人教版 九年級(jí) 數(shù)學(xué) 下冊(cè) 第二十七章《相似三角形應(yīng)用舉例》教學(xué)課件

27.2相似三角形第二十七章相似27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2利用影子測(cè)量物體的高度利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度利用相似測(cè)量寬度知識(shí)點(diǎn)利用影子測(cè)量物體的高度知1－講11.測(cè)量原理：當(dāng)測(cè)量不能直接到達(dá)頂部的物體的高度時(shí)，常常利用光線構(gòu)造相似三角形(如同一時(shí)刻，物高與影長成比例)來解決.知1－講2.測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物影長BC和被測(cè)量物體影長B′C′，再根據(jù)參照物的高度AC計(jì)算出被測(cè)量物體的高度A′C′.知1－講特別提醒運(yùn)用此測(cè)量方法時(shí)，要符合下列兩個(gè)條件：1.被測(cè)物體的底部能夠到達(dá)；2.由于影長可能隨著太陽的運(yùn)動(dòng)而變化，因此要在同一時(shí)刻測(cè)量參照物與被測(cè)物體的影長.知1－講示例知1－練例1古代一位數(shù)學(xué)家想出了一種測(cè)量金字塔高度的方法：如圖27.2－41，為了測(cè)量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較木棒的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似地算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝274m，求金字塔的高度OB.知1－練解題秘方：用“太陽光是平行光線”構(gòu)建相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解.知1－練

知1－練1－1.某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組為了測(cè)量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把木桿DE直立在同一水平地面上(如圖).同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和木桿在太陽光下的影長分別是BC＝8.72m，EF＝2.18m.已知B，C，E，F(xiàn)

在同一直線上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，則AB＝_______m.9.88知2－講1.測(cè)量原理：用標(biāo)桿或直尺的高(長)作為三角形的邊構(gòu)造相似三角形.2.測(cè)量方法：(1)測(cè)量出標(biāo)桿的長度CD,觀測(cè)者眼睛到地面的高度AB；知識(shí)點(diǎn)利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度2知2－講特別提醒利用標(biāo)桿測(cè)量物體的高度是生活中經(jīng)常采用的方法，使用這種方法時(shí)，觀測(cè)者的眼睛、標(biāo)桿頂端和被測(cè)物體頂端必須“三點(diǎn)共線”，注意標(biāo)桿與地面要垂直，同時(shí)被測(cè)物體底部必須可到達(dá).知2－講(2)讓標(biāo)桿豎直立于地面,調(diào)整觀測(cè)者的位置,使觀測(cè)者的眼睛A、標(biāo)桿頂端C

和旗桿頂端E

恰好在一條直線上,測(cè)量出觀測(cè)者的腳到標(biāo)桿底端的距離BD和到旗桿底端的距離BF；(3)根據(jù)標(biāo)桿與旗桿平行推導(dǎo)出兩個(gè)三角形相似,利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出旗桿的高度EF.知2－講示例知2－練[中考·江西]《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺(即圖中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度.如圖27.2－42，點(diǎn)A，B，Q

在同一水平線上，∠

ABC

和∠

AQP

均為直角，AP

與BC

相交于點(diǎn)D.測(cè)得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝_______m.例26知2－練解題秘方：本題關(guān)鍵是找出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程求解.

知2－練2-1.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF

保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊DE＝0.4m，EF＝0.2m，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹的高度AB為______m.5.5知3－講知識(shí)點(diǎn)利用鏡子的反射測(cè)量物體的高度31.測(cè)量原理：利用鏡子的反射，先根據(jù)反射角等于入射角的原理構(gòu)造相似三角形，再計(jì)算所求物體的高度.知3－講2.測(cè)量方法：特別提醒1.測(cè)量時(shí)被測(cè)物體與人之間不能有障礙物，且鏡子要水平放置；2.利用物理學(xué)中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”相關(guān)知識(shí)可以知道，反射光線和入射光線與鏡面的夾角相等.找到一組銳角對(duì)應(yīng)相等，創(chuàng)造相似條件.知3－講(1)在觀測(cè)者與被測(cè)物體之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記；(2)測(cè)出觀測(cè)者眼睛到地面的高度；(3)觀測(cè)者看著鏡子來回走動(dòng)，直至看到被測(cè)物體頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，此時(shí)測(cè)出鏡子上的標(biāo)記位置到觀測(cè)者腳底的距離及到被測(cè)物體底端的距離；知3－講(4)根據(jù)兩角分別對(duì)應(yīng)相等推導(dǎo)出兩個(gè)三角形相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出被測(cè)物體的高度.示例知3－練如圖27.2－43是一名同學(xué)設(shè)計(jì)的用手電筒來測(cè)量某古城墻高度的示意圖，在點(diǎn)P處水平放一平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測(cè)得AB＝2m，BP＝3m，PD＝12m，求該古城墻CD的高度.例3知3－練思路引導(dǎo)：知3－練

知3－練3－1.[中考·南充]如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退(保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上)，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小菲的眼睛離地面的高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為(

)A.6.4mB.8m

C.9.6mD.12.5mB知4－講1.測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算兩點(diǎn)間的距離.知識(shí)點(diǎn)利用相似測(cè)量寬度4知4－講2.常見的測(cè)量方式：(1)構(gòu)造“A”型相似，如圖27.2－44.知4－講(2)構(gòu)造“X”型相似，如圖27.2－45.知4－講特別解讀利用相似三角形測(cè)量高度、寬度等的一般步驟：1.利用平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形；2.測(cè)量與表示未知量的線段相對(duì)應(yīng)的邊長以及另外任意一組對(duì)應(yīng)邊的長度；3.畫出示意圖，利用相似三角形的性質(zhì)，列出以上包括未知量在內(nèi)的四個(gè)量的比例式，解出未知量；4.檢驗(yàn)并得出答案.知4－練如圖27.2－46，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B

之間的距離(即河寬).方案：先從B點(diǎn)出發(fā)向與AB成90°角的方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不

變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處向右轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m到D處，使得點(diǎn)A，O，D在同一條直線上，那么點(diǎn)A，B之間的距離是多少？例4知4－練解題秘方：根據(jù)測(cè)量過程中的數(shù)據(jù)建立幾何(相似三角形)模型，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解.

知4－練4－1.如圖，身高為1.6m的小李A(yù)B站在河的一岸，利用樹的倒影去測(cè)量對(duì)岸一棵樹CD的高度，CD的倒影是

C′D，點(diǎn)B，E，D在同一水平線上，且A，E，C′在一條視線上，河寬BD＝12m，且BE＝2m，求樹CD的高度.知4－練相似三角形應(yīng)用舉例相似的應(yīng)用測(cè)量高度測(cè)量寬度工具光線鏡子標(biāo)桿或直尺方法利用中間比法求物高1周末，小凱和同學(xué)帶著皮尺，去測(cè)量楊大爺家露臺(tái)遮陽篷的寬度.如圖27.2－47所示，由于無法直接測(cè)量，小凱便在樓前地面上選擇了一條直線EF，通過在直線EF上選點(diǎn)觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)他位于點(diǎn)N時(shí)，他的視線從點(diǎn)M通過露臺(tái)點(diǎn)D

正好落在遮陽篷點(diǎn)A處；例5當(dāng)他位于點(diǎn)N′時(shí)，視線從點(diǎn)M′通過點(diǎn)D正好落在遮陽篷點(diǎn)B

處，這樣觀測(cè)到的兩個(gè)點(diǎn)A，B間的距離即為遮陽篷的寬.已知AB∥CD∥EF，點(diǎn)C在AG上，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露臺(tái)的寬CD＝GE.實(shí)際測(cè)得GE＝5m，EN＝15.5m，NN′＝6.2m.請(qǐng)根據(jù)以上信息，求出遮陽篷的寬AB

是多少米.解題秘方:根據(jù)平行線找三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)建立線段之間的關(guān)系解決問題.解:如圖27.2－47所示，延長MM′交DE于點(diǎn)H.由圖可知HM＝EN＝15.5m，CD＝GE＝5m，MM′＝NN′＝6.2m，HM∥EF.

解題通法利用相似求物高：解決實(shí)際問題中的求高度或距離問題時(shí)，常建立幾何模型構(gòu)造相似三角形，常作的輔助線是平行線、垂線或延長線，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求解.解題策略一些復(fù)雜的實(shí)際問題常涉及兩個(gè)圖形，并且未知線段過多，此時(shí)需要多次運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，有時(shí)還需要借助方程來求解.方法利用分割(補(bǔ)形)法求物高2如圖27.2－48，在離某建筑物CE4m處有一棵樹AB，在某時(shí)刻，1.2m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH的長為2m，此時(shí)樹AB的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在建筑物CE的墻上，墻上的影子CD高為2m，那么這棵樹AB的高度是多少米？例6解題秘方：添加輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解.

方法利用影子斷物法求物高3

例7解題秘方:利用同一時(shí)刻影長和物高成比例，建立線段之間的數(shù)量關(guān)系解決問題.

答案：D

方法點(diǎn)撥當(dāng)物體的影子落在斜坡上時(shí)，常延長光線畫出若無斜坡阻擋時(shí)物體在地面上的影子，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及方程思想求解.如圖27.2－51，鐵道口欄桿的短臂OA長為1.25m，長臂OB長為16.5m，當(dāng)短臂端點(diǎn)(A→C)下降0.85m時(shí)，長臂端點(diǎn)(B→D)升高了多少米？(不計(jì)欄桿的寬度)例8易錯(cuò)點(diǎn)不能準(zhǔn)確理解題目中的已知條件，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤

診誤區(qū)：構(gòu)造直角三角形解決實(shí)際問題時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)量的關(guān)系，如本題中錯(cuò)解是把AC的長當(dāng)成了下降的高度，把BD的長當(dāng)成了上升的高度，實(shí)際上CE的長為下降的高度，DF的長為上升的高度.[中考·菏澤]如圖27.2－52，M，N為山兩側(cè)的兩個(gè)村莊，為了兩村交通方便，根據(jù)國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞，工程人員為計(jì)算工程量，必須計(jì)算M，N兩點(diǎn)之間的距離，選擇測(cè)量點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B，C

分別在AM，AN

上，考法利用相似三角形的性質(zhì)解實(shí)際中測(cè)距離的應(yīng)用1例9現(xiàn)測(cè)得AM＝1000m，AN＝1800m，AB＝54m，BC＝45m，AC＝30m，求M，N

兩點(diǎn)之間的距離.試題評(píng)析：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，讀懂題意，建立相似三角形的模型是解題的關(guān)鍵.

[中考·陜西]小明和小華利用陽光下的影子來測(cè)量一建筑物頂部旗桿的高．如圖27.2－53，考法利用影長測(cè)量不在地面的物高的應(yīng)用2例10在某一時(shí)刻，他們?cè)陉柟庀?，分別測(cè)得該建筑物OB的影長OC為16m，OA的影長OD為20m，小明的影長FG為2.4m，其中O，C，D，F(xiàn)，G

五點(diǎn)在同一直線上，A，B，O三點(diǎn)在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF

為1.8m，求旗桿的高AB.試題評(píng)析：本題主要考查利用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量物高，關(guān)鍵是找出圖形中相似的三角形.

[中考·湖州]某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖27.2－54，把支架(EF)放在離樹(AB)適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架(EF)上的點(diǎn)E處，然后沿著直線BF后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，考法利用光的反射原理測(cè)量物高的應(yīng)用3例11再用皮尺分別測(cè)量BF，DF，EF，觀測(cè)者目高(CD)的長，利用測(cè)得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度.已知CD⊥BD于點(diǎn)D，EF⊥BD于點(diǎn)F，AB⊥BD于點(diǎn)B，BF＝6m，DF＝2m，EF＝0.5m，CD＝1.7m，則這棵樹的高度(AB的長)是_________m.4.1試題評(píng)析：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，利用已知條件得出相似三角形是解題的關(guān)鍵.解：過點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，如圖27.2－54，∵

DB

是水平線，CD，EF，AB都是鉛垂線，∴

DH＝EF＝GB＝0.5m，EH＝DF＝2m，EG＝FB＝6m，∴

CH＝CD－DH＝1.7－0.5＝1.2(m).根據(jù)題意得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝

∠AEG，

1.[模擬·柳州]某數(shù)學(xué)興趣小組為了估算河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.如果測(cè)得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，則河的寬度PQ

是(

)A.70m B.80mC.90m D.100mC

A3.物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光沿直線傳播的特性實(shí)現(xiàn)圖像投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經(jīng)小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A′B′，設(shè)AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為_______cm.204.[期中·杭州西湖區(qū)]如圖，某校宣傳欄BC后面12m處種有一排與宣傳欄平行的若干棵樹，即BC∥ED，且相鄰兩棵樹的間隔為2m，一人站在宣傳欄前面的A處正好看到兩端的樹干，其余的樹均被宣傳欄擋住.已知AF⊥BC，AF＝3m，BC＝10m，該宣傳欄后DE處共有________棵樹(不計(jì)宣傳欄的厚度).265.《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1.6m，BD＝1m，BE＝0.2m，那么AC

為________m．76.[中考·溫州]如圖，在河對(duì)岸有一矩形場(chǎng)地ABCD，為了估測(cè)場(chǎng)地大小，在筆直的河岸l上依次取點(diǎn)E，F(xiàn)，N，使AE⊥l，BF⊥l，點(diǎn)N，A，B在同一直線上．在F點(diǎn)觀測(cè)A

點(diǎn)后，沿FN方向走到M點(diǎn)，觀測(cè)C點(diǎn)發(fā)現(xiàn)∠1＝∠2.測(cè)得EF＝15m，F(xiàn)M＝2m，MN＝8m，∠ANE＝45°，則場(chǎng)地的邊AB為_______m，BC為_______m.7.[期中·哈爾濱南崗區(qū)]在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，小麗在同一時(shí)刻陽光下，測(cè)得一根長為1m的竹竿的影長為0.8m，測(cè)量樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階上(如圖)，落在地面上的影長為4.8m，一級(jí)臺(tái)階高為0.25m，落在第一級(jí)臺(tái)階上的影子長為0.2m，則樹的高度為________m.6.58.如圖，小明想用鏡子測(cè)量一棵古松樹AB的高，但因樹旁有一條小河，不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，人在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹尖A，第二次他把鏡子放在點(diǎn)C′處，人在點(diǎn)F′處正好在鏡中看到樹尖A.已知小明眼睛距地面1.6m，量得CC′＝7m，CF＝2m，C′F′＝3m，求這棵古松樹AB

的高.9.[二?！の靼哺咝聟^(qū)]如圖，小娟和媽媽二人配合測(cè)量小區(qū)內(nèi)一棵樹的高度AD.她們的身高分別是1.6m，1.8m(EB＝1.6m，F(xiàn)C＝1.8m)，小娟在距離樹0.3m的B處(AB＝0.3m)，看樹的頂端D

的視線為ED，原地再看媽媽的頭部，視線為EF，媽媽經(jīng)過移動(dòng)調(diào)整位置，當(dāng)EF⊥ED時(shí)媽媽停止移動(dòng)，這時(shí)測(cè)得AC＝9.5m.已知點(diǎn)A，B，C

在地平面的一條直線上，樹和二人都垂直于這條直線，求樹的高度AD.解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥CF于點(diǎn)G，延長GE交AD于點(diǎn)H，則GH⊥AD，四邊形CBEG和四邊形AHEB是矩形，∴AH＝BE＝CG＝1.6m，BC＝EG＝9.5－0.3＝9.2(m)，AB＝HE＝0.3m.10.拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品.某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來測(cè)量東塔的高度.東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E，