人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第五章 一元一次方程知識(shí)歸納與題型突破（單元復(fù)習(xí) 8類題型清單）

第五章一元一次方程知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、基本概念1、等式的概念：含有等號(hào)，表示相等關(guān)系的式子2、方程的概念：含有未知數(shù)的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為1次；（3）等式兩邊都是整式．二、等式的性質(zhì)若，則、、、．特別注意：等式兩邊須同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的項(xiàng)，去分母應(yīng)加括號(hào)）2、去括號(hào)（帶著符號(hào)計(jì)算，不要漏乘）3、移項(xiàng)（移項(xiàng)要變號(hào)；未知數(shù)移到左邊，常數(shù)移到右邊；先后順序不重要）4、合并同類項(xiàng)5、系數(shù)化為1（系數(shù)不能為0，若未知數(shù)的系數(shù)含有字母則需要討論）四、列方程解應(yīng)用題的步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）五、一元一次方程的應(yīng)用一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=利潤（4）工程問題（①工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度×?xí)r間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．0303題型歸納題型一判斷是否是一元一次方程例題：（24-25七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·全國·期中）下列各式中，屬于一元一次方程的是（

）A． B．C． D．2．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）在方程①，②x=0，③，④中，一元一次方程共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．題型二根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)的值例題：（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）若是關(guān)于的一元一次方程，則．2．（23-24七年級(jí)上·河南漯河·期中）已知關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m的值為．3．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）若關(guān)于的方程是一元一次方程，則的值為．題型三已知一元一次方程的解求參數(shù)的值例題：（23-24七年級(jí)下·全國·期中）關(guān)于x的一元一次方程有解，則m的值為．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）已知是方程的解，則．2．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期中）整式的值隨著的取值的變化而變化，下表是當(dāng)取不同的值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：0123048則關(guān)于的方程的解是．3．（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）若關(guān)于x的方程的解為，則方程的解為．題型四列一元一次方程例題：（23-24六年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）設(shè)某數(shù)為x，如果某數(shù)的2倍比它的相反數(shù)大1，那么列方程是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）“的倍與的和等于的與的差”，用等式表示為2．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘只能步行，問共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x輛車，則可列方程．3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）算法統(tǒng)宗是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意為：今有若干人住店，若每間住人，則余下人無房可?。喝裘块g住人，則余下一間無人住，設(shè)店中共有間房，可列方程為．題型五等式的基本性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)上·天津·期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·開學(xué)考試）下列是根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（23-24七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)變形中正確的是（

）A．如果，則 B．如果，則C．如果，則 D．如果，則3．（22-23七年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）下列變形正確的是（

）A．變形得B．變形得C．變形得D．變形得4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么題型六解一元一次方程例題1：解方程：(1)；(2).例題2：解方程：(1)；(2)．例題3：解下列方程：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．解方程：(1)；(2)．2．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．3．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．題型七解一元一次方程中的錯(cuò)解復(fù)原問題例題：（2024上·河北邯鄲·七年級(jí)校考期末）關(guān)于方程，嘉嘉的解法如下．解：去分母，得，…①去括號(hào)，得，…②合并同類項(xiàng)，得，，…③兩邊同時(shí)除以，得3=0．…④所以方程無解．(1)嘉嘉從第_________步開始出錯(cuò)（填序號(hào)），理由是___________________；(2)請(qǐng)正確求解該方程．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小董同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并回答問題．解：，……第一步，……第二步，……第三步．……第四步(1)①以上求解過程中，第______步進(jìn)行的是移項(xiàng)，移項(xiàng)的依據(jù)是______；②第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是______；(2)求該一元一次方程的解；(3)除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議（一條即可）．2．（2023上·山東威?！ち昙?jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)下面是解方程的主要過程解：原方程化為______，去分母，得②，去括號(hào)，得______，移項(xiàng)，得______，合并同類項(xiàng)，得（合并同類項(xiàng)法則），把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得______．請(qǐng)從長方形框中選擇與方程變形對(duì)應(yīng)的依據(jù)，并將依據(jù)的序號(hào)填在相應(yīng)的橫線上；(2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依據(jù)）題型八用一元一次方程解決實(shí)際問題例題：（2024上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某車間生產(chǎn)一批螺釘和螺母，由一個(gè)人操作機(jī)器做需要完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做，然后增加人與他們一起做，完成這項(xiàng)工作．假設(shè)這些人的工作效率相同．(1)求具體應(yīng)先安排多少人工作？(2)在增加人一起工作后，若每人每天使用機(jī)器可以生產(chǎn)個(gè)螺釘或個(gè)螺母，個(gè)螺釘需要配個(gè)螺母成為一個(gè)完整的產(chǎn)品，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？(3)若該車間有臺(tái)型和臺(tái)型機(jī)器可以生產(chǎn)這種產(chǎn)品，每臺(tái)型機(jī)器比型機(jī)器一天多生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品．已知臺(tái)型機(jī)器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個(gè)，臺(tái)型機(jī)器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個(gè)，且每箱裝的產(chǎn)品數(shù)相同．某天有臺(tái)型機(jī)器和臺(tái)型機(jī)器同時(shí)開工，請(qǐng)問一天生產(chǎn)的產(chǎn)品能否恰好裝滿箱．若能，請(qǐng)計(jì)算出的值；若不能，請(qǐng)說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·甘肅酒泉·七年級(jí)統(tǒng)考期末）合肥廬陽區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七（6）班為迎接學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)計(jì)劃購買30支簽字筆，若干本筆記本（筆記本數(shù)量超過簽字筆數(shù)量），用來獎(jiǎng)勵(lì)運(yùn)動(dòng)會(huì)中表現(xiàn)出色的運(yùn)動(dòng)員和志愿者，甲、乙兩家文具店的標(biāo)價(jià)都是簽字筆8元/支、筆記本2元/本，甲店的優(yōu)惠方式是簽字筆打九折，筆記本打八折；乙店的優(yōu)惠方式是每買5支簽字筆送1本筆記本，簽字筆不打折，購買的筆記本打七五折．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示學(xué)校在甲、乙兩家店購物所付的費(fèi)用；(2)如果購買筆記本數(shù)量為60本，并且只在一家店購買的話，請(qǐng)通過計(jì)算說明，到哪家店購買更合算？(3)若都在同一家店購買簽字筆和筆記本，試問購買筆記本數(shù)量是多少時(shí)，兩家店的費(fèi)用一樣？2．（2024上·浙江嘉興·七年級(jí)校聯(lián)考期末）某超市第一次用10500元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)是乙商品件數(shù)的2倍，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）4060售價(jià)（元/件）5080(1)該超市第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品各多少件？(2)該超市第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品售完后，第二次又以第一次的進(jìn)價(jià)購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍．甲商品按原價(jià)銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤少600元，求第二次乙商品是按原價(jià)打幾折銷售？3．（2023上·湖南邵陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為落實(shí)水資源管理制度，大力促進(jìn)水資源節(jié)約，某市居民用水實(shí)行階梯水價(jià)，按年度用水量計(jì)算，將居民家庭全年用水量劃分為三檔，水價(jià)分檔遞增，實(shí)施細(xì)則如下表：某市居民用水階梯水價(jià)表（單位：元/立方米）供水類型階梯戶年用水量（立方米）水價(jià)自來水第一階梯第二階梯第三階梯若某戶居民去年用水量為立方米，則其應(yīng)繳納水費(fèi)為元．(1)小明家一年用水立方米，這一年應(yīng)繳納水費(fèi)元；(2)小亮家—年繳納水費(fèi)元，則小亮家這一年用水多少立方米？(3)小紅家去年和今年共用水立方米，共繳納水費(fèi)元，并且今年的用水量超過去年的用水量，則小紅家今年和去年各用水多少立方米？

第五章一元一次方程知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、基本概念1、等式的概念：含有等號(hào)，表示相等關(guān)系的式子2、方程的概念：含有未知數(shù)的等式3、一元一次方程的概念：（1）只含有1個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為1次；（3）等式兩邊都是整式．二、等式的性質(zhì)若，則、、、．特別注意：等式兩邊須同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的項(xiàng)，去分母應(yīng)加括號(hào)）2、去括號(hào)（帶著符號(hào)計(jì)算，不要漏乘）3、移項(xiàng)（移項(xiàng)要變號(hào)；未知數(shù)移到左邊，常數(shù)移到右邊；先后順序不重要）4、合并同類項(xiàng)5、系數(shù)化為1（系數(shù)不能為0，若未知數(shù)的系數(shù)含有字母則需要討論）四、列方程解應(yīng)用題的步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）五、一元一次方程的應(yīng)用一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=利潤（4）工程問題（①工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度×?xí)r間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題；

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）．0303題型歸納題型一判斷是否是一元一次方程例題：（24-25七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查的是一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行判定．【詳解】解：①是二元一次方程，不符合題意；②是一元二次方程，不符合題意；③是一元一次方程，符合題意；④是分式方程，不符合題意；⑤是代數(shù)式，不是方程，不符合題意．故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·全國·期中）下列各式中，屬于一元一次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的定義的應(yīng)用，注意：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1次的整式方程，叫一元一次方程．根據(jù)一元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、未知數(shù)次數(shù)為2，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是整式方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、整理方程得，是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）在方程①，②x=0，③，④中，一元一次方程共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的定義“只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式”即可求解．【詳解】解：①，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，不符合題意；②x=0，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，是一元一次方程，符合題意；③，含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，不是一元一次方程，不符合題意；④，不是整式，不是一元一次方程，不符合題意；綜上所述，一元一次方程的共有1個(gè)，故選：A．3．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的識(shí)別，判斷一個(gè)方程是否是一元一次方程，看它是否具備以下三個(gè)條件：①只含有一個(gè)未知數(shù)，②含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是1，③未知數(shù)不能在分母里，這三個(gè)條件缺一不可．據(jù)此逐個(gè)分析即可．【詳解】解：①的分母含有未知數(shù)，故不是一元一次方程；②不是等式，故不是一元一次方程；③中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，故不是一元一次方程；④是一元一次方程；；⑤是一元一次方程；⑥含2個(gè)未知數(shù)，故不是一元一次方程；故選A．題型二根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)的值例題：（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值是．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的概念，根據(jù)一元一次方程的定義得到，求出m即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：2．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）若是關(guān)于的一元一次方程，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題考查了一元一次方程的定義，方程的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，象這樣的方程叫做一元一次方程，熟練掌握定義是解答本題的關(guān)鍵根據(jù)未知數(shù)的次數(shù)等于1且系數(shù)不等于0列式求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次方程，∴且，解得．故答案為：．2．（23-24七年級(jí)上·河南漯河·期中）已知關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m的值為．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義、絕對(duì)值方程【分析】此題考查了一元一次方程的概念，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的概念，只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為1的整式方程．根據(jù)一元一次方程的概念，可得且，求解即可．【詳解】解：由題意可得且，由可得，由可得或綜上：故答案為：3．（23-24七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）若關(guān)于的方程是一元一次方程，則的值為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】一元一次方程的定義【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點(diǎn)．根據(jù)一元一次方程的一般形式即可判定有種情況，分別討論①當(dāng)且時(shí)，②當(dāng)且時(shí)，③當(dāng)時(shí)是否滿足該方程為一元一次方程即可．【詳解】解：關(guān)于的方程是一元一次方程，可考慮三種情況，①當(dāng)且時(shí)，即且，則，解得：，此時(shí)，故排除；②當(dāng)且時(shí)，即且，，符合條件；③當(dāng)即時(shí)，，符合條件；綜上：的值為或，故答案為：或．題型三已知一元一次方程的解求參數(shù)的值例題：（23-24七年級(jí)下·全國·期中）關(guān)于x的一元一次方程有解，則m的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】方程的解【分析】本題考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次項(xiàng)的系數(shù)不等于零．根據(jù)一元一次方程有解，可得一次項(xiàng)的系數(shù)不等于零．【詳解】解：由，可得，關(guān)于的一元一次方程有解，，解得：．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·浙江金華·期末）已知是方程的解，則．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】方程的解【分析】本題考查了方程解的定義，使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解．將代入原方程，可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．【詳解】解：將代入原方程得，解得：，∴a的值為2．故答案為：2．2．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期中）整式的值隨著的取值的變化而變化，下表是當(dāng)取不同的值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：0123048則關(guān)于的方程的解是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】方程的解【分析】此題考查了方程的解，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，∴關(guān)于的方程的解是．故答案為：．3．（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）若關(guān)于x的方程的解為，則方程的解為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】方程的解【分析】本題考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元一次方程的解．將代入方程即可求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∴，解得：，故答案為：．題型四列一元一次方程例題：（23-24六年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）設(shè)某數(shù)為x，如果某數(shù)的2倍比它的相反數(shù)大1，那么列方程是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】列方程【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)x的2倍為，相反數(shù)為，據(jù)此根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：由題意得，，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)上·福建福州·期末）“的倍與的和等于的與的差”，用等式表示為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】列方程【分析】本題考查了列一元一次方程；的倍與的和可以表示為，的與的差可以表示為，由兩個(gè)代數(shù)式相等，即可列出關(guān)于的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得，故答案為：．2．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測(cè)）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空：二人共車，九人步，問人車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，剛好每車坐滿后還剩余2輛車沒人坐；若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘只能步行，問共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x輛車，則可列方程．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】古代問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程．根據(jù)人數(shù)不變，即可得出關(guān)于的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意，得：．故答案為：．3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）算法統(tǒng)宗是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意為：今有若干人住店，若每間住人，則余下人無房可?。喝裘块g住人，則余下一間無人住，設(shè)店中共有間房，可列方程為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】古代問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理清題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由等量關(guān)系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可．【詳解】解：每間住人，則余下人無房可?。喝裘块g住人，則余下一間無人住，客人可表示為個(gè)，也可表示為個(gè)，，故答案為：．題型五等式的基本性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)上·天津·期中）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊同時(shí)除以同一個(gè)不為的數(shù)，兩邊仍然相等”可得，∴正確，不符合題意；、∵，當(dāng)時(shí)，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊同時(shí)除以同一個(gè)不為的數(shù)，兩邊仍然相等”，可得；當(dāng)x=0時(shí)，，可得x=0，∴x=0或，∴錯(cuò)誤，符合題意；、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊減去同一個(gè)數(shù)，兩邊仍然相等”，可得，∴正確，不符合題意；、∵，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：“等式兩邊乘以同一個(gè)數(shù)，兩邊仍然相等”，可得，∴正確，不符合題意；故選：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·開學(xué)考試）下列是根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解題．根據(jù)等式的基本性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、若，則，故A錯(cuò)誤；B、若，則，故B錯(cuò)誤；C、若，則，故C正確；D、，當(dāng)時(shí)，不成立，故D錯(cuò)誤；故選：C．2．（23-24七年級(jí)上·安徽·單元測(cè)試）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)變形中正確的是（

）A．如果，則 B．如果，則C．如果，則 D．如果，則【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟記等式性質(zhì)：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【詳解】解：、如果，則或，原選項(xiàng)變形錯(cuò)誤，不符合題意；、如果，當(dāng)時(shí)，則，原選項(xiàng)變形錯(cuò)誤，不符合題意；、如果，當(dāng)時(shí)，則，原選項(xiàng)變形錯(cuò)誤，不符合題意；、如果，則，原選項(xiàng)變形正確，符合題意；故選：．3．（22-23七年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）下列變形正確的是（

）A．變形得B．變形得C．變形得D．變形得【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：變形得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；變形得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；變形得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；變形得，選項(xiàng)D正確，符合題意；故選D．4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)天平兩端相等即可求得答案．【詳解】解：由圖形可得如果，那么，故選：A．題型六解一元一次方程例題1：解方程：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】方程移項(xiàng)合并，把系數(shù)化為，即可求解；方程移項(xiàng)合并，把系數(shù)化為，即可求解．【詳解】（1）移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為，得．（2）移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為，得．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．例題2：解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)依次去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得；（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)依次去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．【詳解】（1）解：，去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．（2）．去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)和解一元一次方程的基本步驟．例題3：解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：；（2）解：去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程．解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟，正確的進(jìn)行計(jì)算．鞏固訓(xùn)練1．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得；（2）解：合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握解一元一次方程的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．2．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（2）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（3）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（4）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（5）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．（6）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化1即可．【詳解】（1）解：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：；（2），去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：；（3）去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：；（4），去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：；（5），去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：，解得：；（6），去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟與方法是解本題的關(guān)鍵．3．解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：去分母，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：．（2）去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：．（3）去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：．（4）去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并，得：，系數(shù)化1，得：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程．解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟，正確的計(jì)算．題型七解一元一次方程中的錯(cuò)解復(fù)原問題例題：（2024上·河北邯鄲·七年級(jí)?？计谀╆P(guān)于方程，嘉嘉的解法如下．解：去分母，得，…①去括號(hào)，得，…②合并同類項(xiàng)，得，，…③兩邊同時(shí)除以，得3=0．…④所以方程無解．(1)嘉嘉從第_________步開始出錯(cuò)（填序號(hào)），理由是___________________；(2)請(qǐng)正確求解該方程．【答案】(1)④，兩邊同時(shí)除以時(shí)，未考慮的情況(2)見詳解．【分析】本題主要考查了解一元一次方程．（1）按照解一元一次方程的步驟分析判斷即可得出答案．（2）按照解一元一次方程的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：嘉嘉從第④步開始出錯(cuò)，理由是方程兩邊同時(shí)除以時(shí)，未考慮的情況．故答案為：④，兩邊同時(shí)除以時(shí)，未考慮的情況（2）去分母得：，去括號(hào)，得，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，化系數(shù)為1∶，鞏固訓(xùn)練1．（2024上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小董同學(xué)解一元一次方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并回答問題．解：，……第一步，……第二步，……第三步．……第四步(1)①以上求解過程中，第______步進(jìn)行的是移項(xiàng)，移項(xiàng)的依據(jù)是______；②第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是______；(2)求該一元一次方程的解；(3)除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就解一元一次方程時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議（一條即可）．【答案】(1)詳見解析(2)(3)詳見解析【分析】本題考查的是解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)移項(xiàng)的基本方法即可求解；②根據(jù)解方程的步驟即可判斷；（2）依次去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1，即可解方程；（3）解一元一次方程，去分母時(shí)，不要漏乘；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外的數(shù)要與括號(hào)里的每一項(xiàng)相乘，移項(xiàng)需要變號(hào)．【詳解】（1）解：①以上求解過程中，第三步進(jìn)行的是移項(xiàng)，移項(xiàng)的依據(jù)是等式性質(zhì)1；②第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是等式右邊括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；故答案為：①第三步，等式性質(zhì)1；②第二步，去括號(hào)后，等式右邊括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；（2）解：，，，，；（3）解一元一次方程，去分母時(shí)，不要漏乘；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外的數(shù)要與括號(hào)里的每一項(xiàng)相乘，移項(xiàng)需要變號(hào)等（答案不唯一）．2．（2023上·山東威?！ち昙?jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)下面是解方程的主要過程解：原方程化為______，去分母，得②，去括號(hào)，得______，移項(xiàng)，得______，合并同類項(xiàng)，得（合并同類項(xiàng)法則），把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得______．請(qǐng)從長方形框中選擇與方程變形對(duì)應(yīng)的依據(jù)，并將依據(jù)的序號(hào)填在相應(yīng)的橫線上；(2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依據(jù)）【答案】(1)③④①②(2)【分析】本題主要考查解一元一次方程的步驟：“去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1”．掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟結(jié)合各依據(jù)填空即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟解答即可．【詳解】（1）解：解：原方程化為③，去分母，得②，去括號(hào)，得④，移項(xiàng)，得①，合并同類項(xiàng)，得（合并同類項(xiàng)法則），把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得②．故答案為：③④①②；（2）解：原方程化為：，去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，把未知數(shù)x的系數(shù)化為1，得：．題型八用一元一次方程解決實(shí)際問題例題：（2024上·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某車間生產(chǎn)一批螺釘和螺母，由一個(gè)人操作機(jī)器做需要完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做，然后增加人與他們一起做，完成這項(xiàng)工作．假設(shè)這些人的工作效率相同．(1)求具體應(yīng)先安排多少人工作？(2)在增加人一起工作后，若每人每天使用機(jī)器可以生產(chǎn)個(gè)螺釘或個(gè)螺母，個(gè)螺釘需要配個(gè)螺母成為一個(gè)完整的產(chǎn)品，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？(3)若該車間有臺(tái)型和臺(tái)型機(jī)器可以生產(chǎn)這種產(chǎn)品，每臺(tái)型機(jī)器比型機(jī)器一天多生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品．已知臺(tái)型機(jī)器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個(gè)，臺(tái)型機(jī)器一天的產(chǎn)品裝滿箱后還剩個(gè)，且每箱裝的產(chǎn)品數(shù)相同．某天有臺(tái)型機(jī)器和臺(tái)型機(jī)器同時(shí)開工，請(qǐng)問一天生產(chǎn)的產(chǎn)品能否恰好裝滿箱．若能，請(qǐng)計(jì)算出的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)具體應(yīng)先安排人工作(2)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺釘，名工人生產(chǎn)螺母(3)一天不能恰好裝滿箱【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系．（1）設(shè)應(yīng)先安排人工作，根據(jù)題意得，即可求解；（2）設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺釘，名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意得，即可求解；（3）先求出每箱裝的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，再分別求出、型機(jī)器一天的產(chǎn)量，最后列出關(guān)于的一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)應(yīng)先安排人工作，根據(jù)題意得，，解得：，應(yīng)先安排人工作；（2）設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺釘，名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)題意得，，解得：，，應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母，（3）設(shè)每箱裝個(gè)產(chǎn)品，根據(jù)題意得，，解得：，型機(jī)器一天生產(chǎn)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)：，型機(jī)器一天生產(chǎn)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)：，根據(jù)題意列方程得：，解得：，，一天不能恰好裝滿箱．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·甘肅酒泉·七年級(jí)統(tǒng)考期末）合肥廬陽區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七（6）班為迎接學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)計(jì)劃購買30支簽字筆，若干本筆記本（筆記本數(shù)量超過簽字筆數(shù)量），用來獎(jiǎng)勵(lì)運(yùn)動(dòng)會(huì)中表現(xiàn)出色的運(yùn)動(dòng)員和志愿者，甲、乙兩家文具店的標(biāo)價(jià)都是簽字筆8元/支、筆記本2元/本，甲店的優(yōu)惠方式是簽字筆打九折，筆記本打八折；乙店的優(yōu)惠方式是每買5支簽字筆送1本筆記本，簽字筆不打折，購買的筆記本打七五折．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示學(xué)校在甲、乙兩