新教材同步系列2024春高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算學習目標素養(yǎng)要求1．掌握向量的數(shù)乘運算，理解向量數(shù)乘的幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律數(shù)學抽象、數(shù)學運算2．理解兩向量共線的含義，會判斷或證明兩個向量共線邏輯推理3．了解向量線性運算性質(zhì)及其幾何意義數(shù)學抽象|自學導引|向量的數(shù)乘運算1．定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個________，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向________；當λ＜0時，λa的方向與a的方向________．特別地，當λ＝0或a＝0時，0a＝0或λ0＝0．向量相同相反2．運算律：設λ，μ為任意實數(shù)，則有：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．特別地，有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．3．線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量的線性運算的結果仍是向量．對于任意向量a，b以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【預習自測】我們知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否寫成3a呢？【提示】能．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．【預習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若向量b與a共線，則存在唯一的實數(shù)λ，使b＝λa． (

)(2)若b＝λa，則a與b共線． (

)(3)若λa＝0，則a＝0． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×【解析】(1)當b＝0，a＝0時，實數(shù)λ不唯一．(2)由共線向量定理可知其正確．(3)若λa＝0，則a＝0或λ＝0．定理中把“a≠0”去掉可以嗎？【提示】定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，則實數(shù)λ可以是任意實數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實數(shù)λ，使得b＝λa．|課堂互動|向量線性運算的基本方法(1)類比方法：向量的數(shù)乘運算可類似于代數(shù)多項式的運算．例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程方法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．2．設向量a，b不共線，向量λa＋b與a＋2b共線，則實數(shù)λ＝__________．用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法：(2)方程法：當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．【答案】D錯解：如圖，連接BE并延長，交CD于點G，連接AG．正解：如圖，取AB的中點P，連接EP，F(xiàn)P．在△ABC中，EP是中位線，|素養(yǎng)達成|1．(題型1)(多選)下列各式計算正確的有 (

)A．(－7)·6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15bC．a(chǎn)－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b【答案】ACD【解析】B錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b．A，C，D均正確．【答案】C3．(題型2)(2023年天水月考)設e1與e2是不共線的向量，若ke1＋4e2與e1＋ke2共線且方向相反，則k的值是_______．【答案】－24．(題型1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝__________．