廣東省揭陽市惠來一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

廣東省揭陽市惠來一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，點Q(4，0)，O為坐標(biāo)原點，直線l：上存在點P滿足.則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.2．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點為，右焦點為，為雙曲線在第二象限上的點，直線交雙曲線于另一個點（為坐標(biāo)原點），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是A. B.C. D.5．若1，m，9三個數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或26．在正方體中中，，若點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.7．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.268．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A B.C. D.9．設(shè)，分別是雙曲線：的左、右焦點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，，為坐標(biāo)原點，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.10．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.11．在各項都為正數(shù)的數(shù)列中，首項為數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.12．已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓左頂點為軸上一點滿足，且線段與橢圓交于點是以為底邊的等腰三角形，則橢圓離心率為__________.14．直線l:y=-x+m與曲線有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_______.15．設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積為______.16．命題“任意，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.18．（12分）已知.（1）當(dāng)，時，求中含項的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過程19．（12分）在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機(jī)取出一個球，該球的編號記為，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機(jī)取出一個球，該球的編號記為.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求“”的概率.20．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為4的正三角形，且與底面垂直，底面是菱形，且，為的中點（1）求證：；（2）求點到平面的距離21．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).22．（10分）已知圓內(nèi)有一點，過點作直線交圓于、兩點（1）當(dāng)經(jīng)過圓心時，求直線的方程；（2）當(dāng)弦的長為時，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定直線設(shè)出點P的坐標(biāo)，再借助列出關(guān)于的不等式，然后由不等式有解即可計算作答.【詳解】因點P在直線l：上，則設(shè)，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關(guān)于的一元二次不等式有實數(shù)解，從而有，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：A2、A【解析】由給定條件寫出點A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點B的坐標(biāo)，求出線段FC的中點坐標(biāo)，由三點共線列式計算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點，設(shè)，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點，因直線平分線段，即點D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A3、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當(dāng)圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D4、A【解析】由，但無法得出，A滿足；由、均無法得出，不滿足“充分”；由，不滿足“不必要”.考點：不等式性質(zhì)、充分必要性.5、D【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計算即可得到【詳解】三個數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當(dāng)時，曲線為橢圓，則；當(dāng)時，曲線為為雙曲線，則離心率故選：6、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側(cè)面（不含邊界）內(nèi)運(yùn)動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A7、A【解析】可設(shè)出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設(shè)缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A8、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.9、D【解析】先求過右焦點且與漸近線垂直的直線方程，與漸近線方程聯(lián)立求點P的坐標(biāo)，再用兩點間的距離公式，結(jié)合已知條件，得到關(guān)于a，c的關(guān)系式.【詳解】雙曲線的左右焦點分別為、，一條漸近線方程為，過與這條漸近線垂直的直線方程為，由，得到點P的坐標(biāo)為，又因為，所以，所以，所以.故選：D10、B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運(yùn)算求解得，再求共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為故選：B11、C【解析】當(dāng)時，，故可以得到，因為，進(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，其前項和，得，故選：C.12、B【解析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選：B.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求橢圓的離心率.【詳解】因為，故，，且在軸的正半軸上，則在第二象限中，故，代入橢圓方程有：即，故，故答案為：.14、【解析】曲線表示圓的右半圓，結(jié)合的幾何意義，得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】曲線表示圓的右半圓，當(dāng)直線與相切時，，即，由表示直線的截距，因為直線l與曲線有兩個公共點，由圖可知，所以.故答案為：.15、##2.25##【解析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后得到兩根之和，結(jié)合焦點弦弦長公式求出，用點到直線距離公式求高，進(jìn)而求出三角形面積.【詳解】易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得.設(shè)，則，由拋物線的定義可得弦長，原點到直線的距離，所以面積.故答案為：16、【解析】分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題.【詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）【解析】（1）求導(dǎo)可得，分析正負(fù)即得解；（2）轉(zhuǎn)化在上恒成立為，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問1詳解】當(dāng)時，令，解得，，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問2詳解】由條件可知，從而恒成立當(dāng)時，；當(dāng)時，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(1)≤1f(-1)≤1即在上恒成立所以，因此滿足條件的的取值范圍是18、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項式定理可求得函數(shù)中含項的系數(shù)；（2）利用錯位相減法化簡函數(shù)的解析式，求出解析式中含項的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)公式化簡可得結(jié)果.【小問1詳解】解：當(dāng)，時，，的展開式通項為，此時，函數(shù)中含項的系數(shù)之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數(shù)，而函數(shù)中含項的系數(shù)也可視為中含項的系數(shù)，故，且，故.19、（1）見解析（2）【解析】（1）利用列舉法列出試驗的樣本空間，（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問1詳解】由題意可知試驗的樣本空間為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小問2詳解】由（1）可知共有16種等可能情況，其中滿足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4種，所以“”的概率為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)取的中點，連接，，，先證明平面，再由平面得，(2)等體積法求解.根據(jù)題目條件，先證明為三棱錐的高，再求出以為頂點，為底面的三棱錐的體積和以為頂點，為底面的三棱錐的體積，根據(jù)，求點到平面的距離.【詳解】(1)證明：如圖，取的中點，連接，，依題意可知，，均為正三角形，∴，又∵，∴平面又平面，∴(2)由(1)可知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即為三棱錐的高由題意得，∵為的中點，∴在中，，∴，，∴在中，邊上的高，∴的面積的面積點到平面的距離即點到平面的距離設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得，即點到平面的距離為21、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的極值，進(jìn)而討論其零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當(dāng)時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當(dāng)時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當(dāng)時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當(dāng)