湖南省醴陵市第二中學2017-2018學年高二上學期第三次月考數(shù)學（理）試題

2017年下學期高二年級12月份月考理科數(shù)學試卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1.過點與拋物線只有一個公共點的直線有()A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條【答案】C【解析】拋物線的焦點為，當過點的直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，與拋物線只有一個公共點；當過的直線的斜率等于時，直線的方程，與拋物線只有一個公共點；當過點的直線的斜率存在且不為零時，設斜率為，那么直線方程為，即，代入拋物線方程可得，由判別式等于可得，此時，直線與拋物線有一個公共點，所以，滿足條件的直線共有條，故選C.2.實軸長為，虛軸長為的雙曲線的標準方程是（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】試題分析：，，焦點在軸時，雙曲線的標準方程是，焦點在軸時，標準方程為，故選D.考點：雙曲線的標準方程3.在以下命題中，不正確的個數(shù)為()①是共線的充要條件；②若，則存在唯一的實數(shù)，使；③對于空間任意一點和不共線的三點，若，則四點共面；④.A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】D4.“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：由得：，因為焦點在軸上，所以，解得：，反之，當時，表示焦點在軸上的橢圓，所以“”是“方程表示焦點在軸上的橢圓”的充要條件，故選C．考點：充分條件、必要條件．5.若雙曲線的一條漸近線經過點，則此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.【答案】D【解析】因為雙曲線的一條漸近線經過點（3，4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質，在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數(shù)形結合上找突破口.與漸近線有關的結論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設為；（2）若漸近線方程為，則可設為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關鍵是等價轉化，其實質是確定極端或極限位置.視頻6.設為拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線交于兩點，則()A.B.6C.12D.【答案】C【解析】試題分析：由題意，得．又因為，故直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，得，設，由拋物線定義得，，選C．考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的定義．視頻7.在空間直角坐標系中,正方體棱長為為正方體的棱的中點,為棱上的一點,且則點的坐標為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由正方體的性質可得，設，則，因為，，解得，則點的坐標為，故選C.8.雙曲線的離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則的值為()A.1B.4C.8D.12【答案】D【解析】拋物線焦點F(m,0)為雙曲線的一個焦點，∴m＋n＝m2.又雙曲線離心率為2，∴1＋＝4，即n＝3m.所以4m＝m2，可得m＝4，n＝12.9.已知橢圓的左、右焦點為離心率為，過的直線交于兩點.若的周長為，則的方程為()A.B.C.D.【答案】A【解析】試題分析：若△AF1B的周長為4可知，所以方程為考點：橢圓方程及性質視頻10.已知拋物線的焦點為，準線為是上一點，是直線與的一個交點．若，則|()A.B.3C.D.2【答案】B【解析】試題分析：設Q到l的距離為d，則|QF|=d，∵，∴|PQ|=3d，∴直線PF的斜率為2，∵F（2，0），∴直線PF的方程為y=2（x2），與y2=8x聯(lián)立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3考點：拋物線的簡單性質11.已知平行六面體中，底面是邊長為的正方形，，則異面直線與所成角的余弦值()A.B.C.D.【答案】C【解析】設，則平行六面體，底面是邊長為的正方形，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選C.12.已知橢圓的半焦距為，左焦點為，右頂點為，拋物線與橢圓交于兩點，若四邊形是菱形，則橢圓的離心率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】橢圓的左焦點為，右頂點為，拋物線與橢圓交于兩點，兩點關于軸對稱，可設四邊形是菱形，，將代入拋物線方程，得，，再代入橢圓方程，得，化簡整理，得，解之得不合題意，舍去），故答案為.【方法點睛】本題主要考查拋物線的方程及橢圓的幾何性質與離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)點在橢圓上可以建立關于焦半徑和焦距的關系．從而找出之間的關系，求出離心率．二、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分）13.拋物線的準線方程為___________．【答案】【解析】試題分析：將化成，所以準線方程為.考點：拋物線的標準方程.14.已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為____________.【答案】【解析】因為雙曲線漸近線方程為，所以可設雙曲線方程，代入點，可得，雙曲線的標準方程是，故答案為.15.設是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值是________．【答案】【解析】的準線是，到的距離等于到焦點的距離，故點到點的距離與到的距離之和等于，即點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值為，故答案為.【方法點晴】本題主要考查拋物線的標準方程和拋物線的簡單性質及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關的最值問題常常實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化：(1)將拋物線上的點到準線的距化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.16.已知向量，若，則與的夾角為______________.【答案】【解析】設向量，，，設與的夾角為，，，故答案為.三、解答題（共70分）17.已知方程表示焦點在軸上的雙曲線．（1）求的取值范圍；（2）若該雙曲線與橢圓有共同的焦點．求該雙曲線的漸近線方程．【答案】（1）；（2）...................試題解析：（1）雙曲線方程為，∴，，∴．（2）橢圓焦點，∵雙曲線的，，∴，解得或．當時，，，漸近線方程：，當時，，，漸近線方程：．考點：雙曲線及其性質．18.是否存在同時滿足下列兩條件的直線.（1）與拋物線有兩個不同的交點和；（2）線段被直線垂直平分．若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程．【答案】.【解析】試題分析：假設存在滿足條件的直線l，，可設,聯(lián)立,得，設，，其中點,根據(jù)韋達定理求出的中點的坐標，代入直線方程求得，進而求得直線的方程.試題解析：假設存在滿足條件的直線l，可設,聯(lián)解,得設，，其中點,由△＞0得且，,∴,而,故，解得,∴存在這樣的直線l，方程為.19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，分別是的中點．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意可證得，，則平面，由線面垂直的性質有，由三角形中位線的性質可得，則(Ⅱ)（方法一）為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，計算可得平面的一個法向量，則直線與平面所成角的正弦值為.（方法二）由等體積法可得點到平面的距離，據(jù)此可得與平面所成角的正弦值為.試題解析：（Ⅰ）因為底面，平面，所以又因為正方形中，，所以平面又因為平面，所以因為分別是、的中點，所以所以（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，，，兩兩垂直，以為軸，以為軸，以為軸，設，，，，，，，設平面的一個法向量，，解得設直線與平面所成角為，則（方法二）設點到平面的距離為等體積法求出設直線與平面所成角為，20.已知橢圓的離心率為,點在上.(1)求的方程；(2)直線不經過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段中點為，證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立得,所以于是.試題解析：解：（Ⅰ）由題意有解得,所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）設直線,,把代入得故于是直線OM的斜率即,所以直線OM的斜率與直線l的斜率乘積為定值.考點：本題主要考查橢圓方程、直線與橢圓及計算能力、邏輯推理能力.視頻21.如圖,在四棱錐中,平面平面，為的中點.（1）證明:（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）利用等腰三角形三線合一證得，再根據(jù)面面垂直性質定理證得，從而證得；（2）可以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和平面的法向量，從而求得.試題解析：（1）聯(lián)結因為為的中點,所以又平面平面交線為平面所以又所以（2）取線段的中點因為所以由（1）知,故可以為原點,射線分別為的正半軸建立空間直角坐標系則于是設平面的一個法向量為由得令得設平面的法向量為由得令得所以易知二面角的平面角為銳角,所以二面角的余弦值為22.已知橢圓的右焦點為左頂點為（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于（不同于點的）兩點.試判斷直線與軸的交點是否為定點,若是,求出定點坐標；若不是,請說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由已知得橢圓的方程為（2）①當直線與軸垂直時的方程為聯(lián)立直線與軸的交點為②當直線不垂直于軸時設直線的方程為聯(lián)立且即由題意知或直線