山東省泰安市新泰市紫光實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次（10月）月考測試數(shù)學(xué)試卷

新泰市紫光實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024—2025學(xué)年10月份第一次月考測試高一年級數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題(共40分)1．(5分)已知二次函數(shù)滿足，，且的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.2．(5分)已知a,b為正數(shù),若,有函數(shù),則的最小值為()A. B. C.9 D.3．(5分)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且對任意,滿足,,且,則()A.651 B.676 C.1226 D.12754．(5分)已知函數(shù)，若，則()A. B. C.0 D.15．(5分)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有，則()A.0 B.1 C. D.6．(5分)設(shè)函數(shù),,當(dāng)時(shí),曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn),則()A.-1 B. C.1 D.27．(5分)若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是()A.2 B. C.4 D.8．(5分)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,有下面三個(gè)命題,命題p：存在且,對任意的,均有恒成立,命題：在R上是嚴(yán)格減函數(shù),且恒成立；命題：在R上是嚴(yán)格增函數(shù),且存在使得,則下列說法正確的是()A.、都是p的充分條件 B.只有是p的充分條件C.只有是p的充分條件 D.、都不是p的充分條件二、多項(xiàng)選擇題(共18分)9．(6分)下列命題中,是全稱量詞命題且是真命題的是()A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0 B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.實(shí)數(shù)都可以寫成小數(shù)形式 D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)10．(6分)已知,,下列結(jié)論正確的是()A. B.的最小值是C.的最小值是8 D.的最小值是11．(6分)已知,則()A. B.C. D.三、填空題(共10分)12．(5分)某班有學(xué)生56人,同時(shí)參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人,同時(shí)參加了英語小組和語文小組的學(xué)生有22人,同時(shí)參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人.已知該班學(xué)生每人至少參加了1個(gè)小組,則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一個(gè)小組的人數(shù)最多______.13．(5分)已知實(shí)數(shù),,且滿足,則的最小值為_______________.四、雙空題(共5分)14．(5分)已知命題,,則p的否定是_________,命題p是_________（填入“真”或“假”）命題.五、解答題(共77分)15．(13分)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求m，n的值：(2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)求使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍.16．(15分)（1）設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:;（2）解關(guān)于x的不等式:.17．(15分)若實(shí)數(shù)x,y,m滿足,則稱x比y遠(yuǎn)離m.（1）若比1遠(yuǎn)離t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;（2）若,,試問:與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離2?并說明理由.18．(17分)某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場,其總面積為3000平方米,其中場地四周（陰影部分）為通道,通道寬度均為2米,中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場地（其中兩個(gè)小場地形狀相同）,塑膠運(yùn)動(dòng)場地占地面積為S平方米.(1)分別寫出用x表示y和用x表示S的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）;(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值,最大值為多少？19．(17分)已知,.（1）若不等式對于一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）求不等式的解集.

參考答案1．答案：A解析：根據(jù)題意，由得：圖象的對稱軸為直線，設(shè)二次函數(shù)為，因的最大值是8，所以，當(dāng)時(shí)，，即二次函數(shù)，由得：，解得：，則二次函數(shù)，故選：A.2．答案：B解析：由題意可得,又因?yàn)?當(dāng)時(shí),可得,即;當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),可得,即;綜上可得,即,因?yàn)閍,b為正數(shù),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故B正確.故選：B.3．答案：A解析：由,所以,即,所以.故選:A.4．答案：C解析：，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，即（舍去），.5．答案：C解析：由題意，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，所以，又，所以，所以，因此函數(shù)為周期函數(shù)，周期，所以.6．答案：D解析：解法一：令,即,可得,令,,原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí),曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn),注意到,均為偶函數(shù),可知該交點(diǎn)只能在y軸上,可得,即,解得,若,令,可得因?yàn)?則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn),所以符合題意;綜上所述：.解法二：令,原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn),因?yàn)?則為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點(diǎn)只能為0,即,解得,若,則,,又因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以符合題意;故選：D.7．答案：C解析：因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故選：C.8．答案：A解析：若成立,當(dāng),有.因?yàn)閱握{(diào)遞減,且恒成立,所以,所以,故存在(且),對任意的,均有恒成立,所以是p的充分條件；若成立時(shí),當(dāng)時(shí),,.因?yàn)閱握{(diào)遞增,所以恒成立,故存在(且),對任意的,均有恒成立,所以也是p的充分條件.故選：A.9．答案：AC解析：A選項(xiàng)中,“任何”是全稱量詞,它是全稱量詞命題,且為真命題;B選項(xiàng)中,“都”是全稱量詞,它是全稱量詞命題,由于0是自然數(shù),不是正整數(shù),故該命題是假命題;C選項(xiàng)中,“都”是全稱量詞,它是全稱量詞命題,且為真命題;D選項(xiàng)中,“存在”是存在量詞,它是存在量詞命題.故選：AC.10．答案：ACD解析：,由,解得,A正確;,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,而此時(shí)不存在a,b,B錯(cuò)誤;由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號成立,C正確.由,得,則,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),等號成立,D正確.故選:ACD.11．答案：ABD解析：因?yàn)?所以,故A正確;因?yàn)?所以,故B正確;因?yàn)?不妨令,,得,,此時(shí),故C錯(cuò)誤;因?yàn)?所以,故D正確.故選：ABD.12．答案：21解析：如圖,設(shè)該班學(xué)生中同時(shí)參加三個(gè)小組的人數(shù)為x,只參加其中一個(gè)小組的人數(shù)為y,則,即.因?yàn)?所以.所以只參加其中一個(gè)小組的人數(shù)最多為21.故答案為：21.13．答案：解析：,,,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號成立,所以的最小值為.故答案為：.14．答案：,;假解析：命題p的否定是：,當(dāng),且不為0時(shí),有,所以命題p是假命題.故答案為：,;假.15．答案：(1)，；(2)在上為增函數(shù).證明見解析；(3)解析：（1）由題意，在中，函數(shù)是奇函數(shù)，且，可得即；又，則，，；經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.（2）由題意及（1）得，在上為增函數(shù).證明如下：在中，設(shè)，則，，，，，即，在上為增函數(shù)；（3）由題意，（1）及（2）得，在中，為奇函數(shù)，，即，，解得，a的取值范圍是16．答案：（1）見解析（2）解析：（1）證明:因?yàn)閍,b,c為正數(shù),由基本不等式可得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,以上三式相加有,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.（2）,即,即.①當(dāng)時(shí),,,的解集為,②當(dāng)時(shí),,等價(jià)于,即;③當(dāng)時(shí),等價(jià)于,即或.綜上可得:時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)時(shí),原不等式的解集為;當(dāng)時(shí),原不等式的解集為.17．答案：（1）（2）比遠(yuǎn)離2,理由見解析解析：（1）由題意,,即,兩邊平方,得,解得.（2）因?yàn)?所以.,當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即,或時(shí)等號成立,所以.此時(shí)比遠(yuǎn)離2;當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng),即,或時(shí)等號成立,所以.此時(shí)比遠(yuǎn)離2.綜上,比遠(yuǎn)離2.18．答案：(1),(2)矩形場地,時(shí),運(yùn)動(dòng)場的面積最大,最大面積是解析：(1)由已知,,,,故,由,解得,.,根據(jù),得,,.(2),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,此時(shí).所以,矩形場地,時(shí),運(yùn)動(dòng)場的面積最大,最大面積是.19．答案：（1）（2）答案見解析解析：（1）因?yàn)?則不等式,可化為,即對于任意的實(shí)數(shù)x恒成立,當(dāng)時(shí),即時(shí),不等式為,解得,不符合題意;