北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

數(shù)學(xué)試題2024.10.06本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（）A.0 B. C.0或 D.0或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.【詳解】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；所以或.故選：C2.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對(duì)B，，，排除B，對(duì)C，，排除C．對(duì)D，，排除D，故選A．【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)，分別求三個(gè)數(shù)的范圍，再比較大小.【詳解】由條件可知，，，，所以.故選：B4.設(shè)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，求出模長.【詳解】，故.故選：D5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間上的增函數(shù)的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指對(duì)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，得出答案．【詳解】選項(xiàng)A，是非奇非偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的減函數(shù)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，是偶函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，正確；選項(xiàng)D，是奇函數(shù)，是區(qū)間上的增函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：C6.已知向量，，，若則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量坐標(biāo)的運(yùn)算求出向量的坐標(biāo)，再根據(jù)，利用向量夾角余弦公式列方程，求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】由，，則，又，則，則，即，，解得，故選：C.7.函數(shù)，則（）A.若，則為奇函數(shù) B.若，則為偶函數(shù)C.若，則為偶函數(shù) D.若，則為奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的關(guān)系，代入的解析式，對(duì)AD用特值說明不是奇函數(shù)，對(duì)BC用奇偶性的定義驗(yàn)證即可.【詳解】的定義域?yàn)?，?duì)A：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；對(duì)B：若，，，故偶函數(shù)，B正確；對(duì)C：若，，，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，若為奇函數(shù)，則，而不恒成立，故不是奇函數(shù)；故選：B8.已知函數(shù)，若對(duì)任意的有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義證明為奇函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的性質(zhì)化簡不等式可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)任意的，，函數(shù)為奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式可化為，所以，所以，由已知對(duì)任意的有恒成立，所以，即，故的取值范圍是.故選：A.9.已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先確定向量、所表示的點(diǎn)的軌跡，一個(gè)為直線，一個(gè)為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求最小值.【詳解】設(shè)，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.【點(diǎn)睛】以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關(guān)系，是解決這類問題的一般方法.10.已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)閯t實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，即得，故可知是方程的兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出．【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，即可得到，即可知是方程兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，所以，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則__________.【答案】##0.5【解析】【分析】由三角函數(shù)定義得到，再由誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】由三角函數(shù)定義得，由誘導(dǎo)公式得.故答案為：12.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_____________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值.【詳解】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.13.若命題“對(duì)任意為假命題的a的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】寫出全稱量詞命題的否定，為真命題，分，和三種情況，得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得為真命題，當(dāng)時(shí)，不等式為，有解，滿足要求，當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)必有解，滿足要求，若，則，解得，綜上，a的取值范圍為.故答案為：14.若函數(shù)的最大值為，則________，的一個(gè)對(duì)稱中心為_______【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，再根據(jù)最大值求出A，最后利用余弦型函數(shù)求出對(duì)稱中心.【詳解】由，其中，又函數(shù)的最大值為，則，又，則，，不妨取，故，則的對(duì)稱中心滿足，，解得，，即的對(duì)稱中心為，，則的一個(gè)對(duì)稱中心可為：，故答案為：，（答案不唯一）15.對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有___________.①②③，（x∈0,+∞）④（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】①.①②④②.或．【解析】【分析】（1）令，由，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，由此可判斷；由兩圖象在有交點(diǎn)可判斷；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有根，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）在時(shí)，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令，即，∵，故方程有一個(gè)非0實(shí)根，故具有性質(zhì)P；的圖象與有交點(diǎn)，故sinx=有解，故具有性質(zhì)P；令=，此方程無解，故，（x∈0,+∞）不具有性質(zhì)P；令，則由兩圖象在有交點(diǎn)，所以有根，所以具有性質(zhì)P；綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④；（2）具有性質(zhì)P，顯然，方程有根，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的值域[，+∞），∴，解之可得：或．故答案為：①②④；或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象有交點(diǎn)，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，，．再從條件①，條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角的大??；（2）求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】（1）選②或③，；（2）的面積為.【解析】【分析】（1）選①，利用三邊關(guān)系可判斷不存在；選②：利用余弦定理可求得角的值；選③：利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積．【小問1詳解】解：因?yàn)?，，則.選①：因?yàn)?，則，則不存在；選②：因?yàn)?，則，由余弦定理可得，，則；選③：，則，、，則，，故，從而.【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，即，解得，因此?17.已知是等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，，數(shù)列bn是公比大于1的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列an和b（2）設(shè)，求使取得最大值時(shí)的值.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)與公差，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列bn的首項(xiàng)與公比，即可得b（2）先求出的通項(xiàng)，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，則，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為，則，解得，所以；【小問2詳解】由（1）得，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值.18.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有解，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖象運(yùn)算求解.【小問1詳解】對(duì)于函數(shù)

，所以函數(shù)的最小正周期為，令，則，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】令，即，則，∵在存在零點(diǎn)，則方程在上有解，若時(shí)，則，可得，∴，得故實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.1.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，然后通過對(duì)分情況討論，研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）結(jié)合第一問的結(jié)果，判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，然后結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值的符合證明【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，由得：，由，得：，故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，令得：x=?1a<0或由得：，此時(shí)由得：或，此時(shí)故此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，由零點(diǎn)存在性定理可得：：函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)20.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，寫出的最大整數(shù)值，并說明理由.【答案】（1）（2）（3），理由見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值即可；（3）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以，使?所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，，所以.【小問3詳解】滿足條件的的最大整數(shù)值為.理由如下：不等式恒成立等價(jià)于恒成立.令，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立.當(dāng)時(shí)，令，，，與的情況如下：1所以，當(dāng)趨近正無窮大時(shí)，，且無限趨近于0，所以的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以的最小值小于且大?所以的最大整數(shù)值為.21.已知數(shù)列an記集合（1）對(duì)于數(shù)列an：，列出集合的所有元素；（2）若是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；（3）若把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為若，求的最大值.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題目給出的集合的定義求解即可；（2）假設(shè)存在，使得，則有，則與奇偶性相同，所以與奇偶性不同，進(jìn)行分析即可得解；（3）由，根據(jù)題意給出的集合新定義可對(duì)進(jìn)行計(jì)算分析，討論元素的奇偶情況，即可得出答案．【小問1詳解】由題意可得，，，所以.【小問2詳解】假設(shè)存在，使得，則有，由于與奇偶性相同，所以與奇偶性不同，又因?yàn)?，所以必有大于等于的奇?shù)因子，這與無以外的奇數(shù)因子矛盾.故不存在，使得成立.小問3詳解】由題意得，當(dāng)，時(shí)，，除，外，，其中與一奇一