48096865二十四節(jié)氣的數學原理

關于《二十四節(jié)氣的數學原理》的撰寫背景，原普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4的《三角函數》中，在章末《三角函數的應用》一節(jié)，有一題與潮汐有關的例題中，出現了地理知識方面的嚴重錯誤，該例題把潮汐漲落的周期說成12小時，在海邊生活的人都知道，潮汐漲落的周期是12小時24分鐘，對于教材而言，這種地理知識方面的錯誤是不允許的，筆者于2014年就寫信向原普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4的主編章建躍博士提出來（有回執(zhí)），并針對《三角函數》一章的前言講的“地球自轉、公轉引起的周而復始的自然現象…”，契合這句話相應提供一個《二十四節(jié)氣與三角函數》的例題，該例題的重要觀點，求一年中任意一天太陽直射地球的緯度的公式y=23.5°sint，在新版普通高中教科書《數學》必修第二冊的第五章《三角函數》，于第256頁復習參考題5第27道題得以引用。對于當時《二十四節(jié)氣與三角函數》例題中的觀點，筆者自己一時無法提供太多的論據，一時沒有形成論文，只是若干年后于霞浦縣城龍首路附近（準東經120°），于正午12點進行太陽高度角測量，獲得的值與公式y=23.5°sint計算的值相吻合，才有了切實的依據，故才撰寫此論文。二十四節(jié)氣的數學原理福建省霞浦縣第三中學尤新國摘要：正如高中數學教材必修4《三角函數》一章的前言講的“地球自轉、公轉引起的周而復始的自然現象…”［1］，二十四節(jié)氣中，太陽直射地球的緯度變化，它是詮釋函數y=Asin(ωt+φ)的絕佳例子，也通過函數y=Asin(ωt+φ)幫助學生深刻理解二十四節(jié)氣的變化規(guī)律，并從數學的角度理解春夏秋冬四季劃分的依據。關鍵詞二十四節(jié)氣太陽高度角y=Asin(ωt+φ)春分夏至秋分冬至一引言春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。這是一首耳熟能詳二十四節(jié)氣歌，它所包含的的知識是中華民族優(yōu)秀的關于自然方面知識的文化瑰寶，對它的學習，能幫助我們深刻認識一年四季氣候變化的規(guī)律。但是，現在的中學生普遍對二十四節(jié)氣這個重要的傳統文化毫無感知，或一知半解。另一方面，在《三角函數》的這章前言開宗明義的說“現實世界中的許多運動變化有著周而復始的現象，…地球公轉引起的四季交替變化…”［2］，但《三角函數》的整章中沒有相應的例題習題提供關于這方面的信息內容。事實上，高中數學教材經歷多輪修改，《三角函數》一章對學生而言，被認為不容易學好，這章多以符號、公式演繹為主，公式又多，公式與公式之間的推導、演繹成分也多，但能給力的形象素材方面提供較少，即提供給學生作為想象素材的例子不多，而想象是理解的基礎。因而《三角函數》的這章相對于其他章節(jié)而言，學生學起來不能充分的入心入腦，困難略大一點。為了全面落實立德樹人的根本任務，加強中華優(yōu)秀傳統文化教育，創(chuàng)新精神和實踐能力培養(yǎng)。筆者經多年的教學實踐與思考，借助二十四節(jié)氣這個傳統文化素材來幫助學生更深刻地理解三角函數有關知識，同時也借助三角函數的知識能使學生更深入地認識中華民族這個文化瑰寶，把它更好地應用到日常的生活實踐中，達到雙贏的結果。二．正午太陽的高度角的測量及通過高度角求太陽直射緯度在高中的數學課本與地理課本都介紹了太陽高度角的問題，正午太陽高度角隨著太陽直射地球的緯度的變化而變化。這里太陽直射點緯度以δ表示，觀測地地理緯度用Ф表示(以北緯為正，南緯為負)，如圖所示，根據平面幾何相關性質可得到太陽高度角計算公式，對于太陽位于天頂以北的地區(qū)而言H=90°－(Ф－δ)，對于太陽位于天頂以北的地區(qū)而言H=90°－(δ－Ф)，二者合并，因為無論是(Ф－δ)還是(δ－Ф)，都是為了求當地緯度與太陽直射緯度之差，不會是負的，因此都等于它的絕對值，所以正午太陽高度角計算公式:H=90°－|Ф－δ|［3］，由上述的公式可以推導得到太陽直射緯度Ф==90°－H+δ或Ф=H-90°+δ。由于受到天氣、測量工具、測量人員水平等多種因素的影響，測量產生的數據難免會有一定的誤差，我們能否運用數學中的某個函數解析式，根據日期較為精確的求出一年中每一天太陽直射地球的緯度，求出進而太陽高度角，這是可以做到的。三．二十四節(jié)氣與函數y=Asin(ωt+φ)二十四節(jié)氣是春秋戰(zhàn)國時期形成的，它能反映季節(jié)的變化，指導農事活動，影響著千家萬戶的衣食住行。二十四節(jié)氣是根據太陽在黃道（即地區(qū)繞太陽公轉的軌道）上的位置來劃分的。其中春分、夏至、秋分、冬至的四個節(jié)氣具有一定的指標性，對應于公歷的時間是：春分3月21日夏至6月21日

秋分9月23日冬至12月22日來年的春分也是3月21日。這四個節(jié)氣中春分到夏至，夏至到分，秋分到冬至，冬至到來年的春分都是相隔的時間都是三個多月時間，春分、夏至、秋分、冬至的四個節(jié)氣太陽的直射地球的位置分別是赤道、北回歸線、赤道、南回歸線，它們對應的緯度分別是0°、北緯23.5°、0°、南緯23.5°，再加上一個來年春分，并令北緯為正，南緯為負，則春分、夏至、秋分、冬至、來年春分太陽直射緯度分別是：0°、23.5°、0°、－23.5°、0°。以時間為橫軸，以緯度為縱軸（北正南負）建立坐標系，春分、夏至、秋分、冬至四個節(jié)氣所處的時間為橫坐標，以太陽直射的緯度為縱坐標，標出來的點如圖所示，構成了“五點法”畫三角函數圖像的“五點”，把“五點”連成圖象，如圖所示，顯然，該圖象就是函數y=Asin(ωt+φ)的圖象，若橫坐標中時間以天為單位，縱坐標以緯度為單位，則A=23.5°（回歸線緯度）ω==（周期T=365天）φ=0得到的函數解析式是：y=23.5°sint。我們可以根據這個解析式可求出一年中任意一天太陽直射地球的緯度，如5月1日這天太陽直射地球的緯度，因為5月1日距春分這天（3月21日）是41天，即t=41，所以y=23.5°sin·41=23.5°sin0.225π≈15.3°即5月1日這天太陽直射地球的緯度是北緯15.3°，如果某個地方所處的緯度為北緯30°，5月1日這天該地正午時分太陽的高度角是：H=90°－|Ф－δ|=90°－︱30°－15.3°︱=75.3°再如1月1日這天太陽直射地球的緯度，1月1日在春分之前79天，t=－79，所以y=23.5°sin·（－79）=23.5°sin（－0.433π）≈－22.9°即1月1日這天太陽直射地球的緯度是南緯22.9°，上述地方1月1日這天正午時分太陽的高度角是H=90°－|Ф－δ|=90°－︱30°－（－22.9°）︱=37.1°四．春、夏、秋、冬四季劃分的數學依據下圖是黃道上二十四節(jié)氣的分布圖根據圖中二十四節(jié)氣把黃道二十四等分，因此每個節(jié)氣在圓周上相隔2π·=弧度，所以我們也可以由此來方便地求各個節(jié)氣的太陽直射地球的緯度，如立夏時節(jié)是春分之后的第三個節(jié)氣，其太陽直的四個射地球的緯度y=23.5°sin·3=23.5°sin≈16.5°（在北緯16.5°）同樣我們也可求得立春、立秋、立冬時節(jié)的太陽直射地球的緯度，立春在春分之前距春分三個節(jié)氣，立春時節(jié)太陽直射地球的緯度為：y=23.5°sin·（－3）=23.5°sin（－）≈－16.5°（南緯16.5°）立秋是春分之后的第九個節(jié)氣，立秋時節(jié)太陽直射地球的緯度為：y=23.5°sin·9=23.5°sin≈16.5°立冬是春分之后的第十五個節(jié)氣，立冬時節(jié)太陽直射地球的緯度為：y=23.5°sin·15=23.5°sin≈－16.5°（南緯16.5°）通過二十四節(jié)氣歌，可知中國古代春、夏、秋、冬的四季劃分標準是：春季，立春其到立夏止；夏季，立夏其到立秋止；秋季，立秋其到立冬止；冬季，立冬其到來年立春止。如圖所示，可以從上述圖象中看出一年四季太陽照射地球的緯度變化規(guī)律。春季，太陽照射地球的緯度變化從南緯16.5°到北緯16.5°，相應氣候特征從春寒料峭到春意融融，再到春暖花開。夏季，太陽照射地球的緯度變化在北緯16.5°到23.5°之間，氣溫為一年中最高，特別是夏至之后的小大暑，由于氣溫滯后因素的作用，成了一年中最熱的節(jié)氣。秋季，太陽照射地球的緯度變化從北緯16.5°到南緯16.5°，相應氣候特征從暑氣逼人到秋高氣爽，再到寒意襲人。冬季，太陽照射地球的緯度變化在南緯16.5°到23.5°之間，是一年中最冷季節(jié)，冬至過后的小大寒，也是由于氣溫滯后因素的作用，成了一年中最冷的三九嚴寒。函數y=23.5°sint恰如其分地描述二十四節(jié)氣的太陽直射地球的緯度變化規(guī)律，幫助我們從數學的角度認識二十四節(jié)氣。［1］普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4P1（人教版）［2］普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4P1（人教版）［3］普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修4P61（人教版）