滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十二章 相似形知識歸納與題型突破（20類題型清單）

第二十二章相似形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、相似圖形、相似多邊形、相似比1、相似圖形：我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形.2、相似多邊形：一般地，兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.3、相似比：相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比或相似系數(shù).二、成比例線段1、兩條線段的比：用同一個長度單位去度量兩條線段a、b，得到它們的長度，我們把這兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比，記作ab2、成比例線段：在四條線段a、b、c、d中，如果其中兩條線段a、b的比，等于另外兩條線段c3、比例中項：如果作為比例內(nèi)項的兩條直線是相等的，即線段a、b、c之間有a：b=b：c，那么線段b叫做線段a、b的比例中項.三、比例的性質(zhì)1、合比性質(zhì)：如果ab=cd，那么2、等比性質(zhì)：如果a1b1=四、黃金分割把一條線段分成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，分割點叫做這條線段的黃金分割點，比值5?五、平行線分線段成比例1、基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.2、基本事實的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.六、相似三角形1、相似三角形的判定：（1）平行于三角形一邊的直線與另兩邊相交，所截三角形與原三角形相似；（2）兩組對應(yīng)角相等，兩個三角形相似；（3）兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，兩個三角形相似；（4）三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似；（5）兩直角三角形，一組斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.2、相似三角形的性質(zhì)：（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比等于相似比；（2）對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)對應(yīng)周長的比等于相似比；（4）對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.0303題型歸納題型一相似多邊形例1.（23-24九年級上·上海黃浦·期末）下列命題中，真命題是（

）A．如果一個直角三角形的一個銳角等于另一個直角三角形的銳角，那么這兩個三角形相似B．如果一個等腰三角形的一個內(nèi)角等于另一個等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個三角形相似C．如果一個直角梯形的一個銳角等于另一個直角梯形的銳角，那么這兩個梯形相似D．如果一個等腰梯形的一個內(nèi)角等于另一個等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個梯形相似鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·山西陽泉·期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（22-23九年級上·上海·階段練習(xí)）下列命題中，真命題是（

）A．有一個角為30°的兩個等腰三角形相似B．鄰邊之比都等于2的兩個平行四邊形相似C．底角為40°的兩個等腰梯形相似D．有一個角為120°的兩個等腰三角形相似3．（21-22九年級上·四川眉山·期末）下面兩個圖形中一定相似的是（

）A．兩個長方形 B．兩個等腰三角形C．有一組對應(yīng)角是50°的兩個直角三角形 D．兩個菱形題型二兩條線段的比例2．（23-24九年級上·安徽六安·期中）如果線段a=4cm，b=5mm，那么ab鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·上海浦東新·期中）A、B兩地的實際距離米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實際距離的比是．2．（21-22九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在比例尺是1:20000的地圖上，若某條道路長約為3cm，則它的實際長度約為km3．（22-23九年級上·上海徐匯·期中）已知點C在線段AB上，滿足，如果AB=20cm，那么BC=cm．題型三判斷成比例線段例3.（22-23八年級上·全國·單元測試）下面四組線段中不能成比例線段的是（

）A．3、6、2、4 B．4、6、5、10C．1、2、3、6 D．25、20、4、5鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（

）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，C．3cm，5cm，9cm，15cm D．1cm，2．（22-23九年級上·吉林長春·期末）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（

）A． B．C．a(chǎn)=5,b=6,c=7,d=8 D．a(chǎn)=4,b=6,c=6,d=83．（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2dm、C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、題型四利用成比例線段求線段長度例4.（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）線段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，則a=鞏固訓(xùn)練1.（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知三條線段的長分別是1cm，，2cm，若再添加一條線段，使這四條線段是比例線段，則這條線段的長為2．（2024九年級下·上?！ｎ}練習(xí)）已知線段a=4，b=16，如果線段c是a、b的比例中項，那么c的值是．3．（23-24九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）線段a、b、c、d是成比例線段，a=8cm，b=6cm，c=12cm，則d的長為題型五利用比例的性質(zhì)求值例5.（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）已知xy=4，求x?yy鞏固訓(xùn)練1.（22-23八年級上·全國·單元測試）已知：．(1)求代數(shù)式式的值；(2)如果3a?b+c=48，求a，b，c的值．2．（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）（1）如果，求ba；（2）如果a+b?cc=a?b+c3．（23-24九年級上·河北石家莊·期中）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且2a(1)求a+2b3c(2)若△ABC的周長為81，求三邊a，b，c的長．題型六黃金分割例6．（23-24九年級上·河北保定·期末）如圖，已知點C，D都是線段AB的黃金分割點，如果CD=4，那么AB的長度是（）A．25?2 B．6?25 C．8+45鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）寬與長之比為的矩形叫黃金矩形．如圖：如果在一個黃金矩形里面畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結(jié)論．2．（23-24七年級上·福建龍巖·開學(xué)考試）黃金分割具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值，這一比值能夠引起人們的美感，被認為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．人體上半身長和下半身長的黃金比為，這時人的身長比例看上去更美觀．樂樂的媽媽上半身長68厘米，下半身長104厘米，她想通過穿高跟鞋，使身長的比例更美觀，于是她購買了一雙6厘米高的高跟鞋．依據(jù)黃金比，這雙高跟鞋的高度合適嗎？請說明理由．3．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，BE>AE．已知AB為2米，則線段的長為米．題型七由平行截線求相關(guān)線段的長或比值例7.（2024·山西朔州·三模）如圖，在中，點E為AB的中點，點F為AD上一點，EF與AC相交于點H．若FH=3，EH=6，AH=4，則CH的長為．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，的延長線交AC于F，△ABE的面積與△DBE的面積之比是1:3，且AF=2，則FC=．2．（2024·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點，連接AE，并延長AE交CD與點F，連接FB，則BF：FD=．

3．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點M是DF的中點，連接并延長交AB于點N題型八利用相似三角形定義求邊長或角度例8.（22-23九年級上·全國·單元測試）如圖，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（

）A．5 B．6 C．7 D．4鞏固訓(xùn)練1.（22-23九年級上·全國·單元測試）已知△DEF∽△ABC，且∠A=50°，∠B=40°，則∠F的度數(shù)是（

A．50° B．20° C．70° D．90°2．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）兩個相似三角形的面積比是4:9，其中一個三角形的周長為36，則另一個三角形的周長是（

）A．54 B．16或81 C．54或81 D．24或543．（22-23九年級上·云南紅河·期末）如圖，△ABC∽△A1B1C1，若A．1 B．2 C．4 D．8題型九證兩個三角形相似例9.（24-25九年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D為邊AB上一點，且CD=CA，過點D作DE⊥AB．交BC于點E．求證：△CDE鞏固訓(xùn)練1.（2022·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，△ABC≌△EBD，連接AE、CD，且點A、E、D在同一條直線上，求證：△ABE2．（23-24九年級上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD=CE，2AD=3AE，2BD=3CD，求證：△ABD

3．（22-23七年級上·全國·單元測試）如圖，在△AEC中，B為上一點，且滿足∠ABD=∠

(1)求證：△AEB(2)當(dāng)時，∠C=30°，CD=10，求AD的長．題型十利用相似三角形的判定解實際問題例10.（23-24九年級上·河南洛陽·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的DEF）．小南利用“矩”可測量大樹AB的高度．如圖，通過不斷調(diào)整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距離DM為1.6m，測得AM=21m，求樹高AB．鞏固訓(xùn)練1.（22-23九年級上·河南鶴壁·開學(xué)考試）如圖1，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小麗從燈桿的底部B處沿直線前進4m到達D點，在D處測得自己的影長DE=1m．小麗身高CD=1.2m．(1)求燈桿AB的長；(2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進4m到達G處（如圖2），求此時小麗的影長GH的長．2．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上，交AD于點．(1)當(dāng)點P恰好為AB中點時，______mm．(2)若矩形PNMQ的周長為220mm，求出PN2．（2023·江蘇鹽城·一模）如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽日月島上“生態(tài)守護者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他們帶著測量工具來到雕像前進行測量，測量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，他從點C沿BC后退，當(dāng)退行0.9米到E處時，恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像，此時測得蘇海眼睛到地面的距離DE為1.2米；然后，蘇海沿BC的延長線繼續(xù)后退到點G，用測傾器測得雕像的頂端A的仰角為45°，此時，測得EG=2.1米，測傾器的高度FG=1.2米．已知點B、C、E、G在同一水平直線上，且AB、DE、FG均垂直于BG，求雕像的高度AB．

題型十一利用相似三角形的判定解動點問題例11.（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在矩形ABCD中，，AB=12cm，點P從C點出發(fā)沿對角線AC以1cm/s的速度向點A作勻速運動，點Q從A點出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點B作勻速運動，若假設(shè)運動時間為t，則當(dāng)∠A．2s B．7825s C．2413s D．鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·安徽宿州·期中）如圖，在矩形ABCD中，分別是BC,CD上的點，CQ=4，若△ABP與△PCQ相似，則BP的長為（

）

A．3或6013 B．3或12 C．3、12或6013 D．3、122．（24-25九年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=12cm，點P從點A開始沿AB向點B以2cm/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/s的速度運動，如果點(1)當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為12c(2)是否存在某一時間t，使得△PBQ和△ABC相似？若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．3．（23-24九年級上·湖南衡陽·期末）如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P、Q(1)當(dāng)t=2時，求△PBQ(2)當(dāng)t為多少時，△PBQ的面積是？(3)當(dāng)t為多少時，△PBQ與△ABC題型十二利用相似三角形的判定證線段數(shù)量關(guān)系例12.（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接DE交AC于F，交AB于G，連接BF．求證：(1)AF+BF=EF；(2)1鞏固訓(xùn)練1.（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在△ABC中，點D在BC邊上，E是線段AD的中點，過A作AF∥BC，交線段CE的延長線于F，連接BF，且BF∥(1)如圖1，求證：BD=CD；(2)如圖2，設(shè)AB、CF交于點G，H是線段BG的中點，連接DH，若AB=AC，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖中四個面積等于△AFG面積32．（2024·安徽宣城·三模）如圖1，在△ABC中，點D為AC的中點，點P為射線CA上一動點（不與點C，A重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接DE，DF，∠DFE=3(1)當(dāng)PD=PA時，，則k的值為______；(2)當(dāng)點P在AD邊上時，求證：；(3)如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角，且點P在CA延長線上時，猜想DE，AE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，過點E作交邊AB于點F，交CB的延長線于點G，且EF=EC．(1)求證：CD=AE；(2)若DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求的長．題型十三利用相似三角形的判定求比值例13.（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，過△ABC頂點C作直線與AB與及中線AD交于F、E，過D作DM∥FC交AB于M．(1)若S△AEF:(2)求證：AE?鞏固訓(xùn)練1.（2024·貴州黔南·模擬預(yù)測）已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點B，C，E在同一條直線上時，AE與CD的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【問題探究】（2）如圖2，當(dāng)點A，C，E在同一條直線上時，，CD交于點F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求CF【拓展延伸】（3）如圖3，連接CE，AD，G是線段CE的中點，連接BG，求的值．2．（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=nAB，點D是BC上任意一點，連接AD，過B作BE⊥(1)如圖1，過C作于F．若n=1時，求證：BE?CF=EF；(2)如圖2，當(dāng)D是BC中點，n=2時．求AEED(3)如圖3，若AEED=13，3．（2024·貴州遵義·二模）圖①，在正方形ABCD中，點E是邊上一AB動點，將正方形沿DE折疊，點A落在正方形內(nèi)部的點F處，連接并延長，交BC于點G．(1)判斷AE與BG的數(shù)量關(guān)系為；(2)【應(yīng)用】如圖①，延長DF交BC于點．①證明：∠HFG=②若HB=3a，HF=5a，AE=8，求的長度；(3)【拓展】如圖②，將正方形改成矩形，其中，將矩形沿DE折疊，使點A落在點F處（矩形內(nèi)部），連接并延長，交BC于點G，延長DF交直線BC于點．若HB=3a，HF=5a，直接寫出的值．題型十四利用相似三角形的判定證等積式例14.（2021·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F(xiàn)是AB中點，連EF交AD于點G．(1)求證：AD(2)若AB=5，AE=4，求DG的值．鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是BA延長線上一點，連結(jié)DE，BD，CE，CE分別與AD，BD交于點F，G．(1)若BE=3CD，BC=12，求的長．(2)求證：GC2．（23-24九年級上·上海·期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且．

(1)求證:AC(2)若E是△ABC的重心，求AC3．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，點F在邊CD上，連接并延長，交對角線BD于點E、BC的延長線與點G．(1)求證：AE是EG、EF的比例中項；(2)若BC=6，DF=4，求EFEG題型十五利用相似三角形的性質(zhì)求線段長例15.（2024·安徽·一模）如圖，在Rt△ABC中，，若點D為直線AC左側(cè)一點，當(dāng)△ABC∽△CAD時，則BC+CD的最大值為（

A．32 B．52 C． D．鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，D,E分別在上，連結(jié)DE，將△ADE沿DE翻折，使點A的對應(yīng)點F落在BC的延長線上，若FD平分∠EFB，則BD=A．259 B．258 C．157 2．（2023·福建南平·二模）在等邊三角形ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若△ABC的周長為12，則△ADE的周長為（

A．3 B．4 C．6 D．93．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，D為BC上一點，．(1)求證：△ABD(2)若AB=6，BD=3，求CD的長．題型十六利用相似三角形的性質(zhì)求面積例16.（2024·四川廣元·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)步驟作圖：①分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N；②作直線MN，交AB于點D，交AC于點E．若S△ABCA．2 B．94 C．3 D．鞏固訓(xùn)練1.（2024·甘肅武威·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，如果點M為CD的中點，若已知S△DMN=3，那么

A．6 B．9 C．12 D．32．（23-24九年級上·福建漳州·期末）如圖，矩形OABC的對角線OB與反比例函數(shù)x>0相交于點D，且ODOB=35，則矩形OABCA．50 B．25 C．15 D．253．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖△ABC的兩條中線AD、交于點O，BM=13BC，連結(jié)MO并延長MO交AC于點N，若S△OMD=1，則A．6 B．8 C．9 D．12題型十七網(wǎng)格中的位似變換例17.（24-25七年級上·山東臨沂·開學(xué)考試）把三角形A向右平移5格，得到三角形B；將三角形A按1∶2擴大，得到三角形C；把三角形A繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90度得到三角形鞏固訓(xùn)練1.（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，△ABC在方格紙中(1)請在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，使A(2,3)，C(6,2)，并求出B點坐標(biāo)；(2)以原點為位O似中心，相似比為2，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A(3)計算△A'B2．（23-24八年級下·江蘇·期末）如下圖所示，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，三角形均為格點三角形（即頂點均在格點上）．(1)如圖1，△ABC繞某一點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到△A'B'C'，則點P，Q，(2)如圖2，以點O為位似中心，把△ABC按相似比2:1放大，得到△DEF（其中點A，B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，F(xiàn)①在圖2中畫出△DEF②△DEF的面積為______3．（2023·安徽淮北·二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，已知格點線段AB和格點O（格點為網(wǎng)格線的交點）．(1)以點O為位似中心，利用網(wǎng)格將線段AB放大2倍得到線段A1B1(2)以線段A1B1題型十八位似中心是坐標(biāo)原點的位似變化例18.（23-24九年級上·四川宜賓·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A1,?1、B4,?3、

(1)畫出△ABC關(guān)于x軸成軸對稱的△A(2)在第一象限內(nèi)，畫出△A1B1C1以點(3)寫出點、B2的坐標(biāo)．鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為．(1)在y軸右側(cè)，以O(shè)為位似中心，畫出△A'B'C(2)寫出△ABC面積=；△A'B'2．（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A?2,4，B4,4，(1)以原點O為位似中心，畫△A'B'C'，使它與△ABC的相似比為1:2，變換后點A、B的對應(yīng)點分別為點(2)若Pa,b為線段BC上的任一點，則變換后點P的對應(yīng)點P'的坐標(biāo)為3．（24-25九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A?2,1、B?3,2、(1)以原點O為位似中心，在第二象限內(nèi)畫出將△ABC放大為原來的2倍后的△A(2)畫出△ABC繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A題型十九位似中心不是坐標(biāo)原點的位似變化例19.（23-24九年級上·湖南郴州·期中）已知：△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為A0,3，B3,4，C2,2(1)畫出△ABC向下平移4個單位得到△A(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2BC2，使△A2BC鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·湖南郴州·期末）將△ABC(1)向上平移4個單位；(2)以A點為位似中心，相似比為2．2．（23-24九年級上·湖南衡陽·期末）將圖中的△ABC(1)關(guān)于y軸對稱圖形；(2)以B點為位似中心，將△ABC放大到23．（23-24八年級下·山東淄博·期末）如圖，已知點O是坐標(biāo)原點，小方格的邊長為1，A，B，C都在格點上，邊BC與y軸交于點M．(1)以點M為位似中心，在x軸的上方將△ABC放大到原圖的2倍，（即新圖與原圖的相似比為2(2)直接寫出四邊形AB'A題型二十利用位似圖形的性質(zhì)求相似比、周長或面積例20.（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：(1)在圖中畫出△ABC沿x軸翻折后的△A(2)以點M1,2為位似中心，在第一象限畫出與△A1B1C1位似的三角形△(3)點的坐標(biāo)___________；△ABC與△A2B2C2的周長比是___________，△ABC鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·山東濟南·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)為A?1,2，B?4,3，(1)以點B為位似中心，在點B的下方畫出△A1BC1，使△(2)求四邊形CC2．（23-24九年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點坐標(biāo)分別是A?2,2，B?2,0，(1)以原點O為位似中心，在第四象限畫一個△A1B1C1，使△A1B(2)若△ABC的周長是3+5cm，則△A13．（23-24九年級下·湖南郴州·開學(xué)考試）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC

(1)以O(shè)點為位似中心，位似比為2，將△ABC放大為△A1B(2)若△ABC，△A1B1C1的面積為S、S1，寫出S，

第二十二章相似形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、相似圖形、相似多邊形、相似比1、相似圖形：我們把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形.2、相似多邊形：一般地，兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.3、相似比：相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比或相似系數(shù).二、成比例線段1、兩條線段的比：用同一個長度單位去度量兩條線段a、b，得到它們的長度，我們把這兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比，記作ab2、成比例線段：在四條線段a、b、c、d中，如果其中兩條線段a、b的比，等于另外兩條線段c3、比例中項：如果作為比例內(nèi)項的兩條直線是相等的，即線段a、b、c之間有a：b=b：c，那么線段b叫做線段a、b的比例中項.三、比例的性質(zhì)1、合比性質(zhì)：如果ab=cd，那么2、等比性質(zhì)：如果a1b1=四、黃金分割把一條線段分成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，分割點叫做這條線段的黃金分割點，比值5?五、平行線分線段成比例1、基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.2、基本事實的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.六、相似三角形1、相似三角形的判定：（1）平行于三角形一邊的直線與另兩邊相交，所截三角形與原三角形相似；（2）兩組對應(yīng)角相等，兩個三角形相似；（3）兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等，兩個三角形相似；（4）三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似；（5）兩直角三角形，一組斜邊和一組直角邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似.2、相似三角形的性質(zhì)：（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比等于相似比；（2）對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)對應(yīng)周長的比等于相似比；（4）對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.0303題型歸納題型一相似多邊形例1.（23-24九年級上·上海黃浦·期末）下列命題中，真命題是（

）A．如果一個直角三角形的一個銳角等于另一個直角三角形的銳角，那么這兩個三角形相似B．如果一個等腰三角形的一個內(nèi)角等于另一個等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個三角形相似C．如果一個直角梯形的一個銳角等于另一個直角梯形的銳角，那么這兩個梯形相似D．如果一個等腰梯形的一個內(nèi)角等于另一個等腰梯形的內(nèi)角，那么這兩個梯形相似【答案】A【分析】本題考查相似行的判定，掌握各角相等，各邊成比例的圖形是相似形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．如果一個直角三角形的一個銳角等于另一個直角三角形的銳角，那么這兩個三角形相似，是真命題；B．如果一個等腰三角形的一個內(nèi)角等于另一個等腰三角形的內(nèi)角，那么這兩個三角形不一定相似，是因為沒有說明相等的角是頂角還是底角，是假命題；C．如果一個直角梯形的一個銳角等于另一個直角梯形的銳角，缺少各邊成比例，那么這兩個梯形不一定相似，是假命題；D．如果一個等腰梯形的一個內(nèi)角等于另一個等腰梯形的內(nèi)角，缺少各邊成比例，那么這兩個梯形不一定相似，是假命題；故選A．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·山西陽泉·期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)圖形相似的概念進行解答即可．【詳解】解：兩個矩形不一定相似，但兩個正方形、兩個等邊三角形及兩個圓一定相似，故選：A．【點睛】本題考查了兩個圖形的相似，掌握相似多邊形的概念（即邊數(shù)相同的兩個多邊形，如果對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例）是解題的關(guān)鍵．2．（22-23九年級上·上?！るA段練習(xí)）下列命題中，真命題是（

）A．有一個角為30°的兩個等腰三角形相似B．鄰邊之比都等于2的兩個平行四邊形相似C．底角為40°的兩個等腰梯形相似D．有一個角為120°的兩個等腰三角形相似【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形，平行四邊形，等腰梯形，相似圖形的判定逐項排查即可.【詳解】解：30°可以是頂角也可以是底角，不能確定兩個等腰三角形相似，故A是假命題，不符合題意；鄰邊的比都等于2的兩個平行四邊形，但是夾角沒有說明相等，所以不一定相似，故B是假命題，不符合題意；底角為40°的兩個等腰梯形，角度相等，但是對應(yīng)邊不一定對應(yīng)成比例，故C是假命題，不符合題意；120°只能是頂角，所以三個角對應(yīng)相等，根據(jù)三角形的相似判定定理，一定相似，故D是真命題，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形相似的判定：兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形相似．3．（21-22九年級上·四川眉山·期末）下面兩個圖形中一定相似的是（

）A．兩個長方形 B．兩個等腰三角形C．有一組對應(yīng)角是50°的兩個直角三角形 D．兩個菱形【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形定義，相似三角形的判定定理逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、因為長方形的大小，形狀不確定，所以兩個長方形不一定相似，故本選項不符合題意；B、因為等腰三角形的大小，形狀不確定，所以兩個等腰三角形不一定相似，故本選項不符合題意；C、因為直角相等，所以有一組對應(yīng)角是50°的兩個直角三角形中有兩對相等的角，所以有一組對應(yīng)角是50°的兩個直角三角形一定相似，故本選項符合題意；D、因為兩個菱形的大小，形狀不確定，所以兩個菱形不一定相似，故本選項不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了相似圖形定義，相似三角形的判定定理，熟練掌握形狀相同的圖形是相似圖形是解題的關(guān)鍵．題型二兩條線段的比例2．（23-24九年級上·安徽六安·期中）如果線段a=4cm，b=5mm，那么ab【答案】8【分析】單位統(tǒng)一后根據(jù)比的定義進行求解即可．【詳解】解：∵線段a=4cm=40mm，b=5∴ab答案為：8【點睛】此題考查了比，熟練掌握比的前項和后項是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·上海浦東新·期中）A、B兩地的實際距離米，畫在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實際距離的比是．【答案】1:5000【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實際距離，直接求出即可．【詳解】解：250米=25000厘米，∴比例尺=5:25000=1:5000；故答案為：1:5000．【點睛】本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一．2．（21-22九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在比例尺是1:20000的地圖上，若某條道路長約為3cm，則它的實際長度約為km【答案】0.6/3【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實際距離，依題意列比例式直接求解即可．【詳解】解：設(shè)它的實際長度約為xcm120000解得：x=60000，經(jīng)檢驗：x=60000是原方程的解且符合題意，∵60000cm=0.6km，∴它的實際長度約為0.6km．故答案為：0.6．【點睛】本題考查比例線段問題．解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)比例尺的定義構(gòu)建方程，注意單位的轉(zhuǎn)換．3．（22-23九年級上·上海徐匯·期中）已知點C在線段AB上，滿足，如果AB=20cm，那么BC=cm．【答案】30?105/【分析】設(shè)BC=x，則AC=AB?BC=20?x，根據(jù)可得，代入求解即可．【詳解】解：∵點C在線段AB上，∴設(shè)BC=xcm，則AC=AB?BC=(20?x)∵，∴，即(20?x)解得：x1=30?105∴BC=30?10故答案為：30?105【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，讀懂題意，得出是解本題的關(guān)鍵．題型三判斷成比例線段例3.（22-23八年級上·全國·單元測試）下面四組線段中不能成比例線段的是（

）A．3、6、2、4 B．4、6、5、10C．1、2、3、6 D．25、20、4、5【答案】B【分析】本題考查了成立比例的線段，在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積逐項分析即可．【詳解】解：A、2×6=3×4，能成比例，不符合題意；B、4×10≠5×6，不能成比例，符合題意；C、1×6=2×3，能成比例，不符合題意；D、25×4=20×5，能成比例，不符合題意；故選：B．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（

）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，C．3cm，5cm，9cm，15cm D．1cm，【答案】C【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)比例性質(zhì)對選項一一分析，排除錯誤答案即可．【詳解】解：A、4×7≠5×6，故選項不符合題意；B、3×8≠4×5，故選項不符合題意；C、，故選項符合題意；D、1×8≠4×3，故選項不符合題意．故選：C．2．（22-23九年級上·吉林長春·期末）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（

）A． B．C．a(chǎn)=5,b=6,c=7,d=8 D．a(chǎn)=4,b=6,c=6,d=8【答案】B【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，∴ad≠bc∴四條線段不成比例，故本選項不符合題意；B、，∴ad=bc∴四條線段成比例，故本選項符合題意；C、∵5×8≠6×7∴ad≠bc∴四條線段不成比例，故本選項不符合題意；D、∵4×4≠6×6∴ad≠bc∴四條線段不成比例，故本選項不符合題意；故選：B．3．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2dm、C．25cm、35cm、45cm、55cm D．1cm、【答案】D【分析】若線段a，b，c，d，滿足，稱線段a，b，c，d為成比例的線段，根據(jù)定義計算判斷可．本題考查了成比例線段，熟練掌握定義，準確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵42∴A不符合題意；∵203∴B不符合題意；∵2535∴C不符合題意；∵12∴D符合題意；故選D．題型四利用成比例線段求線段長度例4.（23-24九年級上·四川成都·階段練習(xí)）線段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，則a=【答案】1或4或9【分析】本題主要考查了比例線段．解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例線段的定義．由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可求得a的值．比例線段的定義是在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．【詳解】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴或ad=cb∴ad=bc或ab=cd或ac=bd，∵b=3cm，c=2cm，∴3×2=6a或3a=2×6或2a=3×6，解得：a=1cm或a=4cm或故答案為：1或4或9．鞏固訓(xùn)練1.（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）已知三條線段的長分別是1cm，，2cm，若再添加一條線段，使這四條線段是比例線段，則這條線段的長為【答案】22cm或或【分析】本題考查了成比例線段，掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．設(shè)添加的線段的長度為x，然后根據(jù)成比例線段分類討論即可求解．【詳解】解：設(shè)添加的線段的長度為xcm①當(dāng)x≤1時，x1=2②當(dāng)1<x≤2時，1x=經(jīng)檢驗，x=2③當(dāng)2<x≤2時，12=④當(dāng)x>2時，12=2經(jīng)檢驗，x=22綜上，所添線段的長度可為22cm或或2故答案為：22cm或或2．（2024九年級下·上?！ｎ}練習(xí)）已知線段a=4，b=16，如果線段c是a、b的比例中項，那么c的值是．【答案】8【分析】此題考查了比例中項，掌握比例中項的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出中項．【詳解】解：∵線段c是a、b的比例中項，，解得：c=±8，又∵線段是正數(shù)，∴c=8故答案為：8．3．（23-24九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）線段a、b、c、d是成比例線段，a=8cm，b=6cm，c=12cm，則d的長為【答案】9【分析】本題考查線段成比例的問題,解方程等知識點，根據(jù)線段成比例，可以列出方程a:b=c:d，代入數(shù)值求解即可，根據(jù)線段成比例的性質(zhì)，列方程求解即可．【詳解】∵線段成比例線段，∴a:b=c:d，∵a=8cm,∴8：6=12:d,解得d=9．故答案為：9．題型五利用比例的性質(zhì)求值例5.（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）已知xy=4，求x?yy【答案】x?yy=3【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)得到，代入求值即可．【詳解】.解：由已知得，∴x?y4y4y+y4y5y45．鞏固訓(xùn)練1.（22-23八年級上·全國·單元測試）已知：．(1)求代數(shù)式式的值；(2)如果3a?b+c=48，求a，b，c的值．【答案】(1)1(2)a=12,b=18,c=30【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的求值，解一元一次方程，熟練掌握比例的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)a=2k,b=3k,c=5k，代入化簡即可；（2）設(shè)a=2k,b=3k,c=5k，代入3a?b+c=48求出k的值，進而可求出a，b，c的值．【詳解】（1）∵，∴設(shè)a=2k,b=3k,c=5k，代入，得3a?b+c2a+3b?c（2）∵，∴設(shè)a=2k,b=3k,c=5k，代入3a?b+c=48，得6k?3k+5k=48，解得k=6，∴a=12,b=18,c=30．2．（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）（1）如果，求ba；（2）如果a+b?cc=a?b+c【答案】（1）32；（2）1或【分析】（1）利用比例的性質(zhì)求解；（2）利用比例的性質(zhì)求解，注意分a+b+c≠0與a+b+c=0兩種情況，分別討論．【詳解】解：（1）∵，∴2a?3b=?a?b∴3a=2bba=（2）a+b?cc=∴a+b?c=kc,a?b+c=kb,?a+b+c=kaa+b?c+a?b+c即a+b+c=ka+b+c當(dāng)a+b+c≠0時，k=a+b+c當(dāng)a+b+c=0時，a+b=?c，k=a+b?c綜上可知，k的值為1或?2．3．（23-24九年級上·河北石家莊·期中）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且2a(1)求a+2b3c(2)若△ABC的周長為81，求三邊a，b，c的長．【答案】(1)2(2)，b=27，c=36【分析】本題考查了分式化簡求值的運用，熟練掌握其方法，利用已知的比例關(guān)系，合理設(shè)出未知數(shù)，代入求值是解答本題的關(guān)鍵．（1）由已知條件，確定了三邊a，b，c的比例關(guān)系，因此設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k，代入a+2b3c（2）由（1）設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k，代入a+b+c=81，求出k的值，分別代入a=2k，b=3k，c=4k，求出三邊a，b，c的長．【詳解】（1）解：由已知條件知：2a∴設(shè)a=2k，則b=3k，c=4ka+2b（2）由（1）設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k∴a+b+c=2k+3k+4k=9k=81得∴，b=27，c=36．題型六黃金分割例6．（23-24九年級上·河北保定·期末）如圖，已知點C，D都是線段AB的黃金分割點，如果CD=4，那么AB的長度是（）A．25?2 B．6?25 C．8+45【答案】C【分析】本題主要考查了黃金分割，不妨設(shè)點C靠近A，點D靠近B，則由黃金分割比例得到AD=5?12AB，【詳解】解：∵點C，D都是線段AB的黃金分割點，∴不妨設(shè)點C靠近A，點D靠近B，∴AD=5?12∵CD=4，AD+BC?CD=AB，∴5?1解得AB=8+45故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）寬與長之比為的矩形叫黃金矩形．如圖：如果在一個黃金矩形里面畫一個正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結(jié)論．【答案】是；見解析【分析】本題主要考查了黃金分解的定義，根據(jù)黃金矩形的定義去計算寬與長之比即可得出答案．【詳解】解：是，證明如下：∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=AF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∴AF=CD，又∵ABAD∴，即點F是AD的黃金分割點，∴AF=5∴DF=AD?AF=3?∴，即DFDC∴矩形CDEF是黃金矩形．2．（23-24七年級上·福建龍巖·開學(xué)考試）黃金分割具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值，這一比值能夠引起人們的美感，被認為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．人體上半身長和下半身長的黃金比為，這時人的身長比例看上去更美觀．樂樂的媽媽上半身長68厘米，下半身長104厘米，她想通過穿高跟鞋，使身長的比例更美觀，于是她購買了一雙6厘米高的高跟鞋．依據(jù)黃金比，這雙高跟鞋的高度合適嗎？請說明理由．【答案】這雙高跟鞋合適，理由見解析．【分析】本題考查了黃金分割，以及比例的性質(zhì)，根據(jù)黃金分割的定義，進行計算即可解答．【詳解】解：這雙高跟鞋合適，理由如下：104+6=110（cm），68:110≈0.618=0.618:1，答：這雙高跟鞋合適，穿起來后上半身長與下半身長正好成黃金比．3．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，BE>AE．已知AB為2米，則線段的長為米．【答案】5【分析】本題主要考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割比例為5?1【詳解】解：∵E為邊AB的黃金分割點，BE>AE，∴BE=5故答案為：5?1題型七由平行截線求相關(guān)線段的長或比值例7.（2024·山西朔州·三模）如圖，在中，點E為AB的中點，點F為AD上一點，EF與AC相交于點H．若FH=3，EH=6，AH=4，則CH的長為．【答案】20【分析】延長FE交CB的延長線于點G．證明△AFE≌△BGEAAS，得出EF=EG，求出EG=9，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出AH【詳解】如圖，延長FE交CB的延長線于點G．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∴∠EAF=∠EBG，∠AFE=∵點E為邊AB的中點，．在△AFE和△BGE中，∠EAF=∴△AFE∴EF=EG∵FH=3，EH=6，∴EF=EH+FH=9∴EG=9∴GH=EG+EH=9+6=15∵AD∴AHCH=解得CH=20．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明△AFE鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，的延長線交AC于F，△ABE的面積與△DBE的面積之比是1:3，且AF=2，則FC=．【答案】12【分析】本題考查平行線分線段成比例定理、三角形面積等知識，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．作DH∥BF交AC于，證出FH=HC，根據(jù)三角形面積關(guān)系得AEDE=13，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF【詳解】解：作DH∥BF交AC于，∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC∵DH∴FH=HC∵△ABE的面積與△DBE的面積之比是1:3，AEDE=∵DHAFFH=AFFC=；故答案為：12．2．（2024·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點，連接AE，并延長AE交CD與點F，連接FB，則BF：FD=．

【答案】m：m+n/【分析】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．如圖：過點B作BH∥AF交CD于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到DHHF=BDAB=【詳解】解：過點B作BH∥AF交CD于H，∴△∴DHHF

∵AB=AC，E是BC邊上的中點，∴AE⊥∴是線段BC的垂直平分線，∴BF=CF，∵EF∥BH，CE=EB，即BE=∴△CEF∴CFCH∴CF=12HF∴CF：FD=m：m+n∴BF：FD=m：m+n故答案為：m：m+n3．（23-24八年級下·山東煙臺·期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點M是DF的中點，連接并延長交AB于點N【答案】MNCM【分析】本題考查了平行線分線段成比例，全等三角形的判定與性質(zhì)．先根據(jù)平行線性質(zhì)和中點性質(zhì)證明△NDM≌△HFMASA，再證明NH【詳解】解：如圖，設(shè)EF與CN的交點為H，∵點M是DF的中點，∴DM=FM，∵EF∥∴∠NDM=∵∠DMN=∴△NDM∴HM=MN，∵DE∥BC，ADBD∴AECE∵EF∥∴NHCH∴CH=3NH=3HM+MN∴MNCM題型八利用相似三角形定義求邊長或角度例8.（22-23九年級上·全國·單元測試）如圖，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于（

）A．5 B．6 C．7 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)△ABC∽△CBD，得出ACAB【詳解】解：∵△ABC∴ACAB即3AB解得：AB=6．故選：B．鞏固訓(xùn)練1.（22-23九年級上·全國·單元測試）已知△DEF∽△ABC，且∠A=50°，∠B=40°，則∠F的度數(shù)是（

A．50° B．20° C．70° D．90°【答案】D【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形相似的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵；【詳解】解：∵△DEF∴∠D=∠A，∠E=∠B，∠根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以得：∠∴∠故選：D2．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）兩個相似三角形的面積比是4:9，其中一個三角形的周長為36，則另一個三角形的周長是（

）A．54 B．16或81 C．54或81 D．24或54【答案】D【分析】本題考查的知識點是相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握相似三角形周長的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，得到周長比，根據(jù)題意列出比例式，解答即可．【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積比是4:9，∴兩個相似三角形的相似比是2:3，∴兩個相似三角形的周長比是2:3，令另外一個三角形周長為C，分兩種情況：2:3=36:C或者2:3=C:36，解得C=24或54．故選：D．3．（22-23九年級上·云南紅河·期末）如圖，△ABC∽△A1B1C1，若A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出相似比為2:1，即可得解．【詳解】解：∵△ABC∽△A1B∴相似比為2:1，∵AB=4，∴A1故選：B．題型九證兩個三角形相似例9.（24-25九年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D為邊AB上一點，且CD=CA，過點D作DE⊥AB．交BC于點E．求證：△CDE【答案】見解析【分析】此題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及垂直定義求出∠A+∠B=90°，∠ADC+∠CDE=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ADC，進而求出∠CDE=∠B，再根據(jù)“【詳解】證明：∵∠ACB=90°∴∠A+∵DE⊥∴∠ADE=∵CD=CA，∴∠A=∴∠CDE=又∵∠DCE=∴△CDE鞏固訓(xùn)練1.（2022·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，△ABC≌△EBD，連接AE、CD，且點A、E、D在同一條直線上，求證：△ABE【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定，根據(jù)“全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”，得出AB=EB，BC=BD，∠ABC=∠EBD，推出ABBC=EBBD，∠ABE=∠CBD，根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似【詳解】證明：∵△ABC∴AB=EB，BC=BD，∠ABC=∴ABBC=EBBD，∴△ABE2．（23-24九年級上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD=CE，2AD=3AE，2BD=3CD，求證：△ABD

【答案】證明見詳解；【分析】本題考查三角形相似的判定，根據(jù)CD=CE得到∠CDE=∠CED，從而得到∠ADB=∠AEC，結(jié)合2AD=3AE，2BD=3CD得到ADAE【詳解】證明：∵CD=CE，∴∠CDE=∴∠ADB=∵2AD=3AE，2BD=3CD，∴ADAE∴△ABD3．（22-23七年級上·全國·單元測試）如圖，在△AEC中，B為上一點，且滿足∠ABD=∠

(1)求證：△AEB(2)當(dāng)時，∠C=30°，CD=10，求AD的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）由三角形外角的性質(zhì)和角的和差可得∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠E+∠EAB，再結(jié)合可得∠DBC=∠EAB，然后結(jié)合∠C=∠（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得DH=12CD=5，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得∠DBC=∠C=∠ABD=30°，即BD是∠ABC的角平分線、∠ABD=∠C+∠DBC=60°【詳解】（1）解：∵∠ABC=∠ABD+∴∠DBC=∵∠C=∴△AEB（2）解：作DH⊥BC于

∵∠C=30°，CD=10，∴DH=1∵，∴∠CBD=∵∠∴∠DBC=∠C=∠ABD=30°，即BD是∠ABC∴∠ADB=∵∠∴∠BAD=90°∵BD是∠ABC的角平分線，DA⊥BA，DH⊥∴DA=DH=5．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的判定定理、30度所對的直角邊等于斜邊的一半等知識點，靈活運用相關(guān)判定、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．題型十利用相似三角形的判定解實際問題例10.（23-24九年級上·河南洛陽·期中）《周髀算經(jīng)》中記載了“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的DEF）．小南利用“矩”可測量大樹AB的高度．如圖，通過不斷調(diào)整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知“矩”的兩邊長分別為EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距離DM為1.6m，測得AM=21m，求樹高AB．【答案】樹高AB為15.6m【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，據(jù)題意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，即可得出△DEF∽△DCB，由相似三角形的性質(zhì)可得出EFDE=BCCD，即可得出【詳解】解：據(jù)題意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∴△DEF∴EF，DE=0.3m，AM=CD=21m，∴0.2，∴AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m)答：樹高AB為15.6m．鞏固訓(xùn)練1.（22-23九年級上·河南鶴壁·開學(xué)考試）如圖1，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小麗從燈桿的底部B處沿直線前進4m到達D點，在D處測得自己的影長DE=1m．小麗身高CD=1.2m．(1)求燈桿AB的長；(2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進4m到達G處（如圖2），求此時小麗的影長GH的長．【答案】(1)燈桿AB的高度為6m(2)此時小麗的影長GH的長是2m【分析】本題考查了中心投影及相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．（1）根據(jù)題意得出AB∥CD，由平行線得出△EAB（2）根據(jù)相似三角形△HGF【詳解】（1）解：如圖1，根據(jù)題意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)，∴△EABABCD=即，解得：AB=6（米)；答：燈桿AB的高度為6m；（2）如圖2，根據(jù)題意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)，∴△HGF∴，即，解得：GH=2（米)；答：此時小麗的影長GH的長是2m．2．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個頂點分別在邊AB、AC上，交AD于點．(1)當(dāng)點P恰好為AB中點時，______mm．(2)若矩形PNMQ的周長為220mm，求出PN【答案】(1)60(2)20【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比；（1）由△APQ∽△ABC，得到PQBC（2）根據(jù)PQ∥BC，得到△APQ∽△ABC，得到對應(yīng)高之比等于相似比，AHAD=PQ【詳解】（1）解：∵P為AB中點，∴APAB∵在矩形PQMN中，PQ∥∴∠APQ=∠ABC，∠AQP=∴△APQ∴PQBC∴PQ=1故答案為：60．（2）解：∵四邊形PNMQ為矩形，∴PQ∥∵AD⊥∴PQ⊥∴PN=DH∴AH=AD?DH=80?PN．∴四邊形PNMQ為矩形，∴PQ=MN，DH=PN，∵矩形PNMQ的周長為220∴PQ=110?PN，∵PQ∥∴△APQ∴AHAD∴80?PN80∴PN=20mm2．（2023·江蘇鹽城·一模）如圖，蘇海和蘇洋很想知道射陽日月島上“生態(tài)守護者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他們帶著測量工具來到雕像前進行測量，測量方案如下：如圖，首先，蘇海在C處放置一平面鏡，他從點C沿BC后退，當(dāng)退行0.9米到E處時，恰好在鏡子中看到雕像頂端A的像，此時測得蘇海眼睛到地面的距離DE為1.2米；然后，蘇海沿BC的延長線繼續(xù)后退到點G，用測傾器測得雕像的頂端A的仰角為45°，此時，測得EG=2.1米，測傾器的高度FG=1.2米．已知點B、C、E、G在同一水平直線上，且AB、DE、FG均垂直于BG，求雕像的高度AB．

【答案】16.8【分析】根據(jù)已知條件推出△ABC∽△DEC，求得AB與BC的關(guān)系，再根據(jù)題意易得四邊形HBED、四邊形DEGF、四邊形HBGF均為矩形，得到，根據(jù)∠AFH=45°，得AH=HF，構(gòu)造一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)BC=x米，如圖，

根據(jù)題意可得，∠ACB=∠DCE，∠B=∴△ABC∴ABDE∴AB=4∵點B、C、E、G在同一水平直線上，且AB、DE、FG均垂直于BG，DE=FG=1.2m，∴四邊形HBED、四邊形DEGF、四邊形HBGF均為矩形，∴，∵∠AFH=45°∴AH=HF，∴4解得x=12.6∴AB=答：雕像的高度為16.8米．【點睛】本題考查相似三角形的判定、性質(zhì)與實際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．題型十一利用相似三角形的判定解動點問題例11.（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在矩形ABCD中，，AB=12cm，點P從C點出發(fā)沿對角線AC以1cm/s的速度向點A作勻速運動，點Q從A點出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點B作勻速運動，若假設(shè)運動時間為t，則當(dāng)∠QPB=2A．2s B．7825s C．2413s D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，矩形及三角形的綜合，解題的關(guān)鍵是三角形的全等和相似的綜合運用．先根據(jù)勾股定理求出AC，過點P作PM⊥AB于點M，證明△QPM≌△BPM，推出QM=BM，分別表示AM和AP的長，根據(jù)△APM∽△ACB，進而APAC=AM【詳解】解：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∠ABC=90°在Rt△AC=A過點P作PM⊥AB于點∴PM∥∴∠CBP=∵∠QPB=2∴∠CBP=在△QPM與△BPM∠BPM=∴△QPM∴QM=BM，，∴AM=6+t，AP=13?t，∵∠BAC=∠BAC，∠PMA=∴△APM∴APAC即13?t13∴t=78故選：B．鞏固訓(xùn)練1.（23-24九年級上·安徽宿州·期中）如圖，在矩形ABCD中，分別是BC,CD上的點，CQ=4，若△ABP與△PCQ相似，則BP的長為（

）

A．3或6013 B．3或12 C．3、12或6013 D．3、12【答案】D【分析】設(shè)，則PC=15?x，分和△ABP∽△QCP【詳解】解：根據(jù)題意，AB=9,BC=15，設(shè)，則PC=15?x，分兩種情況討論：①若，則有ABBP=PC整理可得x2解得x1∴BP的長為3或12；②若△ABP則有ABBP=QC解得x=135∴BP的長為13513綜上所述，BP的長為3或12或13513故選：D．2．（24-25九年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=12cm，點P從點A開始沿AB向點B以2cm/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC向點C以4cm/s的速度運動，如果點P,Q分別從(1)當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為12c(2)是否存在某一時間t，使得△PBQ和△ABC相似？若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)1秒或3秒(2)1秒或127【分析】本題考查了列代數(shù)式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ，設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為12cm2，得到BP=8?2x（2）設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ和△ABC【詳解】（1）解：∵點P從點A開始沿AB向點B以2cm/s的速度運動，點Q從點B開始沿BC向點C以∴AP=2tcm，BQ=4t∴BP=AB?AP=8?2t設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為12c∵BP=8?2x，BQ=4x，∠B=90°，∴12∴12∴解得：x1=1，∴如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過1秒或3秒△PBQ的面積為12c（2）解：設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ和△ABC∵∠B=當(dāng)使時，△PBQ和△ABC相似，即8?2a8解得：a=12當(dāng)使時，△PBQ和△ABC相似，即8?2a12解得：a=1．∴如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過1秒或127秒△PBQ和△ABC3．（23-24九年級上·湖南衡陽·期末）如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A(1)當(dāng)t=2時，求△PBQ(2)當(dāng)t為多少時，△PBQ的面積是？(3)當(dāng)t為多少時，△PBQ與△ABC【答案】(1)8(2)2秒或4秒(3)當(dāng)t為3或1.2秒鐘，使△PBQ與△ABC【分析】本題主要考查一元二次方程的實際運用，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．（1）用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ，代入t=2求得BP、BQ，利用三角形的面積計算公式求得答案；（2）由（1）得到BP=6?t，BQ=2t，根據(jù)三角形的面積公式得出方程解答即可；（3）要使△PBQ與△ABC相似，根據(jù)兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況和第二種情況代入求出即可．【詳解】（1）解：∵點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2∴AP=t，BQ=2t，∴BP=AB?AP=6?t，當(dāng)t=2時，BQ=4，BP=4，△PBQ的面積12（2）解：由題意得12即12∴答：當(dāng)t為2或4秒，使△PBQ的面積為．（3）解：設(shè)經(jīng)過t秒鐘，使△PBQ與△ABC∵∠B=第一種情況：當(dāng)時，△PBQ與△ABC相似，即6?t6=解得：t=3，第二種情況：當(dāng)時，△PBQ與△ABC相似，即6?t12=解得：t=1.2．答：當(dāng)t為3或1.2秒鐘，使△PBQ與△ABC題型十二利用相似三角形的判定證線段數(shù)量關(guān)系例12.（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接DE交AC于F，交AB于G，連接BF．求證：(1)AF+BF=EF；(2)1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作平行線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．（1）在EF上截取FH=AF，則△AFH為等邊三角形，然后證明△EAH（2）過點G作GK∥BF交AC于點K，則有AH∥GK∥BF，然后根據(jù)△FKG∽△FAH，△AGK【詳解】（1）如圖，在EF上截取FH=AF．∵∠EAB=60°，∠BAD=90°，AE=AD，∴∠1=∠2=15°，∠3=∴△AFH∴∠EAH=∴△EAH∴EH=BF．∴AF+BF=FH+EH=EF．（2）如圖，過點G作GK∥BF交AC于點K．∵△EAH∴∠AFB=∴∠EFB=60°=∴AH∥∴△FKG∽△FAH，△AGK∴GKAH=FK∴GKAH∵AH=AF，GK=GF，∴GFAF∴1鞏固訓(xùn)練1.（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在△ABC中，點D在BC邊上，E是線段AD的中點，過A作AF∥BC，交線段CE的延長線于F，連接BF，且BF∥(1)如圖1，求證：BD=CD；(2)如圖2，設(shè)AB、CF交于點G，H是線段BG的中點，連接DH，若AB=AC，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請直接寫出圖中四個面積等于△AFG面積3【答案】(1)見解析(2)S【分析】（1）根據(jù)中點定義得出AE=DE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,即可證明△AEF≌△DECAAS,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出CD=AF,（2）通過證明△AFG∽△BCG,得出BG=2AG,CG=2FG,則AB=3AG,CF=3FG,推出S△ACF=3S△AFG,S△ABF=3S△AFG通過證明四邊形【詳解】（1）解：證明:∵E是線段AD的中點,∴AE=DE,∵AF∥∴∠AFE=∴△AEF∴CD=AF,∵AF∥BC，BF∥∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴AF=BD,∴BD=CD；（2）解:由(1)可得：BD=CD=AF,則BC=2AF,∵AF∥∴∠FAG=∴△AFGBGAG∴BG=2AG,CG=2FG,∴AB=BG+AG=3AG,CF=CG+FG=3FG,∴S△∵四邊形AFBD是平行四邊形，∴S△∵BD=CD,∴S△S△【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，相似三角形對應(yīng)邊成比例.2．（2024·安徽宣城·三模）如圖1，在△ABC中，點D為AC的中點，點P為射線CA上一動點（不與點C，A重合），分別過點A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接DE，DF，∠DFE=3(1)當(dāng)PD=PA時，，則k的值為______；(2)當(dāng)點P在AD邊上時，求證：；(3)如圖2，當(dāng)∠ABC為鈍角，且點P在CA延長線上時，猜想DE，AE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)3(2)見解析(3)，理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，30°角的直角三角形的性質(zhì)；（1）證明△APE∽△（2）延長ED交CF于點Q，則可得到△AED≌△CQDASA，即可得到，DQ=DE，然后利用30°的直角三角形的直角邊等于斜邊的一半解題即可；（3）延長ED和FC交于點Q，證明△AED≌△CQD，可以得到，DQ=DE，然后利用30°的直角三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）解：，D是AC中點，∴CP=3AP由題知AE⊥BP，CF⊥∴∠AEP=∵∠APE=∴△APE∽△，∴CF=3AE，即k=3；（2）證明：如圖1，延長ED交CF于點Q，∵AE⊥BE，CF⊥∴AE∥CF∴∠DAE=∵∠ADE=∠CDQ，AD=CD，∴△AED≌△，DQ=DE，，∴DF=DE=DQ，，，∵CQ+FQ=CF∴DE+AE=CF（3）解：，證明如下：如圖2，延長ED和FC交于點Q，∵AE⊥BE，CF⊥∴AE∴∠DAE=∵∠ADE=∠CDQ，AD=CD，∴△AED≌△，DQ=DE，，∴DF=DE=DQ，，，∵QC+CF=FQ∴AE+CF=DE3．（2024·貴州黔東南·二模）如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點，過點E作交邊AB于點F，交CB的延長線于點G，且EF=EC．(1)求證：CD=AE；(2)若DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求的長．【答案】(1)見解析(2)13cm【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明以及△AEF∽△（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）設(shè)CD=AB=xcm，結(jié)合矩形的周長解得x的值，易得AE=6cm，BC=AD=10cm【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠ABC=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∵，∴∠AEF+∴∠AEF=在△DCE和△AEF∠D=∴△DCE∴CD=AE；（2）解：設(shè)CD=AB=xcm由（1）可知，CD=AE=xcm∴AD=AE+DE=x+4∵矩形ABCD的周長為32cm，∴2AD+CD解得x=6cm∴AE=6cm，BC=AD=6+4=10∵，∴AF=DE=4cm∴BF=AB?AF=2cm∵∠AFE=∠