《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》教案（高一年級(jí)第一冊(cè)·第三章第三節(jié)）一、教材分析●教學(xué)內(nèi)容《等差數(shù)列前n項(xiàng)和》人教版高中教材第三章第三節(jié)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)過程和簡(jiǎn)單應(yīng)用●地位與作用高中數(shù)列研究的主要對(duì)象是等差、等比兩個(gè)基本數(shù)列。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程中，采用了：1.從特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不僅得出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，而且對(duì)以后推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有一定的啟發(fā)，也是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。等差數(shù)列前n項(xiàng)和是學(xué)習(xí)極限、微積分的基礎(chǔ)，與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系。二、學(xué)情分析●知識(shí)基礎(chǔ)：高一年級(jí)學(xué)生已掌握了函數(shù)，數(shù)列等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并且在初中已了解特殊的數(shù)列求和?！裾J(rèn)知水平與能力：高一學(xué)生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決問題?！袢谓贪嗉?jí)學(xué)生特點(diǎn)：我所任教的班級(jí)是普通班級(jí)，學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不是很扎實(shí)，處理抽象問題的能力還有待進(jìn)一步提高.三、目標(biāo)分析1、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)教學(xué)大綱的教學(xué)要求，滲透新課標(biāo)理念，并結(jié)合以上學(xué)情分析，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)．●知識(shí)與技能目標(biāo)掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和?！襁^程與方法目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思。●情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，逐步養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提高代數(shù)推理的能力。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和本校學(xué)生特點(diǎn)，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：●重點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.●難點(diǎn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中滲透倒序相加的思想方法?！裰?、難點(diǎn)解決的方法策略本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．利用數(shù)形結(jié)合、類比歸納的思想，層層深入，通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，并通過范例后的變式訓(xùn)練和教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)．四、過程設(shè)計(jì)結(jié)合教材知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，本課的教學(xué)環(huán)節(jié)及時(shí)間分配如下：公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（1）（5公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（1）（5分鐘）探究等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（18分鐘）創(chuàng)設(shè)情景提出問題（2分鐘）公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（2）公式應(yīng)用與議練活動(dòng)（2）（9分鐘）歸納總結(jié)（2分鐘）歸納總結(jié)（2分鐘）公式的認(rèn)識(shí)與理解（4分鐘）五、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)活動(dòng)說明新課引入新課引入創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點(diǎn)，傳說中陵寢中有一個(gè)三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時(shí)提出第一個(gè)問題：你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計(jì)算1+2+3+…..+100=？現(xiàn)實(shí)模型：圖片欣賞②生活實(shí)例模型直觀用實(shí)際生活引入新課。探索公式探索公式探索公式探索公式議練活動(dòng)議練活動(dòng)課堂總結(jié)首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家——高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+…..+100？分析高斯求法得出的式子，發(fā)現(xiàn)Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：設(shè)等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為,則問題1老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？老師：但是否剛好配對(duì)成功呢？但是對(duì)n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來給出實(shí)際問題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場(chǎng)的木頭根數(shù)呢？問題2：如何用倒置的思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和呢？方法一：兩式相加得：方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：兩式相加得：引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換掉整理得到公式2。能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。例1：某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員７天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：750080008500900095001000010500這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員７天共跑了多少米？本例提供了許多數(shù)據(jù)信息，學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式1，也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，使用公式2求和。剖析公式：教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例2等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項(xiàng)的和為54？本例已知首項(xiàng)，前n項(xiàng)和、并且可以求出公差，利用公式2求項(xiàng)數(shù)。事實(shí)上，在兩個(gè)求和公式中各包含四個(gè)元素，從方程的角度，知三必能求余一。例3．在等差數(shù)列中，已知，求。 本小題主要考察了對(duì)公式一的整體應(yīng)用。根據(jù)課堂剩余時(shí)間，本題作為機(jī)動(dòng)練習(xí)，（2）小問留給學(xué)生課后完成1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容．動(dòng)手體驗(yàn)，反饋信息（2個(gè)練習(xí)題）中，若，求2.課后作業(yè)：A必做題教材118頁：練習(xí)１、２、３；習(xí)題第２題（３、４）B選做題：在等差數(shù)列中，學(xué)生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學(xué)生:通過等式變形，可把一組數(shù)求和看作先求得兩組完全相同的數(shù)組的和再除以2即可學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，以此類推，每一對(duì)的和都相等，并且都等于。學(xué)生：不一定，需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配對(duì)成功。當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)落單了。學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。（由上一問題的解決，學(xué)生容易想到倒序相加求和法。）學(xué)生：利用倒序相加求和法。將中的每一項(xiàng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫，在倒序相加求和時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)抵消了。學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系。學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。觀察多媒體課件演示。學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。學(xué)生討論分析題目所含的已知量，選取了公式2進(jìn)行運(yùn)算，利用了方程的思想。需要注意的是學(xué)生可能會(huì)把公差認(rèn)為是-4以及解得n的值后未把n=-3舍去。本例是使用等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式求未知元?？梢允褂霉?，先求出首項(xiàng)，再使用通項(xiàng)公式求末項(xiàng)。也可以使用公式1和通項(xiàng)公式，聯(lián)列方程組求解。本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明．（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會(huì)等差數(shù)列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.（3）掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解答。這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì)從高斯算法出發(fā)，對(duì)n進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題——提出問題——解決問題”的過程利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式有直觀的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的圖形語言。通過對(duì)實(shí)際問題的解決讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活例2在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，深化了對(duì)公式的理解，體現(xiàn)了方程的思想。緊扣教材，讓學(xué)生體會(huì)整體應(yīng)用公式，類比化歸的思想方法，同時(shí)，為以后綜合問題的解答設(shè)下伏筆。《等式的性質(zhì)》典型例題例1回答下列問題；（1）從，能否得到，為什么？（2）從，能否得到，為什么？（3）從，能否得到，為什么？（4）從，能否得到，為什么？（5）從，能否得到，為什么？（6）從，能否得到，為什么？例2用適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式填空，使所得結(jié)果仍是等式，并說明是根據(jù)哪條性質(zhì)以及怎樣變形的：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么；（5）如果，那么；（6）如果，那么；（7）如果，那么；（8）如果，那么．例3請(qǐng)利用等式性質(zhì)解方程：①例4利用等式的性質(zhì)解下列方程并檢驗(yàn)：（1）（2）（3）例5學(xué)校每年都要組織部分學(xué)生到游樂園游玩，并有一名帶隊(duì)去師．游樂園的門票成人8元，學(xué)生5元，此次購買門票共花183元，問共有多少學(xué)生參加了此次活動(dòng)？例6利用等式性質(zhì)解下列一元一次方程（1）；（2）；（3）；（4）．例7甲隊(duì)有32人，乙隊(duì)有28人，如果要使甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的2倍，那么需從乙隊(duì)抽調(diào)多少人到甲隊(duì)？例8A足球隊(duì)進(jìn)行足球聯(lián)賽，聯(lián)賽規(guī)定每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，A隊(duì)一共比賽了10場(chǎng)，并保持不敗記錄，一共得了22分．A隊(duì)勝了多少場(chǎng)？平了多少場(chǎng)？例9一商店把某商品按標(biāo)價(jià)的九折出售仍可獲知得20％的利潤率，若該商品的進(jìn)價(jià)是每件30元，則標(biāo)價(jià)是每件_________元．例10某藥店經(jīng)營的抗病毒藥品，在市場(chǎng)緊缺的情況下提價(jià)100％，物價(jià)部門查處后，限定其提價(jià)的幅度只能是原價(jià)的10％，則該藥品現(xiàn)在的降價(jià)的幅度是（）A．45％B．50％C．90％D．95％

參考答案例1解：（1）從能得到，根據(jù)等式性質(zhì)1，在等式兩邊同時(shí)減去就得到；（2）從不能得到．因?yàn)槭鞘欠駷?不確定，因此不能根據(jù)等式的性質(zhì)2，在等式的兩邊同除以；（3）從能得到．根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊都乘以；（4）從能得到．根據(jù)等式性質(zhì)1，在等式兩邊都加上；（5）從能得到．由隱含著．因此根據(jù)等式的性質(zhì)2．在等式兩邊都除以；（6）從不能得到．因?yàn)槭欠駷榱悴荒艽_定，因此不能在兩邊同除以．說明：在使用等式的性質(zhì)2時(shí)，一定要注意除數(shù)不為0的條件，還要注意題目中的隱含條件，比如隱含著．例2分析：本題是等式性質(zhì)的應(yīng)用也是本節(jié)的難點(diǎn)，解答這類題目的關(guān)鍵是看第二個(gè)等式中不需要填空的一邊是怎樣由第一個(gè)等式的相應(yīng)一邊變化而來的．比如本題的第（1）題，第二個(gè)等式的左邊是3不需填空，3是由第一個(gè)等式的左邊減去5得到的，所以第二個(gè)等式的右邊也應(yīng)減5，即，因此填空為5，其它題目可進(jìn)行類似地分析．解：（1）；根據(jù)等式性質(zhì)1．等式兩邊都減去5．（2）；根據(jù)等式性質(zhì)1．等式兩邊都加上3．（3）；根據(jù)等式性質(zhì)1．等式兩邊都加上．（4）；根據(jù)等式性質(zhì)2．等式兩邊都乘以2．（5）；根據(jù)等式的性質(zhì)1．等式兩邊都加上．（6）；根據(jù)等式的性質(zhì)2．等式兩邊都除以4．（7）；根據(jù)等式性質(zhì)1．等式兩邊都加上2．（8）；根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊都乘以6．例3分析：第一步，想辦法去掉等式右邊的，可以利用等式性質(zhì)1，兩邊同減去，得②第二步，想辦法去掉左邊的－10，可利用等式性質(zhì)1，兩邊同加上10，得③第三步，想辦法把x項(xiàng)的系數(shù)3變成1，可以利用等式性質(zhì)2，兩邊同乘以，得④于是我們求出了方程①的解解：兩邊同減去，得兩邊同加上10，得兩邊同乘以，得．說明：上述等式①、②、③、④都是方程，其中等式④具有雙重性：既可以看成是方程，也可以看成是方程的解．例4解：（1）兩邊減9，得化簡(jiǎn)，得兩邊同除以2，得檢驗(yàn)：將代入方程的左邊，得方程的左右兩邊相等，所以是方程的解．（2）兩邊加6，得化簡(jiǎn)，得兩邊同除以0.5，得檢驗(yàn)：將代入方程的左邊，得方程的左右兩邊相等，所以是方程的解．（3）兩邊減4，得化簡(jiǎn)，得兩邊同除以－3，得檢驗(yàn)：將代入方程的左邊，得方程的左右兩邊相等，所以是方程的解．說明：（1）解方程是運(yùn)用等式的性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化為的形式，解方程的過程也可以看作是等式變形的過程．在解方程的過程中，要注意嚴(yán)格按照等式的性質(zhì)．（2）檢驗(yàn)是檢查所求未知數(shù)的值是否為方程的解的必要過程，將所得到的未知數(shù)的值代人方程中，經(jīng)計(jì)算后觀察等式左右兩邊是否相等．（3）無論是解方程還是檢驗(yàn)都應(yīng)注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，養(yǎng)成正確計(jì)算的習(xí)慣．例5解：設(shè)共有學(xué)生x人參加，購買門票共花5x元．則：兩邊減8，得兩邊同時(shí)除以5，得答：共有35個(gè)學(xué)生參加了此次活動(dòng)．說明：列方程解應(yīng)用問題關(guān)鍵是找準(zhǔn)題目中的相等關(guān)系，此題可以以總錢數(shù)作為相等關(guān)系，也可以以學(xué)生購票所花錢數(shù)作為相等關(guān)系，求出方程的解后還應(yīng)觀察其是否符合實(shí)際意義，以及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤．例6分析：（1）（2）利用性質(zhì)1，（3）利用性質(zhì)2，（4）利用性質(zhì)1和性質(zhì)2．解：（1）兩邊同時(shí)減去2得于是．（2）兩邊同時(shí)加上5得于是，習(xí)