《函數(shù)的基本性質(zhì)──單調(diào)性與最值》教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的基本性質(zhì)──單調(diào)性與最值》教學(xué)設(shè)計(jì)單調(diào)遞增（減）函數(shù)”這一錯(cuò)誤?！昂瘮?shù)在（-∞，0）上y隨x增大而減少，在

（0，+∞）上y隨x的增大而減少?！倍鴮W(xué)生容易錯(cuò)誤理解函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，即把兩個(gè)單調(diào)區(qū)間進(jìn)行合并；分別在區(qū)間上取兩個(gè)數(shù)-1和5，-1<5，而f(-1)<f(5)這與函數(shù)單調(diào)遞減的定義相矛盾加以說(shuō)明。單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，學(xué)生在代數(shù)論證推理方面的能力是比較弱的，許多學(xué)生甚至還搞不清什么是代數(shù)證明，也沒(méi)有意識(shí)到它的重要性，所以單調(diào)性的證明自然就是教學(xué)中的難點(diǎn)。在證明過(guò)程中，有些學(xué)生在作差變形中，缺乏相應(yīng)的運(yùn)算變換能力，在教學(xué)中多舉一些例子，多讓學(xué)生接觸一些不同類型，然后進(jìn)行必要總結(jié)（通分，因式分解，有理化，配方等），要變形到最后能判斷符號(hào)為止，千萬(wàn)不能想當(dāng)然，或中間“爛肚子”而直接下結(jié)論。對(duì)于函數(shù)的最大（?。┲档亩x，在初中也只有定性的研究，而現(xiàn)在要求定量探討，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述。學(xué)生對(duì)“任意”、“都”、“存在”這些詞的含義不容易理解，利用求函數(shù)的最值，討論函數(shù)（x>0）單調(diào)區(qū)間等具體的例子加以鞏固。四、學(xué)習(xí)行為分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義，表示法，圖象，也學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的函數(shù)值y與變量x之間的關(guān)系，特別是學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的最大（?。┲担@為理解函數(shù)的單調(diào)性和最大（?。┲档於艘欢ǖ幕A(chǔ)。但另一方面，以前對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和最大（?。┲档难芯渴且环N定性的研究，側(cè)重于直觀的思維，而本節(jié)內(nèi)容是要對(duì)函數(shù)單調(diào)性和最大（小）值的定量的研究，側(cè)重于邏輯思維能力，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了較大的困難。因此，在教學(xué)過(guò)程中，多創(chuàng)設(shè)熟悉的問(wèn)題情景：如在引課中利用建造一個(gè)長(zhǎng)方形的花壇，構(gòu)造熟悉的二次函數(shù)，上課中所舉例子都是一些常見(jiàn)的函數(shù)來(lái)加以落實(shí)。在定義教學(xué)中，多給學(xué)生思考問(wèn)題的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生觀察，歸納，總結(jié)。特別利用數(shù)形結(jié)合，定性與定量相結(jié)合，盡量讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，以便于學(xué)生的理解和掌握。利用類比教學(xué)法：當(dāng)介紹了增函數(shù)的定義之后，讓學(xué)生自己得出相應(yīng)減函數(shù)的定義；當(dāng)介紹了函數(shù)最大值的定義之后，讓學(xué)生自己得出函數(shù)最小值的定義；便于學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)定義的理解。對(duì)于一些容易出錯(cuò)的問(wèn)題采取糾錯(cuò)教學(xué)法：“函數(shù)在(-∞,0）上y隨x的增大而減少,在

（0,+∞）上y隨x的增大而減少，則函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)”?！八泻瘮?shù)是否都有最大（?。┲担俊?、“函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是否一定有單調(diào)性？”。還有一些比較復(fù)雜的問(wèn)題：“確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”等問(wèn)題讓學(xué)生去討論，去探究，教師積極引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。五、教學(xué)支持條件分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大（?。┲颠@一性質(zhì)學(xué)生在初中接觸到過(guò)，但只側(cè)重于圖象上直觀分析，而現(xiàn)在要求把它上升到理論的高度，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言去刻畫它。這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的，為了突破這一難點(diǎn)，充分發(fā)揮信息技術(shù)的輔助教學(xué)的功能。在概念教學(xué)中，首先利用多媒體技術(shù)畫出函數(shù)y=x，

y=x2，，y=x3相應(yīng)的函數(shù)的圖象，然后在函數(shù)上取不同的點(diǎn)，由學(xué)生觀察函數(shù)的值y隨x的變化而變化的規(guī)律，化靜為動(dòng)，化抽象為直觀，便于學(xué)生理解。對(duì)于概念中的一些關(guān)鍵字詞，比如

“任意”、“都”、“存在”在多媒體課件中用不同的顏色加以標(biāo)明，便于學(xué)生加深印象。對(duì)于一些容易出錯(cuò)的問(wèn)題采取小組討論法，糾錯(cuò)法。例如教師提出“討論函數(shù)的單調(diào)性”，讓學(xué)生分組討論，然后推薦代表發(fā)言。有學(xué)生會(huì)回答是“遞減函數(shù)”，理由是“圖形的形狀是下降”。也有同學(xué)會(huì)回答“不是單調(diào)函數(shù)”，理由是“因?yàn)閤1=-1，x2=1時(shí)，x1<x2，這時(shí)f(-1)<f(1)，與減函數(shù)的意義不符，所以它不是減函數(shù)，同樣也不是增函數(shù)”。也有同學(xué)會(huì)回答“函數(shù)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)也是減少，理由是可以用定義來(lái)證明之。根據(jù)學(xué)生的不同回答，首先讓其它組的同學(xué)予以糾正，充分發(fā)揮學(xué)生的力量；當(dāng)學(xué)生碰到困難時(shí)，教師予以引導(dǎo)，點(diǎn)撥，最后統(tǒng)一結(jié)論。對(duì)于例（3）學(xué)生熟悉的煙花問(wèn)題，可采用自學(xué)導(dǎo)學(xué)法，首先讓學(xué)生通讀題目，理解題意，然后利用多媒體演示動(dòng)畫模型，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；接著相互討論，共同解決。最后學(xué)生提問(wèn)，教師答疑，師生共同小結(jié)求最值的基本方法。六、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)《高中數(shù)學(xué)課程新標(biāo)準(zhǔn)》中提出：“對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，既要關(guān)注學(xué)生知識(shí)與技能的理解和掌握，更要關(guān)注他們情感與態(tài)度的形成與發(fā)展；既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要關(guān)注他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中的變化和發(fā)展?！备鶕?jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，發(fā)展性評(píng)價(jià)的核心是關(guān)注學(xué)生的發(fā)展、促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)發(fā)展性功能的一個(gè)重要舉措就是突出評(píng)價(jià)的過(guò)程性，評(píng)價(jià)將貫穿于教學(xué)的整個(gè)過(guò)程，將學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中的全部情況都納入評(píng)價(jià)的范圍，而不只是評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)的結(jié)果。在本教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，始終注重過(guò)程評(píng)價(jià)，注重評(píng)價(jià)的針對(duì)性，實(shí)效性。主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況的評(píng)價(jià)。對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大（小）值的定義能否深刻的，全面的理解，特別是一些關(guān)鍵字詞，如“任意兩個(gè)”、“都”、“存在”的理解。舉出正面和反面的例子讓學(xué)生辨別，個(gè)別評(píng)價(jià)與集體評(píng)價(jià)相結(jié)合。二是基本技能掌握情況的評(píng)價(jià)。主要包括函數(shù)單調(diào)性判斷的基本方法（圖象法，定義法，復(fù)合函數(shù)法），如何選擇不同的方法。證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟和基本策略（主要是作差變形的策略），單調(diào)區(qū)間的確定。求最值的基本方法的掌握情況等。三是數(shù)學(xué)思想的落實(shí)和數(shù)學(xué)探究能力培養(yǎng)的評(píng)價(jià)。運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)畫函數(shù)的圖象（草圖），提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。函數(shù)單調(diào)性和最大（小）值的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識(shí)數(shù)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程。讓學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來(lái)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。（具體的教學(xué)評(píng)價(jià)見(jiàn)教學(xué)過(guò)程）七、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖師生活動(dòng)一．創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)出問(wèn)題

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，把問(wèn)題作為出發(fā)點(diǎn)，為下一步提出探索性的問(wèn)題創(chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)環(huán)境。

以實(shí)際問(wèn)題為背景、以學(xué)生熟悉的一元二次函數(shù)為入口點(diǎn)，激活學(xué)生原有的認(rèn)知，讓學(xué)生對(duì)所要學(xué)的新知獲得感性的認(rèn)識(shí)。教師提出問(wèn)題：學(xué)校準(zhǔn)備建造一個(gè)長(zhǎng)方形的花壇，周長(zhǎng)設(shè)計(jì)為16米。由于受周圍地理位置限制，其中一邊的長(zhǎng)度既不能超過(guò)6米，又不能少于1米。問(wèn)1、建立面積y與一邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式。生：y=x(8-x)(1≤x≤6)問(wèn)2、畫出上面函數(shù)的圖象。問(wèn)3、指出y的值與x值的變化關(guān)系。生：當(dāng)1≤x≤4時(shí)，y隨x值的增大而增大，當(dāng)4≤x≤6時(shí)，y隨x值的增大而減小。問(wèn)4、求出面積的最大值與最小值。生：當(dāng)x=4時(shí)，Smax=16m；當(dāng)x=1時(shí)，Smin=7m引導(dǎo)學(xué)生解決，體會(huì)函數(shù)單調(diào)性與最大（小）值在實(shí)際中的應(yīng)用。

二、借助信息技術(shù)，利用熟悉的函數(shù)，給出單調(diào)性直觀認(rèn)識(shí)。

從形象、直觀的圖形入手，為探索與思考問(wèn)題提供方向和“路標(biāo)”，并借機(jī)發(fā)展學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力、和探索能力。請(qǐng)學(xué)生分別畫出下列函數(shù)的圖象，并探討函數(shù)值y與自變量x之間的關(guān)系：y=x

，

y=x

，

y=

，

y=x3學(xué)生動(dòng)手畫圖，個(gè)別板演，集體探討函數(shù)值與自變量之間的關(guān)系，教師適當(dāng)引導(dǎo)。y=x在R上y隨x的增大而增大。y=x在(-∞,0)上y隨x的增大而減少，在(0,+∞)上y隨x的增大而增大。y=在（-∞，0）上y隨x的增大而減少,在

（0，+∞）上y隨x的增大而減少。y=x3

在R上y隨x的增大而增大。教師利用信息技術(shù)，動(dòng)畫演示函數(shù)的圖象。三、從定性到定量，引出單調(diào)性的定義，并能深刻理解定義的含義。

從定性描述到定量描述，從通俗的日常用語(yǔ)到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言，讓學(xué)生學(xué)會(huì)抽象概括，學(xué)會(huì)邏輯地、合理地思考問(wèn)題。

注意數(shù)形結(jié)合，定義是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言，圖象是直觀的語(yǔ)言，注意兩者有機(jī)的結(jié)合。

利用類比方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的遷移教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生在自主探索，討論，在合作交流中，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，對(duì)概念進(jìn)一步深入的領(lǐng)會(huì)。怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示y=x在R上y隨x的增大而增大呢？（學(xué)生討論，教師引導(dǎo)，得出增函數(shù)的定義）

(學(xué)生不一定一下子答得比較完整，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)予以啟發(fā)，糾正，補(bǔ)充)。一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<

f(x2).那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)(increasingfunction)

用類比的方法得出減函數(shù)的定義：如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>

f(x2).那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上是減函數(shù)(decreasingfunction

)

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說(shuō)函說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=

f(x)的單調(diào)區(qū)間.1、“函數(shù)y=x2是單調(diào)遞增函數(shù)”這一說(shuō)法對(duì)嗎？2、y=在（0,+∞）上是減函數(shù)，在(-∞,0)是減函數(shù)，能否說(shuō)函數(shù)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)？3、函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是否一定具有單調(diào)性？4、如何理解定義中“任意”兩個(gè)字？四、講解例題、鞏固知識(shí)，提高能力。

例（1）是利用函數(shù)的圖象來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，具有直觀性，也是常用方法。

例（2）是利用單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性。通過(guò)本題的講解，具有嚴(yán)謹(jǐn)性，能加深對(duì)定義的理解。1、

教材例（1）p34講解：讓學(xué)生自己通看教材，學(xué)生提問(wèn)，學(xué)生自行解決，師生共同總結(jié)：（1）單調(diào)性與端點(diǎn)無(wú)關(guān)。（2）判斷函數(shù)的基本方法-----圖象法。2、

教材例（2）p34講解：教師板演，師生共同總結(jié)：（1）

判斷函數(shù)的基本方法-----定義法。（2）

總結(jié)定義法證明單調(diào)性的基本步驟：

1

任取x1，x2∈D，且x1<x2；

2

作差f(x1)-f(x2)；3

變形（因式分解、配方、通分有理化）；4

定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；⑤下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性）3、在解題中，根據(jù)題目的實(shí)際情況和具體要求，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

五、回歸引例，探討最大（小）值的含義

從熟悉，具體的二次函數(shù)入手，探討最大，最小值，讓學(xué)生有感性認(rèn)識(shí)。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述最大值，最小值。重新演示引例函數(shù)的圖象及面積的最大值與最小值分析上面圖象可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=x(8-x)(1≤x≤6)的圖象上有一個(gè)最高點(diǎn)（4，16），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≤f(4),當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)有最高點(diǎn)，我們就說(shuō)函數(shù)有最大值。有一個(gè)最低點(diǎn)（1，7），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)有最低點(diǎn)，我們就說(shuō)函數(shù)有最小值。而函數(shù)f(x)=x的圖象沒(méi)有最高點(diǎn)也沒(méi)有最低點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)=x沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值。

六、歸納最大(?。┲档亩x，并加以說(shuō)明，解釋

從特殊到一般，揭示數(shù)學(xué)通常的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，便于學(xué)生接受。

利用類比方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的遷移

教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生在自主探索，討論，在合作交流中，對(duì)概念進(jìn)一步深入的領(lǐng)會(huì)。得出函數(shù)最大值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：⑴

對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M；⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值（maximumvalue）讓學(xué)生仿照最大值的定義，給出函數(shù)y=f(x)的最小值的定義（minimumvalue）。一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：⑴

對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M；⑵存在x0∈I，，使得f(x0)=M那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值（maximumvalue）1、函數(shù)y=x、y=有沒(méi)有最值？2、如何理解定義中的“存在”“任意”的含義？3、以前求最值有哪些方法？

七、函數(shù)單調(diào)性、最大（?。┲祽?yīng)用

例(3)是學(xué)生熟悉的煙花問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決，難度不大。

例(4)是單調(diào)性與最值問(wèn)題的綜合，具有一定的難度。注意轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合。例(3）、例(4)的教學(xué)采用自學(xué)導(dǎo)學(xué)法，按以下步驟實(shí)施：1、

學(xué)生通讀題目，理解題意2、

利用多媒體演示動(dòng)畫，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。3、

學(xué)生自學(xué)，相互討論，共同解決。4、

學(xué)生提問(wèn)，教師答疑。5、

師生共同小結(jié)求最值的基本方法：（1）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題。①配方法②注意實(shí)際問(wèn)題的條件限制。（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求最值------在閉區(qū)間上。①先證明在在閉區(qū)間上具有單調(diào)性。②端點(diǎn)值即為函數(shù)的最值。

八、練習(xí)、交流、反饋、評(píng)價(jià)利用課堂練習(xí)鞏固所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容，數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法，以達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，本環(huán)節(jié)以個(gè)別輔導(dǎo)為主，體現(xiàn)面對(duì)全體學(xué)生的課改新理念。課堂練習(xí)：課本第38頁(yè)練習(xí)1、練習(xí)2、練習(xí)3、練習(xí)4。學(xué)生獨(dú)立思考與討論相結(jié)合，教師巡查，個(gè)別輔導(dǎo)與集體輔導(dǎo)相結(jié)合。

九、課堂小結(jié)通過(guò)學(xué)生自我小結(jié)，既充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生分析，概括，綜合，抽象能力，又有利于學(xué)生把新知融入自己已有的知識(shí)體系。知識(shí)小結(jié)：1、函數(shù)單調(diào)性，最大（?。┲档母拍睢?、判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。3、用定義法判斷函數(shù)的基本步驟4、求最大（?。┲档幕痉椒?。師生、生生互動(dòng)：1、你覺(jué)得本節(jié)課中印象最深的是什么？2、你覺(jué)得本節(jié)課中最大的困惑是什么？讓學(xué)生提問(wèn)題，自行解決，教師適當(dāng)補(bǔ)充。

十、布置作業(yè)溝通課內(nèi)與課外，使學(xué)