五節(jié)對坐標(biāo)曲面積分

觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面可分為上側(cè)和下側(cè)曲面可分為內(nèi)側(cè)和外側(cè)通常光滑曲面都有兩側(cè).11.5對坐標(biāo)的曲面積分11.5.1雙側(cè)曲面有兩側(cè)的曲面.(1)雙側(cè)曲面曲面的分類規(guī)定:法向量的方向來區(qū)分曲面的兩側(cè).(2)單側(cè)曲面莫比烏斯(M?bius)帶.B、C粘在一起形成的環(huán)這在雙側(cè)曲面上是不能實(shí)現(xiàn)的.決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉(zhuǎn)一下,將A、D粘在一起，行帶.小毛蟲在莫比烏斯帶上,不通過邊界可以爬到任何一點(diǎn)去.流量(斜柱體體積)問題11.4(流量問題)——流向曲面一側(cè)的流量.(為平面A的單位法向量)(1)

流速場為常向量有向平面區(qū)域

A,11.5.2對坐標(biāo)的曲面積分的概念求單位時(shí)間流過A的流體的質(zhì)量(假定密度為1).(2)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體給出,函數(shù)流體的密度與速度均不隨時(shí)間而變化(假定密度為1)的速度場由當(dāng)不是常量,Σ有向曲面Σ是速度場中的一片有向曲面,求在單位時(shí)間內(nèi)流向Σ指定側(cè)的流體的質(zhì)量Ф.考察有向曲面Σ上的微元dS,則dS可以由Σ在點(diǎn)(x,y,z)處的任取dS也表示其面積,切平面代替,dS的方向由Σ在點(diǎn)(x,y,z)處的方向向量確定.于是積分得我們先研究

設(shè)曲面Σ的方程由則曲面的方向可以取上側(cè)或下側(cè),

其中上側(cè)的方向向量為下側(cè)的方向向量為上側(cè)的方向余弦為下側(cè)的方向余弦為設(shè)Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)橐蚝瘮?shù)

f(x,y,z)在Σ上連續(xù),故曲面Σ的方向取上側(cè)時(shí),

曲面Σ的方向取下側(cè)時(shí),

定義11.5設(shè)因被積函數(shù)

f(x,y,z)中點(diǎn)(x,y,z)在Σ上,我們引入記號Σ在點(diǎn)(x,y,z)的方向余弦為

則分別稱作函數(shù)

f(x,y,z)

在有向曲面Σ上,或稱第二類曲面積分.對坐標(biāo)x,、y,坐標(biāo)y、z和坐標(biāo)z、x的曲面積分,二重積分號前取正號；二重積分號前取負(fù)號.二重積分號前取正號；二重積分號前取負(fù)號.組合形式注意:(2)當(dāng)曲面Σ母線平行于z軸的柱面時(shí),表示Σ相反的一側(cè)解11.5.3對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算例1計(jì)算其中Σ是旋轉(zhuǎn)部分的下側(cè).拋物面得曲面下側(cè)的方向向量為其中注意到:解投影域例2計(jì)算其中Σ是球面外側(cè)在的部分.解例3計(jì)算