高考數(shù)學(xué)（北師大版理）講義第十二章概率隨機變量及其分布第4講離散型隨機變量及其分布列4

§12.4離散型隨機變量及其分布列最新考綱考情考向分析1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，會求某些取有限個值的離散型隨機變量的分布列．2.了解超幾何分布，并能進行簡單的應(yīng)用.以理解離散型隨機變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查離散型隨機變量、離散型隨機變量分布列的求法．在高考中以解答題的形式進行考查，難度多為中低檔.1．離散型隨機變量的分布列(1)將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個隨機變量．(2)離散型隨機變量：隨機變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量．(3)設(shè)離散型隨機變量X的取值為a1，a2，…隨機變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…)，記作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，或把上式列表：X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…稱為離散型隨機變量X的分布列．(4)性質(zhì)：①pi>0，i＝1,2，…；②p1＋p2＋…＝1.2．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(其中k為非負(fù)整數(shù))．如果一個隨機變量的分布列由上式確定，則稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量．(√)(2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象．(√)(3)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(√)(4)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(×)(5)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)題組二教材改編2．設(shè)隨機變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)答案C解析由分布列的性質(zhì)知，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，∴p＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).3．有一批產(chǎn)品共12件，其中次品3件，每次從中任取一件，在取到合格品之前取出的次品數(shù)X的所有可能取值是____________．答案0,1,2,3解析因為次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品數(shù)為0,1,2,3.4．設(shè)隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝________.答案eq\f(5,12)解析由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).題組三易錯自糾5．袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是()A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)答案C解析選項A，B表述的都是隨機事件；選項D是確定的值2，并不隨機；選項C是隨機變量，可能取值為0,1,2.6．隨機變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，則n＝________.答案10解析由P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝eq\f(3,n)＝0.3，得n＝10.7．一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X＝4)的值為______．答案eq\f(27,220)解析由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).題型一離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)1．離散型隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).2．設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列．解由分布列的性質(zhì)知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為X012342X＋113579從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究1．若題2中條件不變，求隨機變量η＝|X－1|的分布列．解由題2知m＝0.3，列表為X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.32.若題2中條件不變，求隨機變量η＝X2的分布列．解依題意知η的值為0,1,4,9,16.列表為X01234X2014916從而η＝X2的分布列為η014916P0.20.10.10.30.3思維升華(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負(fù)數(shù)．(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式．題型二離散型隨機變量的分布列的求法命題點1與排列、組合有關(guān)的分布列的求法典例(2017·山東改編)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，則P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由題意知，X可取的值為0,1,2,3,4，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)命題點2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法典例已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列．解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，則P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)命題點3與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的分布列的求法典例設(shè)某人有5發(fā)子彈，他向某一目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3).若他連續(xù)兩發(fā)命中或連續(xù)兩發(fā)不中則停止射擊，否則將子彈打完．(1)求他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率；(2)求他所耗用的子彈數(shù)X的分布列．解記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件Ak，則A1，A2，A3，A4，A5相互獨立，且P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A)k)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.(1)方法一他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P(A1eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1A2)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).方法二由獨立重復(fù)試驗的概率計算公式知，他前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為P＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,9).(2)X的所有可能值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1eq\x\to(A)2A3A4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3eq\x\to(A)4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝P(A1eq\x\to(A)2A3eq\x\to(A)4)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,81).故X的分布列為X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)思維升華求離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列．求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識．跟蹤訓(xùn)練(2017·湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，則稱k為你的幸運數(shù)字．(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率；(2)若k＝1，則你的得分為6分；若k＝2，則你的得分為4分；若k＝3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分ξ的分布列．解(1)設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好為1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3＋Ceq\o\al(1,3)·eq\f(1,6)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,6)·Ceq\o\al(1,1)·eq\f(1,6)＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2·eq\f(1,6)＝eq\f(5,108).(2)由已知得ξ的可能取值為6,4,2,0，P(ξ＝6)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2＋2×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,36)，P(ξ＝2)＝eq\f(5,108)，P(ξ＝0)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(5,36)－eq\f(5,108)＝eq\f(35,54).故ξ的分布列為ξ6420Peq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(5,108)eq\f(35,54)題型三超幾何分布典例(2018·濟南模擬)某外語學(xué)校的一個社團中有7名同學(xué)，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學(xué)校交流訪問．求：(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X的分布列．解(1)設(shè)事件A：選派的3人中恰有2人會法語，則P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7).(2)依題意知，X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，∴X的分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)思維升華(1)超幾何分布的兩個特點①超幾何分布是不放回抽樣問題；②隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．(2)超幾何分布的應(yīng)用條件①兩類不同的物品(或人、事)；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體．跟蹤訓(xùn)練PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列．解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).(2)依據(jù)條件知，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)·C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).故ξ的分布列為ξ0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)離散型隨機變量的分布列典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中的概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)ξ的分布列．錯解展示：現(xiàn)場糾錯解由題意知ξ的取值為1,2,3,4,5，P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.∴ξ的分布列為ξ12345P0.90.090.0090.00090.0001糾錯心得(1)隨機變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應(yīng)的事件及其概率．(2)驗證隨機變量的概率和是否為1.1．(2017·武漢江夏區(qū)模擬)若隨機變量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(η<x)＝0.8時，實數(shù)x的取值范圍是()A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2答案C解析由離散型隨機變量的分布列知P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，則當(dāng)P(η<x)＝0.8時，實數(shù)x的取值范圍是1<x≤2.2．(2017·邯鄲模擬)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(ξ≤1)等于()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案D解析P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).3．設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101Peq\f(1,3)2－3qq2則q等于()A．1 B.eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6)C.eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6) D.eq\f(3,2)＋eq\f(\r(33),6)答案C解析∵eq\f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋eq\f(4,3)＝0，解得q＝eq\f(3,2)±eq\f(\r(33),6).又由題意知0<q2<eq\f(2,3)，∴q＝eq\f(3,2)－eq\f(\r(33),6).4．一只袋內(nèi)裝有m個白球，n－m個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了X個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)答案D解析由超幾何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).5．從裝有3個白球、4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球、1個紅球的概率是()A.eq\f(4,35)B.eq\f(6,35)C.eq\f(12,35)D.eq\f(36,343)答案C解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).6．某班級在2017年國慶節(jié)晚會上安排了迎國慶演講節(jié)目，共有6名選手依次演講，則選手甲不在第一個也不在最后一個演講的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案D解析6名選手依次演講有Aeq\o\al(6,6)種方法，選手甲不在第一個也不在最后一個演講的安排方法有4Aeq\o\al(5,5)，所以6名選手依次演講，則選手甲不在第一個也不在最后一個演講的概率為eq\f(4A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,3).7．口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的分布列為______________________．答案X345P0.10.30.6解析X的取值為3,4,5.又P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝0.1，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝0.3，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝0.6.所以X的分布列為X345P0.10.30.68.袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.答案eq\f(13,35)解析P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).9．隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．答案eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤eq\f(1,3)－d≤eq\f(2,3)，0≤eq\f(1,3)＋d≤eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).10．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)η的分布列為________________．答案η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析∵η的所有可能值為0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列為η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)11.為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列．解(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機變量X服從超幾何分布，X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(0,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14).所以，隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)12．(2017·成都診斷)某高校一專業(yè)在一次自主招生中，對20名已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進行語言表達(dá)能力和邏輯思維能力測試，結(jié)果如下表：語言表達(dá)能力人數(shù)邏輯思維能力一般良好優(yōu)秀一般221良好4m1優(yōu)秀13n由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20名參加測試的學(xué)生中隨機抽取一人，抽到語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為eq\f(2,5).(1)從參加測試的語言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，求其中至少有一名邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；(2)從參加測試的20名學(xué)生中任意抽取2名，設(shè)語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．解(1)用A表示“從這20名參加測試的學(xué)生中隨機抽取一人，抽到語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生”，∵語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有(6＋n)名，∴P(A)＝eq\f(6＋n,20)＝eq\f(2,5)，解得n＝2，∴m＝4，用B表示“從參加測試的語言表達(dá)能力良好的學(xué)生中任意抽取2名，其中至少有一名邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生”，∴P(B)＝1－eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,9))＝eq\f(7,12).(2)隨機變量X服從超幾何分布，X的可能取值為0,1,2.∵在20名學(xué)生中，語言表達(dá)能力優(yōu)秀或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有8名，∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,12),C\o\al(2,20))＝eq\f(33,95)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,12),C\o\al(2,20))＝eq\f(48,95)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,20))＝eq\f(14,95)，∴X的分布列為X012Peq\f(33,95)eq\f(48,95)eq\f(14,95)13．(2017·石家莊調(diào)研)為檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測量數(shù)據(jù)如下：編號12345x169178166175180y7580777081如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中隨機抽取2件，則抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列為________．答案X012P0.30.60.1解析5件抽測品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1.∴優(yōu)等品數(shù)X的分布列為X012P0.30.60.114.(2017·長春模擬)某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8，且n∈N＋)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”．(1)若隨機選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于eq\f(1,2)，求n的最大值；(2)當(dāng)n＝12時，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．解(1)由題意可知，所選2人為“最佳組合”的概率為eq\f(C\o\al(1,n－