1823正方形(精練)-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

18.2.3正方形一、單選題1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（）A．對角線互相垂直平分 B．內(nèi)角和為360°C．對角線相等 D．對角線平分內(nèi)角【答案】C【解析】【解答】A選項中對角線互相垂直平分的有菱形和正方形；

B選項中所有的四邊形的內(nèi)角和為360°；

C選項中對角線相等的有矩形和正方形；

D選項中對角線平分內(nèi)角的有菱形。

故答案為：C

【分析】正方形具有平行四邊形、菱形和矩形的一切性質(zhì)；菱形的性質(zhì)是對邊平行且相等，對角相等，對角線互相垂直平分且一條對角線平分一組對角；矩形的性質(zhì)是對邊平行且相等，對角相等，對角線相等且互相平分。2．已知一個正方形的邊長為a，將該正方形的邊長增加1，則得到的新正方形的面積為（）A．a(chǎn)2+2a+1 B．a(chǎn)2﹣2a+1 C．a(chǎn)2+1 D．a(chǎn)+1【答案】A【解析】【解答】解：新正方形的邊長為a+1，∴新正方形的面積為（a+1）2＝a2+2a+1，故答案為：A．【分析】依據(jù)新正方形的邊長為a+1，即可得到新正方形的面積．3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，BE與CF相交于點(diǎn)P，設(shè)AB=a.得到以下結(jié)論：①BE⊥CF；②AP=a；③CP=5A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【解答】解：如圖，；（1）EF//BC,DE//AC所以①成立；(2)如圖延長CF交BA延長線于點(diǎn)M，則：∠D=∠FAM∴CD=MA=AB=a∴AP為直角三角形MPB斜邊BM上的中線，是斜邊的一半，即AP=所以②成立；(3)∵CP⊥BE∴CP×BE=CE×BC=∵BE=∴CP=所以③成立故答案為：D

【分析】利用正方形的性質(zhì)可證得△CDF≌△BCE，進(jìn)而利用全等三角形的對應(yīng)角相等，可證得∠EPC=90°，故①成立；

延長PF交BA延長線于點(diǎn)M，易得△CFD≌△MFA，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得CD=MA=AB=a，

然后利用直角三角形斜邊上的中線等于是斜邊的一半證得AP=12BM=a，故②成立；

利用等面積法求得BE=52a，進(jìn)而求得CP=54．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)F在邊AB上，且AF:FB=1:2，CE⊥DF，垂足為M，且交AD于點(diǎn)E，AC與DF交于點(diǎn)N，延長CB至G，使BG=12BC，連接CM．有如下結(jié)論：①DE=AF；②AN=24AB；A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④【答案】C【解析】【解答】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADF=∠DCE，在ΔADF與ΔDCE中，∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∴ΔADF?ΔDCE(ASA)，∴DE=AF；故①符合題意；∵AB//CD，∴AF∵AF:FB=1:2，∴AF:AB=AF:CD=1:3，∴AN∴AN∵AC=2∴AN∴AN=24AB作GH⊥CE于H，設(shè)AF=DE=a，BF=2a，則AB=CD=BC=3a，EC=10由ΔCMD～ΔCDE，可得CM=9由ΔGHC～ΔCDE，可得CH=9∴CH=MH=1∵GH⊥CM，∴GM=GC，∴∠GMH=∠GCH，∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，∴∠FEG=∠DCE，∵∠ADF=∠DCE，∴∠ADF=∠GMF；故③符合題意，設(shè)ΔANF的面積為m，∵AF//CD，∴AFCD=∴ΔADN的面積為3m，ΔDCN的面積為9m，∴ΔADC的面積=ΔABC的面積=12m，∴SΔANF:故答案為：C．

【分析】先利用正方形的性質(zhì)和已知條件證出△ADF≌△DCE，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得DE=AF;在正方形ABCD中，AC=2AB，又證得△AFN∽△CDN，由相似的性質(zhì)可得AN=245．如圖所示的是用4個全等的小長方形與1個小正方形密鋪而成的正方形圖案.已知該圖案的面積為49，小正方形的面積為4，若分別用x，y(x>y)表示小長方形的長和寬，則下列關(guān)系式中錯誤的是()A．x+y=7 B．xy=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【答案】C【解析】【解答】∵大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，∴大正方形的邊長為7，小正方形的邊長為2.∵x+y表示大正方形的邊長，∴x+y=7，故A不符合題意；∵xy表示小正方形的邊長，∴xy=2，故B不符合題意；∵x2+y2=(xy)2+2xy，∴x2+y2表示小正方形與兩個小矩形的面積之和，∴x2+y2=(494)÷4×2+4=26.5≠25，故C符合題意；∵4xy+4表示大正方形的面積，∴4xy+4=49，故D不符合題意.故答案為：C.【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，x+y表示大正方形的邊長，xy表示小正方形的邊長，4xy+4表示大正方形的面積，進(jìn)而聯(lián)系所求得的兩個正方形的邊長，結(jié)合已知圖案的總面積，即可求解.6．下列結(jié)論錯誤的是（）A．對角線相等的菱形是正方形B．對角線互相垂直的矩形是正方形C．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形【答案】C【解析】【解答】選項A，對角線相等的菱形是正方形，選項A不符合題意；選項B，對角線互相垂直的矩形是正方形，選項B不符合題意；選項C，∵對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，∴對角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形，選項C符合題意；選項D，對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，選項D不符合題意.故答案為：C．【分析】根據(jù)正方形的判定方法解答即可.二、填空題7．將2016個邊長為1的正方形按照如圖所示方式擺放，O1，O2，O3，O4，O5，…是正方形對角線的交點(diǎn)，那么陰影部分面積之和等于【答案】503【解析】【解答】解：因?yàn)镺1，O2，O3，O4，O5，…是正方形對角線的交點(diǎn)，所以陰影部分的面積是正方形面積的14，即是14，2016個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為14×(2016?1)=20154=503348．平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)D，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：，使得平行四邊形ABCD為正方形．

【答案】AC=BD【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD平行四邊形，對角線互相平分，

又∵AC⊥BD，

∴根據(jù)對角線特征來判斷，需添加的一個條件是AC=BD。

故答案為：AC=BD【分析】根據(jù)正方形判定定理之一，即對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。9．如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面積為.【答案】3【解析】【解答】解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=2212=3,則正方形的面積為BC2=3

【分析】要求正方形的面積，只要求出正方形的邊長即可，正方形的邊長在Rt△BEC中由勾股定理求得。三、解答題10．如圖，ABCD是正方形，E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分別為F，G．求證：BF﹣DG＝FG．【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵∠BAF=∠ADG∠AFB=∠AGD∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF+FG，∴BF＝AG＝DG+FG，∴BF﹣DG＝FG．【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)可得AB＝AD，∠DAB＝90°，進(jìn)而由BF⊥AE，DG⊥AE得∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，又∠DAG+∠BAF＝90°，因而有∠ADG＝∠BAF，故可證得△BAF≌△ADG，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得BF＝AG，AF＝DG，而AG＝AF+FG，則有BF＝AG＝DG+FG，故BF﹣DG＝FG.四、綜合題11．如圖，正方形ABCD中，G為BC邊上一點(diǎn)，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，連接DE.（1）求證：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，四邊形ABED的面積為6，求EF的長．【答案】（1）證明：在正方形ABCD中

AD=AB∠BAD=90°

∴∠DAF+∠BAE=90°

又∵BE⊥AG，DF⊥AG

∴∠AFD=∠BEA=90°

∴∠DAF+∠ADF=90°

∴∠BAE=∠ADF

∴△ABE≌△DAF（AAS）（2）∵△ABE≌△DAF

∴BE=AF=1，DF=AE=AF+EF=1+EF

∵S四邊形ABED的面積=S△ABE+S△ADE=6

∴12AEBE+DF=6

即【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證得AD=AB，∠BAD=90°，則有∠DAF+∠BAE=90°；再根據(jù)已知條件BE⊥AG，DF⊥AG證得∠AFD=∠BEA=90°，由此可得∠DAF+∠ADF=90°，則∠BAE=∠ADF，故可證△ABE≌△DAF。

（2）由△ABE≌△DAF得BE=AF=1，DF=AE=1+EF；而S四邊形ABED的面積=S△ABE+S△ADE，故有12AEBE+DF12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，正方形CEFG的面積為S1，點(diǎn)E在DC邊上，點(diǎn)G在BC的延長線上，設(shè)以線段AD和DE為鄰邊的矩形的面積為S2，且S1=S2.（1）求線段CE的長.（2）若點(diǎn)日為BC邊的中點(diǎn)，連接HD，求證：HD=HG.【答案】（1）解：根據(jù)題意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.設(shè)CE=x（0<x<1），則DE=1x，因?yàn)镾1=S2，所以x2=1x，解得x=