2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題5.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)講解理科版含解析

專題5.1平面對(duì)量的概念及其線性運(yùn)算【考情分析】1.了解向量的實(shí)際背景；2.理解平面對(duì)量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.駕馭向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；5.駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.【重點(diǎn)學(xué)問梳理】學(xué)問點(diǎn)一向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面對(duì)量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0，其方向是隨意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0學(xué)問點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb學(xué)問點(diǎn)三共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.,向量概念的4點(diǎn)留意(1)留意0與0的區(qū)分，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|eq\a\vs4\al(＝)0.(2)單位向量有多數(shù)個(gè)，它們的模相等，但方向不肯定相同．(3)零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時(shí)要留意它們的特殊性．比如：命題“若a∥b，b∥c，則a∥c”是假命題，因?yàn)楫?dāng)b為零向量時(shí)，a，c可為隨意向量，兩者不肯定平行．(4)任一組平行向量都可以平移到同始終線上．【特殊提示】向量線性運(yùn)算的3點(diǎn)提示(1)兩個(gè)向量的和仍舊是一個(gè)向量．(2)利用三角形法則時(shí)，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時(shí)，兩向量要有相同的起點(diǎn)．(3)當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則仍舊適用，而平行四邊形法則不適用．【拓展提升】共線向量定理的深解讀定理中限定了a≠0，這是因?yàn)榧偃鏰＝0，則λa＝0，(1)當(dāng)b≠0時(shí)，定理中的λ不存在；(2)當(dāng)b＝0時(shí)，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保證明數(shù)λ的存在性和唯一性．學(xué)問點(diǎn)四必備結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最終一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up7(→))＝eq\o(A1An,\s\up7(→)).特殊地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2.在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：(1)eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0；(2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))；(3)eq\o(GD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))．3．若eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.4．對(duì)于隨意兩個(gè)向量a，b，都有：①|(zhì)|a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．當(dāng)a，b不共線時(shí)：①的幾何意義是三角形中的隨意一邊的長(zhǎng)小于其他兩邊長(zhǎng)的和且大于其他兩邊長(zhǎng)的差的肯定值；②的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長(zhǎng)與兩對(duì)角線的長(zhǎng)之間的關(guān)系．【典型題分析】高頻考點(diǎn)一平面對(duì)量的有關(guān)概念【例1】（2024·河北正定中學(xué)模擬）設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3，故選D?！練w納總結(jié)】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與隨意向量共線．【變式探究】（2024·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，肯定是共線向量；②λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B.1C．2 D．3【答案】D【解析】①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0.③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是隨意向量．故錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選D.高頻考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算【例2】(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))【答案】A【解析】作出示意圖如圖所示．eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)).【方法技巧】向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．【變式探究】(2024·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(EC,\s\up8(→))，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq\o(BF,\s\up8(→))＝()A．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))D．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))【答案】B【解析】依據(jù)平面對(duì)量的運(yùn)算法則得eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)).因?yàn)閑q\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))－\o(AB,\s\up8(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))，故選B.高頻考點(diǎn)三依據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例3】（2024·湖北武漢中模擬）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】由題意易得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，則2eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→)).故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).【方法技巧】解決此類問題可以通過探討向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值.【變式探究】(2024·山西師大附中模擬)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up8(→))，P是直線BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up8(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－4B．－1C．1D．4【答案】B【解析】∵eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up8(→))，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝5eq\o(AN,\s\up8(→)).又eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AN,\s\up8(→))，由B，P，N三點(diǎn)共線可知，m＋2＝1，∴m＝－1.高頻考點(diǎn)四共線向量定理的應(yīng)用【例4】（2024·哈爾濱六中模擬）設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【解析】(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.【方法技巧】利用共線向量定理解