江蘇省蘇州市蘇州外國(guó)語學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

蘇州外國(guó)語學(xué)校2024-2025學(xué)年第一學(xué)期10月階段性檢測(cè)卷高二數(shù)學(xué)總分：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在軸上的截距為3，則直線的一般式方程為A.B. C. D.2.“”是“直線和直線平行”的A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件3.在四面體中，，，，為△ABC的重心，在上，且，則（）A.B.C. D.4.已知兩條平行直線，間的距離為3，則等于（

）A. B.48 C.36或48 D.或485.若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則直線的傾斜角取值范圍是（

）A．B．C．D．6.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（

）A． B． C．4D．27.如圖，在三棱錐中，已知，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B. C.D.8.如圖，已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（）A.B. C.D.二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分．9.下列說法正確的是（

）A.若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為B.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為D.已知直線過定點(diǎn)且與以、為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是10.已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.的最小值為 D.若，則的最小值為211.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F分別為棱的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在線段，使平面平面C.G為上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，直線與所成角最小D.若平面與棱有交點(diǎn)，記交點(diǎn)分別為M，N，則的取值范圍是三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量.若,則的值是________.13.的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、則角的平分線所在的直線方程為________.(用一般式表示)14.直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)到平面的距離的最小值為．

四.解答題15.（13分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，．（直線方程最后結(jié)果用一般式表示）(1)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程；(2)若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程；(3)已知直線過點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離為，求直線的方程．16.（15分）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．（15分）在斜三棱柱中，，，.證明：在底面上的射影是線段的中點(diǎn)；(2)求直線與平面所成角的余弦值．18.（17分）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，.(1)若過點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，求直線的斜率；(2)若，求的面積的最大值；(3)設(shè)，若，求證：直線過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).19.（17分）如圖，直角梯形ACDE中,、M分別為AC、ED邊的中點(diǎn)，將△ABE沿BE邊折起到△A'BE的位置，N為邊A'C的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面A'BE；(2)當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳二面角時(shí)，求平面NBM與平面BEDC夾角的正切值．參考答案和解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在軸上的截距為3，則直線的一般式方程為A． B． C． D．【解答】解：直線的傾斜角為，則，直線的傾斜角為，直線的斜率為，直線在軸上的截距為3，直線的方程為，即．故選：．2.“”是“直線和直線平行”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【分析】分別當(dāng)時(shí)，判斷兩直線的位置關(guān)系和當(dāng)兩直線平行且不重合時(shí)，求的范圍．【解答】解：當(dāng)時(shí)，兩直線分別為：，，兩直線斜率相等，則平行且不重合．若兩直線平行且不重合，則或，綜上所述，是兩直線平行的充分不必要條件．故選：．3.在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，故選：C.4．已知兩條平行直線，間的距離為3，則等于（

）A． B．48 C．36或48 D．或48【答案】D【解析】將改寫為，因?yàn)閮蓷l直線平行，所以．由，解得或，所以或48．故選：D.5．若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，直線的斜率，此時(shí)傾斜角為；直線的斜率不存在，此時(shí)傾斜角為；所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：B.6.如圖，二面角等于，是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（

）

A． B． C．4 D．2【答案】C【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.7.如圖，在三棱錐中，已知，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】取的中點(diǎn)為，連接因，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面因?yàn)?，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以異面直線與所成角的余弦值為故選：A8.如圖，已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，則線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】在正三棱柱中，在平面內(nèi)過A作，顯然射線兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，則，，因動(dòng)點(diǎn)P在線段上，則令，即有點(diǎn)，，，，因此點(diǎn)P到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以線段上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為.故選：C二．多選題9.下列說法正確的是（

）A．若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為D．已知直線過定點(diǎn)且與以、為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線的一個(gè)方向向量為，則該直線的斜率為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，方程表示過點(diǎn)，且斜率為的直線，但不包括直線，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，將直線方程變形為，由可的，所以，直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，因?yàn)?，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，，，所以由圖可知，或，則斜率的取值范圍是，D對(duì).故選：ACD.10．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為 D．若，則的最小值為2【答案】BCD【解析】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)的斜率不存在，，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，當(dāng)且時(shí)，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；

故選：BCD11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E、F分別為棱的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）．A.三棱錐的體積為定值．B.存在線段，使平面平面．C.G為上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，直線與所成角最?。瓺.若平面與棱有交點(diǎn)，記交點(diǎn)分別為M，N，則的取值范圍是．【答案】ACD【解析】易知側(cè)面，所以上的點(diǎn)到側(cè)面的距離始終不變，即正方體的棱長(zhǎng)2，而對(duì)于三棱錐的體積，故A正確；如圖所建立的空間直角坐標(biāo)系，則,可設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，即，顯然，若平面平面，則，此時(shí)G不在線段上，即B不成立；易知，設(shè)直線與所成角為，則，顯然時(shí)，，即取得最小值，此時(shí)，故C正確；如圖所示，要滿足題意需G靠C近些，過G作，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于I，連接IN交AB于M，設(shè)，易知，所以，由，所以D正確；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量5，，1，2)，若平面ABC，則x的值是______．【答案】【詳解】平面，存在事實(shí)，使得，，解得．故答案為．13.△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，3)，B(-2，-5)，C(8，0)，則角A的平分線所在的直線方程為________.14．直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)到平面的距離的最小值為．

【答案】/【詳解】

取交點(diǎn)于點(diǎn)，因?yàn)橹彼睦庵乃欣忾L(zhǎng)都為，所以，以所在直線為軸，過點(diǎn)豎直向上所直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以A3,0,0，，，，，，設(shè)平面的法向量為n=x則有，令，則，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，所以設(shè)，，又因?yàn)椋?，即，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，又因?yàn)椋詴r(shí)，，即點(diǎn)到平面的距離的最小值為.故答案為：.四.解答題15．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，．(1)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程．(2)若是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線的方程．（3）已知直線l過點(diǎn)A,且點(diǎn)B到l的距離為4，求直線l的方程．【詳解】（1）由題意得，則直線的斜率為，所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為：，即．····································5分（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因?yàn)槭且詾轫旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以點(diǎn)在直線上，故設(shè)點(diǎn)為，由可得：，解得或，·······························10分所以點(diǎn)坐標(biāo)為或，則直線的方程為或．···············13分（3）或16.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，.17.在斜三棱柱中，，，.(1)證明：在底面ABC上的射影是線段BC的中點(diǎn)；(2)求直線AC1與平面所成角的余弦值．【詳解】（1）法一：取線段的中點(diǎn)，連接，由題意，故，則，于是，而，則，為等邊三角形且為的中點(diǎn)，故，∵，且面，則面，面，∴，∵且為的中點(diǎn)，∴，又，，且面，∴面，面，則，又，且面，∴平面，即在底面ABC上的射影是線段BC中點(diǎn)M；法二：取線段的中點(diǎn)，設(shè)，，，由題意得，，故，由，故，則，∵，，∴，代入化簡(jiǎn)，得，∵，∴，即，同理，又，面，∴平面，即在底面ABC上的射影是線段BC中點(diǎn)M；（2）法一：設(shè)，作平面，連接，

則即為直線AC1與平面所成角，在中，，，，∴，由（1）得，，∴，，由（1）易知：平面與之間的距離為1，由，則，解得，在中，，，直線AC1與平面所成角的余弦值為.法二：如圖，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，故，設(shè)面的法向量，則，令，即，又，設(shè)線AC1與面所成角為且，則，，直線AC1與平面所成角的余弦值為.18．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，.（1）若過點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，求直線的斜率；（2）若，求的面積的最大值；（3）設(shè)，若，求證：直線過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】解：（1）因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)且，則所在直線方程為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，的面積為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，由題意可得，令，解得，聯(lián)立，可得，由得或，由得或，所以或．所以的面積令，則，則因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積最小，此時(shí)，即，則，所以的面積的最小值時(shí)所在的直線的斜率為.（2）下面用弧度表示角，設(shè)，則，由正弦定理得，所以，因此當(dāng)即時(shí)，的面積的最大，最大值為.（3）因?yàn)?，所以，所以?dāng)直線斜率不存在時(shí)，即時(shí)，直線方程為（①），當(dāng)直線斜率存在時(shí)，即時(shí)，直線方程為，整理可得（②）（①滿足②，所以對(duì)②都成立），同時(shí)除以得③，又因?yàn)?，所以代入③整理得，?duì)于任意都成立，所以，解得，所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.19．如圖，直角梯形ACDE中，、M分別為AC、ED邊的中點(diǎn)，將△ABE沿BE邊折起到△A'BE的位置，N為邊A'C的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面A'BE；(2)當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳二面角時(shí)，求平面NBM與平面BEDC夾角的正切值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)