遼寧省重點(diǎn)六校協(xié)作體2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

遼寧省重點(diǎn)六校協(xié)作體2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某公司門(mén)前有一排9個(gè)車(chē)位的停車(chē)場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車(chē)位分別停著A車(chē)和B車(chē)，同時(shí)進(jìn)來(lái)C，D兩車(chē)．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車(chē)相鄰的概率是（）A. B.C. D.2．由1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.723．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，在軸上，，且是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.4．曲線y=x3+11在點(diǎn)P（1，12）處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.155．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.26．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.27．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-3 B.C. D.38．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點(diǎn)、，若點(diǎn)滿(mǎn)足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為A.10 B.12C.16 D.2010．等比數(shù)列的公比，中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則等于（）A. B.C D.11．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，則（）A. B.C. D.212．變量，滿(mǎn)足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______14．函數(shù)在上的最大值為_(kāi)_____________15．若命題P：對(duì)于任意，使不等式為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.16．函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)10元；重量超過(guò)的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過(guò)的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需要再收費(fèi)5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的作為其他費(fèi)用.已知公司前臺(tái)有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該公司每天的利潤(rùn)有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機(jī)分成兩個(gè)包裹寄出，且每個(gè)包裹重量都不超過(guò)，求他支付的快遞費(fèi)為45元的概率.18．（12分）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)滿(mǎn)足.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程.19．（12分）已知與定點(diǎn)，的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且橢圓C過(guò)點(diǎn)（﹣）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.21．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車(chē)相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車(chē)相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車(chē)相鄰的概率【詳解】解：某公司門(mén)前有一排9個(gè)車(chē)位的停車(chē)場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車(chē)位分別停著車(chē)和車(chē)，同時(shí)進(jìn)來(lái)，兩車(chē)，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車(chē)相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車(chē)相鄰，和至少有一輛與和車(chē)相鄰的概率：故選：B2、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個(gè)位置上選2個(gè)排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個(gè)位置上選2個(gè)排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.3、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點(diǎn)線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.4、C【解析】y′＝3x2，則y′|x＝1＝3，所以曲線在P點(diǎn)處的切線方程為y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y軸上的截距為9.5、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€與互相垂直，所以，故選：B6、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問(wèn)題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號(hào)的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中的“正、定、等”的條件.7、C【解析】根據(jù)給定條件利用兩條直線互相垂直的關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：C8、B【解析】由，得點(diǎn)為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設(shè)雙曲線的焦距為，與軸交于點(diǎn)，由題可知，則，由，得點(diǎn)為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.9、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長(zhǎng)，，所以：周長(zhǎng)，由橢圓的第一定義，，所以，周長(zhǎng)故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)的求法，屬于基本知識(shí)的考查10、C【解析】經(jīng)分析可得，等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增，將五個(gè)數(shù)按絕對(duì)值的大小排列，計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，所以中既有正數(shù)項(xiàng)也有負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以公比，因?yàn)?，所以，且?fù)數(shù)項(xiàng)為相隔兩項(xiàng)，所以等比數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)遞增，按絕對(duì)值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項(xiàng)，所以，故選：C.11、C【解析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案【詳解】解：∵數(shù)列滿(mǎn)足，，∴，，，，故數(shù)列以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，由，故，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔12、A【解析】根據(jù)不等式組，作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求z的最小值.【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域如圖，，則直線過(guò)A(－1，0)時(shí)，z取最小值.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得不是正整數(shù)，故答案為：14、【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，令，解得或，且所以原函數(shù)在上的最大值為考點(diǎn)：1．函數(shù)求導(dǎo)；2．利用導(dǎo)函數(shù)求最值15、【解析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，對(duì)于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，知對(duì)于任意，恒成立，即，化簡(jiǎn)得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.16、【解析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.(2)該公司平均每天的利潤(rùn)有1000元．(3).【解析】（1）對(duì)于平均數(shù)，運(yùn)用平均數(shù)的公式即可；由于中位數(shù)將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數(shù)位于哪一組，然后建立關(guān)于中位數(shù)的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤(rùn).（3）該為古典概型，根據(jù)題意分別確定總的基本事件個(gè)數(shù)，以及事件“快遞費(fèi)為45元”包括的基本事件個(gè)數(shù)，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數(shù)分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為設(shè)中位數(shù)為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數(shù)為260，利潤(rùn)為(元)，所以該公司平均每天的利潤(rùn)有1000元（3）設(shè)四件禮物分為二個(gè)包裹E、F，因?yàn)槎Y物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過(guò)5千克，故E和F的重量數(shù)分別有，，，，共5種，對(duì)應(yīng)的快遞費(fèi)分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【點(diǎn)睛】主要考查了頻率分布直方圖的平均數(shù)，中位數(shù)求解，以及古典概型，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點(diǎn)間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個(gè)根的的要舍去;（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用幾何關(guān)系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，整理得，得（舍），或，所以；?）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設(shè)：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系，第二問(wèn)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用距離公式建立等量關(guān)系，求出c是求出橢圓方程的關(guān)鍵.19、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得，化簡(jiǎn)即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即可求出、的坐標(biāo)，從而求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，則，即可求出，從而求出直線方程，由圓心在直線上，即可求出弦長(zhǎng)；【小問(wèn)1詳解】解：（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：，即，整理得【小問(wèn)2詳解】解：依題意當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，則或，即、，所以、，所以滿(mǎn)足條件，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，則，消去整理得，由，解得或，所以、，因?yàn)?，，所以，解得，所以直線方程為，又直線過(guò)圓心，所以，綜上可得或；20、（1）（2）或.【解析】（1）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得解.（2）設(shè)直線方程代入橢圓方程消元，韋達(dá)定理整體思想，可得直線斜率得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為，又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得，因此，橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，①?lián)立方程，消去得，則，代入①，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓相交，所以直線l的方程是或.21、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得數(shù)列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對(duì)任意