專題286銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（提升練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（人教版）

專題28.6銳角三角函數(shù)（全章直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2011·湖北鄂州·中考真題）cos30°=（）A． B． C． D．2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．83．（2019·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．4．（2019·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點的坐標為，以原點為中心，將點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對角線相交于點．若，則（

）

A． B． C． D．6．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點B，D，C在同一直線的水平，在點C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，，則建筑物AB的高度為（

）A． B．C． D．7．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，、分別與相切于點、，連接并延長與交于點、，若，，則的值為（

）A． B． C． D．8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，分別以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接，，．若，，則的正切值為（

）

A． B． C． D．9．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，的對應點恰好落在直線上，連接，則的長度為（

）A． B． C．2 D．10．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)學九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則．

12．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為．13．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，平分．若，，則．14．（2021·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點A，B，O在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．15．（2021·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，斜邊上的高為1，，將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A的對應點C恰好在函數(shù)的圖象上，若在的圖象上另有一點M使得，則點M的坐標為．16．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為里．

17．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知曲線分別是函數(shù)的圖像，邊長為的正的頂點在軸正半軸上，頂點、在軸上（在的左側(cè)），現(xiàn)將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，當點在曲線上時，點恰好在曲線上，則的值為．18．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為直角三角形，，，．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，交于點，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：．（2）先化簡，再求值：，其中，．20．（8分）（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，點E是對角線上一點，連接，且．

（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求四邊形的面積．21．（10分）（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點，延長至點C，連接，．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）若，求的半徑．22．（10分）（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，小明上學途中要經(jīng)過，兩地，由于，兩地之間有一片草坪，所以需要走路線，．小明想知道，兩地間的距離，測得，，，請幫小明求出兩地間距離的長．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）23．（10分）（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東方向上，繼續(xù)向東航行到達C港，此時測得燈塔B在它北偏西方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．24．（12分）（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．（1）求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離AD最小，測得．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時AD的長．參考答案：1．C【分析】直接根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值求解即可.解：故選C.【點撥】考點：特殊角的銳角三角函數(shù)點評：本題屬于基礎(chǔ)應用題，只需學生熟練掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值，即可完成.2．C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．解：如圖，作，，交的延長線于點E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長可以是6，故選：C．【點撥】本題考查了余弦，銳角三角形．解題的關(guān)鍵在于確定的取值范圍．3．A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．解：∵為銳角，且，∴．故選A．【點撥】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡單題目．4．A【分析】作軸于，軸于，再證明即可求解.解：如圖，作軸于，軸于．在Rt△AOE中，點的坐標為，∴OE=,AE=1,∵tan∠AOE=，∴∠AOE=30°，又∵∠AOA’=30°，∴∠A’OF=90°－30°－30°=30°.，，，，，．故選．【點撥】本題考查的是正切的應用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．D【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出，推出則有等邊三角形，即，然后運用余切函數(shù)即可解答．解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，故D正確．故選：D．【點撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點，求出是解答本題的關(guān)鍵．6．D【分析】設(shè)AB=x，利用正切值表示出BC和BD的長，CD=BCBD，從而列出等式，解得x即可．解：設(shè)AB=x，由題意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，∵CD=BCBD，∴，∴，即AB=，故選：D．【點撥】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】連接OA，根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函數(shù)定義計算即可．解：連接OA∵、分別與相切于點A、，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=，∴sin∠ADB=．故選A．【點撥】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．8．C【分析】設(shè)，交于點，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點，為圓心，線段，長為半徑畫弧得到，，設(shè)，故，在中求出的值，從而得到，從而得到，即可求得答案．解：設(shè)，交于點，由題意得，，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)，故，在中，，即，解得，，，，，．

故選：C．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正切值的求法，本題中得到是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】先求出點A、B的坐標，可求得OA、OB，進而可求得∠OAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明和為等邊三角形得到即可求解.解：對于，當時，，當時，由得：，則A（1，0），B（0，），∴，，∴，則∠OAB=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，∴是等邊三角形，∴，又∴是等邊三角形，∴，故選：B．【點撥】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證得是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．10．A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進行變形解題即可．解：∵，，∴即，，，故選：A．【點撥】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關(guān)鍵．11．【分析】取的中點，連接，先根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后根據(jù)正弦的定義即可得．解：如圖，取的中點，連接，

，，又點是的中點，，，故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．12．/【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．解：∵，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術(shù)平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關(guān)鍵．13．【分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．14．【分析】根據(jù)圓周角定理將轉(zhuǎn)換到直角三角形中，利用勾股定理求出三角形各邊長，即可求得的值．解：如圖，設(shè)B點上方2個單位的格點為D，連接AD、BD，根據(jù)圓周角定理可得，每個小正方形的邊長都是1，點A、B、D均在網(wǎng)格交點上，，則，，故答案為：．【點撥】本題主要考查圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識點，將根據(jù)圓周角定理轉(zhuǎn)換到直角三角形中是解題的關(guān)鍵．15．【分析】利用的正切可以求出C點坐標，再利用C、M在上，設(shè)M的坐標，最后通過可以求出M點的坐標．解：如圖，過點作軸，過點作軸，由題意可知，則，C在上，設(shè)即解得（不符合題意，舍去）所以故答案為：．【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)性質(zhì)，正確理解題意，求出C點的坐標是解決問題的關(guān)鍵．16．9【分析】由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外圍直徑為（里）．故答案為：9．【點撥】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，得到，求出長即可．17．6【分析】畫出變換后的圖像即可（畫即可），當點在軸上，點、在軸上時，根據(jù)為等邊三角形且，可得，過點、分別作軸垂線構(gòu)造相似，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求解．解：當點在軸上，點、在軸上時，連接，為等邊三角形且，則，，如圖所示，過點分別作軸的垂線，交軸分別于點，，，，，，，，．

【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．18．【分析】作交于點，根據(jù)題意可得，由點為的中點，可得，在中，通過解直角三角形可得，從而得到點，代入函數(shù)解析式即可得到答案．解：如圖，作交于點，

，，，，，點為的中點，，，，，，，點在反比例函數(shù)圖象上，，故答案為：．【點撥】本題主要考查了解直角三角形，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．19．（1）0.7；（2），【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值可以解答此題；（2）根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后將x、y的值代入化簡后的式子即可解答此題．解：（1）原式；（2）=，當，時，原式．【點撥】此題考查分式的化簡求值、特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值，解答此題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法．20．（1）證明見分析；（2）【分析】（1）如圖所示，連接與交于O，先由平行四邊形對角線互相平分得到，再利用證明得到，進而證明，得到，由此即可證明平行四邊形是菱形；（2）先由菱形的性質(zhì)得到，再解，得到，利用勾股定理求出，則，，則．解：（1）證明：如圖所示，連接與交于O，∵四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四邊形是菱形；

（2）解：∵四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∵，∴，∴（負值舍去），∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）見分析；（3）的半徑為．【分析】（1）利用兩角對應相等兩個三角形相似，得出結(jié)論；（2）連接，由圓周角定理得出，證出，由切線的判定可得出結(jié)論；（3）由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段求出和的長，可求出的長，則可得出答案．解：（1）證明：∵，，∴；（2）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑