31拉格朗日中值定理_第1頁
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3.1拉格朗日中值定理一、定理二、例題三、推論定理3-1(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函數(shù)滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù),(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得:OxyABbaC由定理的條件可知,如圖所示,連接端點A和B作弦AB,則

幾何直觀曲線在上是一條連續(xù)的曲線弧曲線弧

內(nèi)部每一點處都有不垂直于x軸的切線.ξ令01)0()1()('--=ffxf,即得

0,110122=+-xx驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)1例

254)(23-+-=xxxxf

在區(qū)間[01],上的正確性.

故它在閉區(qū)間[01],

足拉格朗日中值定理的條件.

解254)(23-+-=xxxxf是初等函數(shù),[0,1]所以函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)上滿即存在使得

因此,拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間[0,1]上成立.

注:只需要有一個根滿足就行,這是一個存在性定理。例2證明:對任意不等式成立.解

設(shè).顯然它在拉格朗日中值定理的條件,所以有即

,因為

,故

所以

上滿足證

設(shè)為區(qū)間上任意兩點(不妨設(shè)),顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件,,即,則由于上為一常數(shù).在區(qū)間)(xfI故也就是說,函數(shù)在區(qū)間

上任意兩點的函數(shù)值相等,I推論1若函數(shù)上滿足在區(qū)間,則在區(qū)間)(xf上必為一常數(shù).I所以內(nèi)相等

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