\f(3,4)，P(X＝1）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(9,44)，P(X＝2）＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(9,220)，P(X＝3）＝eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(12)))＝eq\f(1,220).因此，隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(3,4)eq\f(9,44)eq\f(9,220)eq\f(1,220)【易錯警示】易錯緣由本題易錯認為X聽從超幾何分布，其中N＝12，M＝3，n＝3，所以在取得正品之前已取出次品數(shù)X的分布列為P(X＝k）＝(k＝0，1，2，3），從而所求分布列錯誤．產(chǎn)生錯誤的緣由是未理解超幾何分布的概念，本題是不放回抽樣，屬于排列問題，而超幾何分布是一次性抽取若干件產(chǎn)品，屬于組合問題．糾錯心得依據(jù)超幾何分布的定義，可以知道超幾何分布的模型是不放回抽樣．同時在總體中只有兩類物品，它探討的對象必需明確，即是對哪一類物品的分布進行探討的，不能搞錯．如檢驗產(chǎn)品時，既可以探討抽取的產(chǎn)品中合格品的件數(shù)是否聽從超幾何分布．也可以探討抽取的產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)是否聽從超幾何分布，由于是從總數(shù)為N件的物品中任取n件，這N件物品中包括合格品與不合格品，因此在計算不合格品的分布列的過程中也可得到合格品的分布列．eq\x(溫馨提示：請完成課時作業(yè)（十二）)

7．4.2超幾何分布新知初探·課前預習要點一eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))要點二np[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√2．解析：由超幾何分布的定義可知B正確．答案：B3．解析：隨機變量ξ的可能值為1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10).故選C.答案：C4．解析：次品數(shù)聽從超幾何分布，則E(X)＝3×eq\f(10,100)＝0.3.答案：0.3題型探究·課堂解透題型一例1解析：由題意知，摸到紅球個數(shù)X為離散型隨機變量，X聽從超幾何分布，則至少摸到2個紅球的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(22,91).故中獎的概率為eq\f(22,91).跟蹤訓練1解析：由題意知X聽從超幾何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，則P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝1－eq\f(22,35)＝eq\f(13,35).故至少有一件次品的概率為eq\f(13,35).題型二例2解析：由題意知，取出的3個球中舊球的個數(shù)X的全部可能取值為0，1，2，3，且X聽從參數(shù)為N＝12，M＝3，n＝3的超幾何分布，用完放回后增加的舊球個數(shù)分別為3(取出的為3個新球)，2(取出的為1個舊球和2個新球)，1(取出的為2個舊球和1個新球)，0(取出的為3個舊球)，所以此時盒中舊球的個數(shù)Y的全部可能取值為6，5，4，3.由此建立了Y與X的關(guān)系，可用X的分布列表示Y的分布列．依據(jù)超幾何分布的分布列可得P(Y＝3)＝P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(1,220)，P(Y＝4)＝P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(27,220)，P(Y＝5)＝P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(27,55)，P(Y＝6)＝P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(12)))＝eq\f(21,55)，所以Y的分布列為Y3456Peq\f(1,220)eq\f(27,220)eq\f(27,55)eq\f(21,55)跟蹤訓練2解析：(1)記“接受甲種心理示意的志愿者中包含A1，但不包含B1”的事務為M，則P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(5,18).(2)由題意知X的全部可能取值為0，1，2，3，4，則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)題型三例3解析：(1)方法一P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)；P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15)，∴隨機變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).方法二由題意知P(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2)，∴隨機變量ξ聽從超幾何分布，n＝3，M＝2，N＝10，∴E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×2,10)＝eq\f(3,5).(2)由題意，知每次取到次品的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，∴η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，∴E(η)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).跟蹤訓練3解析：(1)設(shè)語文課本有m本，任取2本中的語文課本數(shù)為X，則X聽從參數(shù)為N＝7，M＝m，n＝2的超幾何分布，其中X的全部可能取值為0，1，2，且P(X＝k)＝eq\f(Ceq