大學(xué)物理下學(xué)期課后答案

習(xí)題八

8-1電量都是4的三個點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個頂點(diǎn).試問：(1)在這三角形的中

心放?個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都達(dá)到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫

侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長有無關(guān)系？

解：如題8T圖示

(1)以/處點(diǎn)電荷為研究對象，由力平衡知：為負(fù)電荷

4兀a'4TI￡0V3

(2)與三角形邊長無關(guān).

題8-1圖題8-2圖

8-2兩小球的質(zhì)量都是根，都用長為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電量，靜止時兩線

夾角為2。，如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計，求每個小球所帶的

電量.

解：如題8-2圖示

Tcos0=mg

Tsin0=Fe

471%(2/sin6)

解得q=21sin6，4飛沖tan6

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E=—J,當(dāng)被考察的場點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近(r―0)時，則場強(qiáng)

4f/

-8,這是沒有物理意義的，對此應(yīng)如何理解？

解：后虧僅對點(diǎn)電荷成立，當(dāng)r-0時，帶電體不能再視為點(diǎn)電荷，再用上式求

4n￡0r

場強(qiáng)是錯誤的，實際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場強(qiáng)不會是

無限大.

8-4在真空中有Z,B兩平行板，相對距離為d,板面積為S，其帶電量分別為+g和-q.則

這兩板之間有相互作用力了,有人說/=q,2,又有人說，因為f=qE,E=〃~,所

2

以/=—.試問這兩種說法對嗎?為什么？/到底應(yīng)等于多少？

￡（）S

解：題中的兩種說法均不對.第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對的，第二種說法把

合場強(qiáng)E=工看成是一個帶電板在另一帶電板處的場強(qiáng)也是不對的.正確解答應(yīng)為一個

￡°S

2

板的電場為E=，；，另一板受它的作用力/="'一=^,這是兩板間相互作用

QS2￡°SQS

的電場力.

8-5?電偶極子的電矩為?=”■,場點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距離為r,矢量產(chǎn)與，的夾角為

夕（見題8-5圖），且〃>>/.試證尸點(diǎn)的場強(qiáng)E在r方向上的分量片.和垂直于r的分量紇,分

別為

_pcosffpsinO

C,.-------r>七a=------r

5

2兀￡城347T￡Qr

證：如題8-5所示，將力分解為與尸平行的分量psin。和垂直于尸的分量psin。.

，/r?/

場點(diǎn)尸在廠方向場強(qiáng)分量

_pcosd

3

''2n￡or

垂直于r方向，即e方向場強(qiáng)分量

F_psin6>

8-6長/=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度丸=5.0x1O^Om'的正電荷.試求:

（1）在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B端相距%=5.0cm處P點(diǎn)的場強(qiáng)；（2）在導(dǎo)線的垂直平分線上與

導(dǎo)線中點(diǎn)相距弘工5.0金處。點(diǎn)的場強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

(1)在帶電直線上取線元dr,其上電量dq在尸點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為

1/Idx

dE=----------------------------------7-

P4兀4(a-x)

EP=JdEp-g

J4兀4%((7-x)

=-^―[―------—]

4。J"

22

刀

22

ns0(4a-/)

用/=15cm,/l=5.0xl0-9C-ma=12.5cm代入得

21

Ep=6.74xl0N-C方向水平向右

1

(2)同理d^0=---"亍方向如題8-6圖所示

4兀4x+d：

由于對稱性Jd^2*=0,即應(yīng)2只有y分量,

1Adxd2

4兀//&+#

dr

(x2+d]y

2/

2

2it￡oyJ/+4dj

以2=5.0x10"C-cm1,/=15cm,d?=5cm代入得

E。=?◎，=14.96x102N-C-i,方向沿y軸正向

8-7一個半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為/I,求環(huán)心處。點(diǎn)的場強(qiáng).

解：如8-7圖在圓上取dl=Rd(p

dq=2d/=,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為

亞=用嗎方向沿半徑向外

4n％R2

貝ijd￡=dEsin^=---------sin崗0

v4兀

dE=dEcos(乃一°)=------cos(pA(p

積分E*=f---sin的夕=---

》4TI￡0R2its0R

[?T-4

Ey=---------cos喝9=0

E=E=--一,方向沿x軸正向.

x2兀

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為/,總電量為q.(1)求這正方形軸線上離中心為尸

處的場強(qiáng)E；(2)證明：在r>>/處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的場強(qiáng)E.

解：如8-8圖示，正方形一條邊上電荷幺在P點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)赤？方向如圖，大小為

4P

_2(cosq-cos%)

a七P-

4兀4

COS4

COS%--COS。]

d&在垂直于平面上的分量d%=dEpCos￡

題8-8圖

由于對稱性，尸點(diǎn)場強(qiáng)沿0P方向，大小為

方向沿而

8-9(1)點(diǎn)電荷夕位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場中穿過立方體的一個

面的電通量；(2)如果該場源點(diǎn)電荷移動到該立方體的一個頂點(diǎn)上，這時穿過立方體各面的

電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷夕的電場中取半徑為R的圓平面.q在該平

面軸線上的4點(diǎn)處，求：通過圓平面的電通量.(a=arctanK)

X

解：(1)由高斯定理=且

￡。

立方體六個面，當(dāng)夕在立方體中心時，每個面上電通量相等

各面電通量①，=幺.

6%

(2)電荷在頂點(diǎn)時，將立方體延伸為邊長2。的立方體，使q處于邊長2。的立方體中心，則

邊長2。的正方形上電通量①,,=4

6%

對于邊長。的正方形，如果它不包含4所在的頂點(diǎn)，則①，=—L,

24&、

如果它包含4所在頂點(diǎn)則①，=0.

如題8-9(a)圖所示.

題8-9(a)圖題8-9(b)圖題8-9(c)圖

(3)???通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為^R2+X2的球冠面的電通量，球冠

面積*

S=2H(R2+X2)[1X]

...中=久_____)_____□一X

44兀(火”2)2%J-2+.2

*關(guān)于球冠面積的計算：見題8-9(c)圖

S=[27trsina-rda

=2nr2￡sina-d?

=2兀12(1—cosa)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2義10“c?83求距球心5^,

8cm,12cm各點(diǎn)的場強(qiáng).

解：高斯定理￡4口2=Zi

工4/

當(dāng)r=5cm時，＞,q=0,E=0

*、47r

r=8cm時，￡q=p-^⑴_埃)

苧F)

E=—-----；—B3.48X1()4N.CT,方向沿半徑向外.

4兀4廠

0、47r-

r=12cm時，￡q=p—(琮—日)

「：仁一日)

E=—----------?4.10xl04N-C-'沿半徑向外.

4兀分廠

8-11半徑為飛和火2(火2>/)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量丸和

-4,試求：⑴/Vg；(2)7?j<r<7?2；(3)/>7?2處各點(diǎn)的場強(qiáng),

解：高斯定理

取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積S=27r〃

則《2?君=E2?！?/p>

對?⑴r</?,￡q=0,E=0

(2)R]<r<R2>q=/九

E=―-—沿徑向向外

271￡,(,/*

(3)r>R2Zq=0

E—0

題8T2圖

8-12兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為6和^2,試求空間各處場

強(qiáng).

解：如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為名與。2，

_1

兩面間，E=——(CT,-(T2)M

<7］面外，E=-----(cr,+cr2)n

見面外，E-----(cr,+a2)w

萬：垂直于兩平面由力面指為面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為「，若在球內(nèi)挖去一塊半徑為rVR的

小球體，如題8T3圖所示.試求：兩球心O與。'點(diǎn)的場強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場是均

勻的.

解：將此帶電體看作帶正電0的均勻球與帶電一0的均勻小球的組合，見題8-13圖(a).

(1)+「球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場Eo=o，

-p球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場Mo——OO'

204兀"V

—1-:>Q-------*■

???O點(diǎn)電場=一^。7；

34d

(2)+2在O'產(chǎn)生電場￡o，=W——.OO'

4兀jd

一「球在O'產(chǎn)生電場后20,=0

O'點(diǎn)電場Eo.=-^-OO'

題8-13圖(a)題8T3圖(b)

(3)設(shè)空腔任一點(diǎn)尸相對O'的位矢為尸，相對。點(diǎn)位矢為尸(如題873(b)圖)

則瓦L盧

3%

“F0，

3%

e(尸_/)=上-而=旦

EE+E.

PPOPO343%3%

腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的.

8-14―電偶極子由g=l.OX1(TC的兩個異號點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm,把這電

偶極子放在1.OX105N-C1的外電場中，求外電場作用于電偶極子上的最大力矩.

解：：電偶極子p在外場E中受力矩

M=pxE

Mmax=pE=q/E代入數(shù)字

河-6354

max=1.0xl0x2xl0-xl.0xl0=2.0xl0-Nm

8-15兩點(diǎn)電荷%=1.5><10弋,42=3.0X10%相距-二42cm,要把它們之間的距離變?yōu)?/p>

r2=25cm,需作多少功？

解：人「戶怔=「芻%=芻”(」-與

*￡曲例/0r2

=—6.55x10-6J

外力需作的功4=—/=—6.55x10-6J

題8-16圖

8-16如題8-16圖所示，在4,8兩點(diǎn)處放有電量分別為+4,-q的點(diǎn)電荷，Z8間距離為

2R,現(xiàn)將另?正試驗點(diǎn)電荷外從。點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到C點(diǎn)，求移動過程中電場力作的

功.

解：如題8T6圖不

4=%"-〃)=q°q

(at￡OR

8-17如題8T7圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為A的正電荷,兩直導(dǎo)線的長度和半

圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心。點(diǎn)處的場強(qiáng)和電勢.

解：（D由于電荷均勻分布與對稱性，Z8和8段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)互相抵消，取

d/=Rd0

則dq=/lAd。產(chǎn)生O點(diǎn)面如圖，由于對稱性，。點(diǎn)場強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

?

[sin（一工）-siny1

4兀

-Z

2兀/7?

（2）48電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生電勢，以。8=。

一.Adx*Adx21個

U、=--------=--------=--------In2

由4兀及4TT￡0X4九/

2

同理CO產(chǎn)生U、=------In2

4兀4

兀R4_A

半圓環(huán)產(chǎn)生

4兀4R44

2,C2

%/+仇+4=In2+----

瓦外4%

8-18一電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2X10%?s'的勻速率作圓周運(yùn)動.求帶電直線

上的線電荷密度.（電子質(zhì)量加o=9.IX10"kg,電子電量e=1.60X10寬）

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為力，在電子軌道處場強(qiáng)

E=—^—

2兀

電子受力大小F=eE=--------

e2兀4尸

.eAv2

..--------=m—

2兀￡0尸r

得力=舉竺二=I2.5X1(T”Cm-i

e

8-19空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為E=30kV?cm超過這個數(shù)值時空氣要發(fā)生火花放

電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為d=0.5cm,求此電容器可承受的最高電壓.

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場

/.t/=^d=1.5xl04V

8-20根據(jù)場強(qiáng)E與電勢。的關(guān)系后=-VU,求下列電場的場強(qiáng)：(1)點(diǎn)電荷q的電場；

(2)總電量為4,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*(3)偶極子p=q/的r＞〉/處(見題

8-20圖）.

PS"）

/

q/+q

解：（1）點(diǎn)電荷U=—°/①題8-20圖

4兀員尸

,E=一?%=—不為廠方向單位矢量.

dr4兀￡*0〃

（2）總電量夕，半徑為H的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢

U=--------4,

4714JR?+x2

.?dU-qx-

..E=--—l=-------7---2------2

&47i^0（7?+x）

（3）偶極子?=〃在尸＞＞/處的一點(diǎn)電勢

1,qlcos3

U=-^—[--------------------1-----]=4兀獷

4兀￡。（尸一5cos8）（l+；cos。）

.廠dUpcosd

..E=------=----------

1dU_psind

rd04兀

8-21證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來說，(1)相向的兩面上，電

荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符

號相同.

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體/、8的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為巧，。2,

巴,(74

題8-21圖

(1)則取與平面垂直且底面分別在〃、8內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時?，有

《后?達(dá)=(s+O-3)A5=0

=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反；

(2)在/內(nèi)部任取一點(diǎn)尸，則其場強(qiáng)為零，并且它是山四個均勻帶電平面產(chǎn)生的場強(qiáng)疊加而

成的，即

%=0

又CT?+=0

??bI=O"4

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同.

8-22三個平行金屬板N,8和C的面積都是200cm2,/和8相距4.0mm,〃與C相距2.0

mm.B,C都接地，如題8-22圖所示.如果使/板帶正電3.0X10七，略去邊緣效應(yīng)，|'njB

板和C板上的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢為零，則N板的電勢是多少？

解：如題8-22圖示，令/板左側(cè)面電荷面密度為3，右側(cè)面電荷面密度為

CAB

°2

5

ri

題8-22圖

(1)UAC=LB，即

?

E/cd/C=EABdAB

B]=EAC_d-B_2

。2EABd/c

且什2=3

=IL=

得AA

23S'13s

7

而7c=fS=_%=-2x10C

7

qB=_02s=-lxl0-C

(2)UA./ICAC=曳d/"tC=2.3x103V

%

8-23兩個半徑分別為凡和&(&<4)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+4,試計

算:

(1)外球殼上的電荷分布及電勢大小;

(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢;

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變量.

解：(1)內(nèi)球帶電+q；球殼內(nèi)表面帶電則為-q,外表面帶電為+q,且均勻分布，其電勢

題8-23圖

qdr_q

U=E-dr

4兀￡(/24兀

(2)外殼接地時，外表面電荷+q入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為-g.所以球殼電

勢由內(nèi)球+q與內(nèi)表面-4產(chǎn)生：

U=—4----------①—=0

4?！晷?4兀4此

⑶設(shè)此時內(nèi)球殼帶電量為q';則外殼內(nèi)表面帶電量為外殼外表面帶電量為-q+q'

(電荷守恒)，此時內(nèi)球殼電勢為零，且

q+q,

uA=-g—金—+~=o

4兀%舄4兀4兀4&

得q'=—q

生

外球殼上電勢

Trq'q',-q+q'（火

4K6*07?2471￡氏4兀4&4TC6:07?2

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為d=3火處有

一點(diǎn)電荷+4,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為/,則球接地時電勢。。=0

8-24圖

由電勢疊加原理有:

4兀￡()7?4?！辍?火

fg

得q

3

8-25有三個大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫侖力

為F。.試求：

(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫侖力；

(2)小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫侖力.

解：由題意知F=

o4兀

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

“3

q中

??.此時小球1與小球2間相互作用力

F_____i!_=3F

14兀4/228°

(2)小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個小球帶電量均為”.

3

22

W4

...小球1、2間的作用力工=工^-=—工

4?！?/29

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為d,分別維持電勢

UA=U,不變.現(xiàn)把一塊帶有電量4的導(dǎo)體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面

積也是S,片的厚度略去不計.求導(dǎo)體薄片的電勢.

解：依次設(shè)N,C,8從上到下的6個表面的面電荷密度分別為力，。2,。3,。4,。6

如圖所示.由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持=(/可得以下6個方程

題8-26圖

￡°U

CT,+cr

2d

…4

qB_￡°u

~S~―_d~

a2+%=0

cr4+cr5=0

(T]=cr2+(T3+cr4+cr5+cr6

解得

%Uq

%=_<T3~d~~2S

切?q

一%

d2S

所以CB間電場區(qū)=2上+4

2%d220s

屋2二2。+猾2%S)

注意：因為C片帶電，所以。＜片一，若。片不帶電，顯然Uc=g

8-27在半徑為%的金屬球之外包有一層外半徑為R2的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對介電常

數(shù)為金屬球帶電試求：

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)；

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢；

(3)金屬球的電勢.

解：利用有介質(zhì)時的高斯定理《萬

(1)介質(zhì)內(nèi)(用＜"＜&)場強(qiáng)

4兀r‘4TtsQ￡f.r

介質(zhì)外(尸＜夫2)場強(qiáng)

DQr戶Qr

4兀尸3'外4兀

(2)介質(zhì)外(r＞7?2)電勢

U=「瓦

介質(zhì)內(nèi)(7?］＜r＜火2)電勢

U=［左內(nèi)?df+J后外

=?-)+，

4兀分與rR24n8QR2

4兀名邑rR2

(3)金屬球的電勢

。=「fRy0一.比+］華一一外.萬

=「2Qdr?pQdr

JR4兀h4兀4廠2

兀

44￡,.R、R2

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為工的電介質(zhì).試

求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場強(qiáng)為后2,真空部分場強(qiáng)為瓦，自由電荷面密度

分別為％與CF1

由，力?d亍=Zq0得

—o?，U),—、

而

FFU

E'=E'

題8-28圖題8-29圖

8-29兩個同軸的圓柱面，長度均為/,半徑分別為曷和仁(&>&)，且/>>&-&，兩

柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號電荷。和-。時.，求:

(1)在半徑r處(/<r</?2=，厚度為Q，長為/的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電場能量密度和

整個薄殼中的電場能量；

(2)電介質(zhì)中的總電場能量;

(3)圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為尸的同軸圓柱面(S)

則放@=2兀，仍

當(dāng)(&<r</?2)時，fq=Q

D=-^-

271rl

D2O2

(1)電場能量密度—,

2E8/夕2/2

薄殼中div=wdu=,2nrd/7=

8rt2夕2/247t"[

(2)電介質(zhì)中總電場能量

」，如471￡?74兀4R]

(3)電容：,/匠=@-

2C

?c=Q2=27Ig/

一2%-ln(&/凡)

*8-30金屬球殼Z和8的中心相距為r,〃和8原來都不帶電.現(xiàn)在/的中心放一點(diǎn)電荷

“1，在8的中心放一點(diǎn)電荷以，如題8-30圖所示.試求：

(1)/對/作用的庫侖力，%有無加速度;

(2)去掉金屬殼5,求知作用在弦上的庫侖力，此時夕2有無加速度?

解：(1)/作用在%的庫侖力仍滿足庫侖定律，即

F:1夕闖2

4兀4r2

但必處于金屬球殼中心，它受合力為零，沒有加速度.

(2)去掉金屬殼8,小作用在％上的庫侖力仍是尸=1g|<?2，但此時的受合力不為零，

4兀4r

有加速度.

Ct

B止

J--

C\

-II—

C3

題8-30圖題8-31圖

8-31如題8-31圖所示，G=625〃F,C2=0.15//F,C3=0.20//F.G上電壓為50V-求:

uAB.

解：電容G上電量

2=GG

電容與G并聯(lián)。23=。2+。3

其上電荷。23=2

U=。23=CM25x50

。2302335

25

=50(1+—)=86V

8-32G和。2兩電容器分別標(biāo)明"200pF、500V”和“300pF、900V”，把它們串聯(lián)起來后等

值電容是多少?如果兩端加上1000V的電壓，是否會擊穿?

解：(1)G與串聯(lián)后電容

GG.200x300720DF

C'G+G200+300P

(2)串聯(lián)后電壓比

uC3

」=」■=—,而幼+

4=21000

U2C,2'

U、=600V,4=400V

即電容q電壓超過耐壓值會擊穿，然后。2也擊穿?

8-33將兩個電容器G和G充電到相等的電壓U以后切斷電源，再將每一電容器的正極板

與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián).試求：

(1)每個電容器的最終電荷；

(2)電場能量的損失.

解：如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為名，12

注學(xué),

"'T『

題8-33圖

%+私=(710_=CU-C2U

/_G—i

則《

%C2U2

5=u2

解得⑴/=——,q2=~

12~U

C,+C2G+C2

(2)電場能量損失

△%=%一%

嗎。。、卜⑹一(如各

_2cle2“2

—G+Gu

8-34半徑為%=2.0cm的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為

7?2=4.0cm和&=5.0cm,當(dāng)內(nèi)球帶電荷Q=3.OX1O'、C時，求：

(1)整個電場儲存的能量；

(2)如果將導(dǎo)體殼接地，計算儲存的能量；

(3)此電容器的電容值.

解：如圖，內(nèi)球帶電。，外球殼內(nèi)表面帶電-。，外表面帶電。

題8-34圖

(1)在r</和火2<r<R3區(qū)域

E=0

EJ

在&＜r＜此時

47150〃

-Qr

尸〉&時E=一上)

24兀

...在曷＜r＜&區(qū)域

%=r2-g(Q24?ir2dr

1八20。4兀獷J，

=「包上(_L」)

2

川87ir8兀qR1R2

在r＞&區(qū)域

明=「-￡.(—了4a2”=-^---

2

*324n￡Qr8兀H3

總能量W=W,+W,=-^―(-——-+—)

-8兀4a號火3

=1.82x101

(2)導(dǎo)體殼接地時，只有與＜r＜此時月=J，〃2=°

4兀K

()211

%=%=*—(-------)=1.01xW4J

8兀4&R2

2W11

⑶電容器電容。=刀=4兀乂/(-------)

Q2&%

=4.49x1()72F

習(xí)題九

9-1在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn)方的數(shù)值是否都相等?為何不把作用于運(yùn)動電荷的磁力方向定

義為磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向？

解：在同?磁感應(yīng)線匕各點(diǎn)月的數(shù)值一般不相等.因為磁場作用于運(yùn)動電荷的磁力方向

不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度月的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁

場決定的，所以不把磁力方向定義為月的方向.

B*

ar-----n

S.jjB2

d：-----

題9-2圖

9-2（1）在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度月的大小在沿磁

感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化（即磁場是否一定是均勻的）？

（2）若存在電流，上述結(jié)論是否還對？

解：（1）不可能變化，即磁場一定是均勻的.如圖作閉合回路abed可證明用=與2

（￡/月.=B[da-B[bc=〃（）＞,/=0

/.Bt-B2

（2）若存在電流，上述結(jié)論不對.如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平行直線，但月方

向相反，即5H瓦.

9-3用安培環(huán)路定理能否求有限長一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場？

答：不能，因為有限長載流直導(dǎo)線周圍磁場雖然有軸對稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路

定理并不適用.

9-4在截流長螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部8=〃?！?,外面8=0,所以在載流螺線管

外面環(huán)繞一周（見題9-4圖）的環(huán)路積分

在瓦卜?d，=0

但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路L中有電流I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為

外瓦卜

這是為什么？

解：我們導(dǎo)出8內(nèi)=〃。刈，8外=0有一個假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線.這

時圖中環(huán)路L上就一定沒有電流通過，即也是《瓦卜（7=〃02/=0,與

《瓦卜?d7=?）-d7=O是不矛盾的.但這是導(dǎo)線橫截面積為零，螺距為零的理想模型.實

際上以上假設(shè)并不真實存在，所以使得穿過乙的電流為/,因此實際螺線管若是無限長時,

只是月外的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量Bj.="/為管外一點(diǎn)到螺線管軸

2九r

題9-4圖

9-5如果?個電子在通過空間某一區(qū)域時不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個區(qū)域中沒有磁場?如果它發(fā)

生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個區(qū)域中存在著磁場？

解：如果一個電子在通過空間某一區(qū)域時不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個區(qū)域中沒有磁場，也可能存

在互相垂直的電場和磁場，電子受的電場力與磁場力抵消所致.如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定

那個區(qū)域存在著磁場，因為僅有電場也可以使電子偏轉(zhuǎn).

9-6已知磁感應(yīng)強(qiáng)度8=2.0Wb?m"的均勻磁場，方向沿x軸正方向，如題9-6圖所

示.試求：(1)通過圖中。機(jī)4面的磁通量；(2)通過圖中6吩面的磁通量；(3)通過圖中a羽

面的磁通量.

解：如題9-6圖所示

(1)通過abed面積，的磁通是

0）=5S1=2.0x0,3x0.4=0.24Wb

(2)通過b池面積S2的磁通量

嗎=月5=0

(3)通過aefd面積S3的磁通量

--4

%=5?S3=2x0.3x0.5xcos0=2x0.3x0.5xy=0.24Wb（或日一0.24Wb）

9-7如題9-7圖所示，AB、CD為長直導(dǎo)線，方。為圓心在。點(diǎn)的一段圓弧形導(dǎo)線，其半

徑為R.若通以電流/,求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-7圖所示，。點(diǎn)磁場由ZB、BC,CD三部分電流產(chǎn)生.其中

AB產(chǎn)生瓦=0

CD產(chǎn)生3,=絲，方向垂直向里

212R

a

C。段產(chǎn)生B3=-^4-(sin90-sin600)=-^-(1--),方向J■向里

4〃2成2

2

+B-,+—(1———4—),方向_L向里.

01232兀R26

9-8在真空中，有兩根互相平行的無限長直導(dǎo)線右和乙，相距0.1m,通有方向相反的電流,

Iy=20A,Z2=10A,如題9-8圖所示.A,8兩點(diǎn)與導(dǎo)線在同一平面內(nèi).這兩點(diǎn)與導(dǎo)線人的

距離均為5.0cm.試求N,8兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置.

Zi=20A

O.ln0.051■.

L21--?--U---

Z2=10A

、xB題9-8圖

解：如題9-8圖所示，BA方向垂直紙面向里

―ZV1——+〃0,2=1.2*10-4T

2^-(0.1-0.05)2^-x0.05

⑵設(shè)月=0在人外側(cè)距離4為尸處

則一絲——也=0

2萬(r+0.1)271r

解得r=0.1m

題9-9圖。0

9-9如題9-9圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的力,8兩點(diǎn)，并在很遠(yuǎn)處與電源相

連.已知圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心。的磁感應(yīng)強(qiáng)度.

解：如題9-9圖所示，圓心。