2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明2.2.1.2分析法課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選修1-2

PAGE六分析法(20分鐘35分)1.當x∈(1,2]時,使不等式x2+mx+4>0恒成立的m的取值范圍是 ()A.(-∞,5) B.(-∞,-5]C.(3,+∞) D.(-4,+∞)【解析】選D.因為x∈(1,2]時,不等式x2+mx+4>0恒成立?x∈(1,2],m>-x-QUOTE恒成立?x∈(1,2],m>QUOTE.由-QUOTE≤-2QUOTE=-4,當且僅當x=QUOTE,即x=2時QUOTE=-4,所以m>-4.2.設a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,則有 ()A.ad=bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad≤bc【解析】選C.由|a-d|<|b-c|得(a-d)2<(b-c)2,即a2+d2-2ad<b2+c2-2bc,①又因為a+d=b+c,所以(a+d)2=(b+c)2,即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,②由①②得-4ad<-4bc,所以ad>bc.3.QUOTE-QUOTE<QUOTE成立的充要條件是 ()A.ab(b-a)>0 B.ab>0且a>bC.ab<0且a<b D.ab(b-a)<0【解析】選D.QUOTE-QUOTE<QUOTE?(QUOTE-QUOTE)3<(QUOTE)3,?a-b-3QUOTE+3QUOTE<a-b?QUOTE<QUOTE,?ab2<a2b?ab(b-a)<0.4.某題字跡有污損,大致內容是“已知|x|≤1,■,用分析法證明|x+y|≤|1+xy|”.估計污損部分的文字內容為 ()A.|x|≤1 B.|y|≤1C.|x+y|≤1 D.|xy|≤1【解題指南】本題可用分析法探求條件,先將不等式兩邊平方,然后再分析.【解析】選B.要證|x+y|≤|1+xy|,需證(x+y)2≤(1+xy)2,化簡得x2+y2≤1+x2y2,(x2-1)(1-y2)≤0,因為|x|≤1,又要使不等式成立,所以估計污損部分的文字內容為“|y|≤1”5.下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使QUOTE+QUOTE≥2成立的條件的序號是________.

【解析】要使QUOTE+QUOTE≥2只需QUOTE>0且QUOTE>0成馬上a,b不為0且同號即可,故①③④能使QUOTE+QUOTE≥2成立.答案:①③④6.已知△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對邊,求證:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【證明】要證(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1,即證QUOTE+QUOTE=QUOTE,只需證QUOTE+QUOTE=3,化簡,得QUOTE+QUOTE=1,即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),所以只需證c2+a2=b2+ac.因為△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,所以∠B=60°.所以cosB=QUOTE=QUOTE.所以a2+c2-b2=ac.所以原式成立.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.要證a2+b2-1-a2b2≤0只要證明 ()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-QUOTE≤0C.QUOTE-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0【解析】選D.a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0.2.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設a>b>c,且a+b+c=0,求證QUOTE<QUOTEa”索的因應是 ()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】選C.由題意知QUOTE<QUOTEa?b2-ac<3a2?(a+c)2-ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0?-2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.3.設x>0,y>0,A=QUOTE,B=QUOTE+QUOTE,則A,B的大小關系為 ()A.A>B B.A≥B C.A<B D.A≤B【解析】選C.A=QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE<QUOTE,QUOTE<QUOTE,所以QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE,所以A<B.4.下列不等式不成立的是 ()A.a2+b2+c2≥ab+bc+caB.QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0,b>0)C.QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE(a≥3)D.QUOTE+QUOTE>2QUOTE【解析】選D.對A選項,要證a2+b2+c2≥ab+bc+ca,只需證2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≥0,只需證(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,明顯成立,故A正確.對B選項,要證QUOTE+QUOTE>QUOTE(a>0,b>0),只需證(QUOTE+QUOTE)2>a+b,只需證2QUOTE>0,明顯成立,故B正確.對C選項,要證QUOTE-QUOTE<QUOTE-QUOTE,只需證QUOTE+QUOTE<QUOTE+QUOTE,只需證(QUOTE+QUOTE)2<(QUOTE+QUOTE)2,只需證2a-3+2QUOTE<2a-3+2QUOTE,只需證a(a-3)<(a-2)(a-1),只需證a2-3a<a2-3a+2,明顯0<2,故C正確.5.已知a,b,c,d為正實數(shù),且QUOTE<QUOTE,則 ()A.QUOTE<QUOTE<QUOTE B.QUOTE<QUOTE<QUOTEC.QUOTE<QUOTE<QUOTE D.以上均可能【解析】選A.先取特值檢驗.因為QUOTE<QUOTE,可取a=1,b=3,c=1,d=2,則QUOTE=QUOTE,滿意QUOTE<QUOTE<QUOTE.所以B,C,D不正確.要證QUOTE<QUOTE,因為a,b,c,d為正實數(shù),所以只需證a(b+d)<b(a+c),即證ad<bc.只需證QUOTE<QUOTE.而QUOTE<QUOTE成立,所以QUOTE<QUOTE.同理可證QUOTE<QUOTE.故A正確.二、填空題(每小題5分,共15分)6.將下面用分析法證明QUOTE≥ab的步驟補充完整:要證QUOTE≥ab,只需證a2+b2≥2ab,也就是證______,即證________,由于________明顯成立,因此原不等式成立.

【解析】用分析法證明QUOTE≥ab的步驟為:要證QUOTE≥ab成立,只需證a2+b2≥2ab,也就是證a2+b2-2ab≥0,即證(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0明顯成立,所以原不等式成立.答案:a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥07.如圖所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿意條件________時,有A1C⊥B1D1(注:填上你認為正確的一個條件即可,【解析】本題答案不唯一,要證A1C⊥B1D1,只需證B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1,因為該四棱柱為直四棱柱,所以B1D1⊥CC1,故只需證B1D1⊥A1C答案:對角線相互垂直8.設a>0,b>0,c>0,若a+b+c=1,則QUOTE+QUOTE+QUOTE的最小值為________.

【解析】依據(jù)條件可知,欲求QUOTE+QUOTE+QUOTE的最小值.只需求(a+b+c)QUOTE的最小值,因為(a+b+c)QUOTE=3+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥3+2+2+2=9(當且僅當a=b=c時取“=”).答案:9三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知m>0,n>0,且m+n=1,試用分析法證明不等式QUOTE·QUOTE≥QUOTE成立.【證明】要證QUOTE·QUOTE≥QUOTE,只需證mn+QUOTE≥QUOTE,只需證mn+QUOTE-2≥QUOTE,只需證4(mn)2-33mn+8≥0,即證mn≥8或mn≤QUOTE,而由1=m+n≥2QUO