2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案37第六章不等式第一講不等關(guān)系與不等式含解析新人教版

第六章不等式第一講不等關(guān)系與不等式A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2024·河北承德第一中學(xué)月考)下列命題正確的是(C)A．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b，則a2>b2C．若a>b，c<d，則a－c>b－dD．若a>b，c>d，則ac>bd[解析]本題考查不等式的性質(zhì)．對(duì)于A，若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，取a＝1，b＝－1不成立；對(duì)于B，若a>b，則a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立；對(duì)于C，若a>b，c<d，則a－c>b－d，正確；對(duì)于D，若a>b，c>d，則ac>bd，即a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．故選C.2．已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式肯定成立的是(C)A．a(chǎn)2>b2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．ln2a<ln2b D．a(chǎn)c2>bc[解析]∵a，b，c∈R，且a>b，不妨，令a＝1，b＝－1，則12＝(－1)2，可解除A；eq\f(1,1)>eq\f(1,－1)＝－1，可解除B；1×02＝(－1)×02＝0，可解除D；對(duì)于C，當(dāng)a>b時(shí)，由指數(shù)函數(shù)y＝2x的單調(diào)遞增的性質(zhì)可知，2a>2b，又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ln2a>ln2b成立，故C正確．3．(2024·重慶南開中學(xué)月考)已知a，b均為實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法肯定成立的是(D)A．若a>b，c>d，則ab>cdB．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a<bC．若c<b<a，且ac<0，則ac2<bc2D．若|a|<b，則a＋b>0[解析]本題考查不等式的性質(zhì)與不等關(guān)系．A項(xiàng)，不妨令a＝－1，b＝－2，c＝4，d＝1，明顯滿意a>b，c>d，但不滿意ab>cd，故A不成立；B項(xiàng)，不妨令a＝1，b＝－1，明顯滿意eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，但不滿意a<b，故B不成立；C項(xiàng)，因?yàn)閍c<0，所以c2>0，又因?yàn)閎<a，所以bc2<ac2，故C不成立；D項(xiàng)，若|a|<b，則b－|a|>0，即b>±a，所以a＋b>0，故D肯定成立．故選D.[關(guān)鍵點(diǎn)撥]本題要選擇的是肯定成立的，因而對(duì)于不成立的選項(xiàng)，不必證明，只要找到反例即可．4．(2024·安徽六安省示范中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知實(shí)數(shù)a，b，c滿意a<b<c，且ab<0，那么下列各式中肯定成立的是(B)A．eq\f(a,b)>eq\f(a,c) B．a(chǎn)(c－b)<0C．a(chǎn)c2>bc2 D．a(chǎn)b(b－a)>0[解析]本題考查不等式的性質(zhì)．因?yàn)閍<b<c，且ab<0，所以a<0<b<c.所以c－b>0，a<0，可得a(c－b)<0，選項(xiàng)B正確；取a＝－1，b＝1，c＝2，則eq\f(a,b)<eq\f(a,c)，ac2<bc2，ab(b－a)<0，即選項(xiàng)A，C，D都不正確．故選B.5．(2024·陜西西安中學(xué)月考)若b<c，則(D)A．|b|<|c| B．2b>2C．lg(c－b)<0 D．b3－c3<0[解析]本題考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性．A項(xiàng)，當(dāng)b<c≤0時(shí)，|b|>|c|，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，因?yàn)閎<c且y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以2b<2c，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，特值法：當(dāng)b＝1<c＝11時(shí)，lg(c－b)＝1>0，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)閎<c，所以b3<c3，即b3－c3<0，D正確．故選D6．(2024·河南南陽(yáng)統(tǒng)考)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關(guān)系是(A)A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>Q[解析]不妨取a＝b＝eq\f(1,2)，則P－Q＝eq\f(1,4)(x＋y)2－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)y2＝－eq\f(1,4)(x－y)2≤0，∴P≤Q，故選A.7．(2024·遼寧丹東階段測(cè)試)已知a，b都是正數(shù)，則“l(fā)oga3<logb3”是“3a>3b>3”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]本題考查充分條件、必要條件的推斷，不等式的性質(zhì)，由loga3<logb3，得0<b<a<1或0<a<1<b或a>b>1，由3a>3b>3，得a>b>1，∴“l(fā)oga3<logb3”是“3a>3b>3[方法總結(jié)]充分條件、必要條件的判定(1)定義法：p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；(2)集合法：A?B，A是B的充分條件，B是A的必要條件；(3)命題法：原命題成立，即若p則q真，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．二、多選題8．(2024·山東臨沂質(zhì)檢)已知a，b，c滿意a>b>c，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中不肯定成立的是(BC)A．a(chǎn)b>ac B．a(chǎn)bc<0C．a(chǎn)2c<b2c D．a(chǎn)c(a－c[解析]∵a>b>c且ac<0，∴a>0，c<0，a－b>0，a－c>0，∴ab>ac，ac(a－c)<0，∴選項(xiàng)A，D正確．故選B、C.9．(2024·四川綿陽(yáng)診斷改編)若b<a<0，則下列結(jié)論正確的是(BD)A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．a(chǎn)b>a2C．|a|＋|b|>|a＋b| D．eq\r(3,a)>eq\r(3,b)[解析]對(duì)于A：eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，故A不正確．對(duì)于B：∵a<0，∴ab>a2.正確．對(duì)于C：取b＝－2，a＝－1，明顯b<a<0，但|a|＋|b|＝3＝|a＋b|，∴|a|＋|b|>|a＋b|錯(cuò)，故C不正確．對(duì)于D：y＝eq\r(3,x)為增函數(shù)，所以eq\r(3,a)>eq\r(3,b)正確．故選B、D.10．已知下列四個(gè)結(jié)論正確的是(CD)A．a(chǎn)>b?ac>bcB．a(chǎn)>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a(chǎn)>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D．a(chǎn)>b>1，c<0?ac<bc[解析]當(dāng)c＝0時(shí)，A不正確．當(dāng)a>0>b時(shí)，B不正確．由于c>d>0，所以eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0，C正確．易知函數(shù)y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由于a>b>1，c<0，故ac<bc，D正確．故選C、D.三、填空題11．已知下列四個(gè)條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有①②④．[解析]運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②④正確．又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，①正確，③錯(cuò)誤．12．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))．[解析]∵0<α<eq\f(π,2)，∴0<2α<π.又0≤β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0.∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π，即2α－eq\f(β,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π)).四、解答題13．某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說(shuō)：“假如領(lǐng)隊(duì)買一張全票，其余人可享受7.5折實(shí)惠．”乙車隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折實(shí)惠．”這兩個(gè)車隊(duì)的原票、車型都是一樣的，試依據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更實(shí)惠．[解析]設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x·(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f(4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20)nx＝eq\f(1,4)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5))).當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n>5時(shí)，y1<y2；當(dāng)n<5時(shí)，y1>y2.因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，甲車隊(duì)更實(shí)惠；少于5人時(shí)，乙車隊(duì)更實(shí)惠．14．已知－1<x＋y<4，且2<x－y<3，求z＝2x－3y的取值范圍．[解析]解法一：(待定系數(shù)法)：設(shè)2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))從而2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，又由已知得－2<－eq\f(1,2)(x＋y)<eq\f(1,2)，5<eq\f(5,2)(x－y)<eq\f(15,2)，∴3<－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)<8，即z∈(3，8)．解法二：(線性規(guī)劃法)：－1<x＋y<4且2<x－y<3表示的平面區(qū)域如圖，其中，A(3，1)，B(1，－2)．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取值3，當(dāng)z＝2x－3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取值8，故z∈(3，8)．B組實(shí)力提升1．(多選題)(2024·山東夏津一中月考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論不正確的是(AD)A．a(chǎn)2>b2 B．a(chǎn)b<b2C.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2 D．|a|＋|b|>|a＋b|2．(多選題)(2024·山東濰坊二模)若a<b<－1，c>0，則下列不等式中肯定成立的是(BD)A．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) B．a(chǎn)－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)C．ln(b－a)>0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(c)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(c)[解析]本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)比較大?。珊瘮?shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在(－∞，－1)上為增函數(shù)可知，當(dāng)a<b<－1時(shí)，a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)，故A錯(cuò)誤；由函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－∞，－1)上為增函數(shù)可知，當(dāng)a<b<－1時(shí)，a＋eq\f(1,a)<b＋eq\f(1,b)，即a－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)，故B正確；由a<b，得b－a>0，但不確定b－a與1的大小關(guān)系，故ln(b－a)與0的大小關(guān)系也不確定，故C錯(cuò)誤；由a<b<－1可知，eq\f(a,b)>1，0<eq\f(b,a)<1，而c>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(c)>1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(c)>0，故D正確．故選BD.3．(2024·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”診斷)若p>1，0<m<n<1，則下列不等式正確的是(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up12(p)>1 B．eq\f(p－m,p－n)<eq\f(m,n)C．m－p<n－p D．logmp>lognp[解析]對(duì)于選項(xiàng)A，由0<m<n<1可得0<eq\f(m,n)<1，又p>1，所以0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up12(p)<1，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由于p－m>0，p－n>0，所以eq\f(p－m,p－n)<eq\f(m,n)等價(jià)于n(p－m)<m(p－n)，可得n<m，不合題意，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于函數(shù)y＝x－p在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且0<m<n<1，所以m－p>n－p，故C不正確：對(duì)于選項(xiàng)D，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可得當(dāng)p>1，0<m<n<1時(shí)，logmp>lognp，故D正確．故選D.4．(2024·河南鄭州重點(diǎn)中學(xué)期中聯(lián)考)已知0<a<b<1，則在aa，ab，ba，bb中，最大的是(C)A．a(chǎn)a