安徽省蚌埠市皖北私立聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

試卷類型：北師大版2023—2024學(xué)年（下）安徽高一5月份階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.將角的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與130°角的終邊重合，則與角終邊相同的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意設(shè)，解出即可；【詳解】設(shè)，解得，所以與角終邊相同的角的集合為，故選：B2.已知為第二象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)和切弦互化計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，所以，故選：B3.在如圖所示的單位圓中，當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí)，的“古典正弦”為弦BC的長(zhǎng)．根據(jù)以上信息，當(dāng)所對(duì)的的長(zhǎng)為時(shí)，的“古典正弦”為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合弧長(zhǎng)與半徑的比值等于圓心角求出，再由勾股定理求出弦長(zhǎng)即可；【詳解】由題意可得，由弧長(zhǎng)與半徑的比值等于圓心角，可得當(dāng)所對(duì)的的長(zhǎng)為時(shí)，，所以由勾股定理可得，即當(dāng)所對(duì)的的長(zhǎng)為時(shí)，的“古典正弦”為，故選：B.4.若函數(shù)的最小正周期為且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的解析式可能為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】舉反例可判斷AB錯(cuò)誤；由降冪公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性可得C正確；由二倍角的正弦公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可得D錯(cuò)誤；【詳解】A：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C：，最小正周期為，又，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，為遞增函數(shù)，故C正確；D：，因?yàn)?，所以由正弦函?shù)的單調(diào)性可得，在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤；故選：C.5.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由輔助角公式變形后得到，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式求出即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，所以，，所以，所以最小值為，故選：D6.已知點(diǎn)是重心，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，點(diǎn)是的重心，則在上，，所以，，所以.故選：.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若點(diǎn)P，Q為的圖象與直線的其中兩個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圖象找到周期及頂點(diǎn)，通過周期和頂點(diǎn)求得、的值，從而求得，再與聯(lián)立，求得交點(diǎn)，從而求得的最小值.【詳解】由圖象可知，，即，所以.過點(diǎn)，可得，解得，，又，所以，所以.與聯(lián)立，可得，解得或，.不妨取，，所以.故選：C8.我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求其面積的公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積”翻譯成公式，即，其中，，分別為中角，，的對(duì)邊，為的面積．現(xiàn)有面積為的滿足，則其內(nèi)切圓的半徑是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知根據(jù)正弦定理可得，設(shè)，，，，代入題目中所給公式可求得，，，即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜芍?，設(shè)，則，，，所以，解得，所以，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，得.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分、共18分．在每小題能出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)侍合題目要求，全部選對(duì)的得6分、部分選對(duì)的得部分分，有選?的得0分．9.已知向量，，，下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.【答案】CD【解析】【分析】利用特例說明A、B，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷C，根據(jù)向量加法的四邊形法則判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與同向時(shí)，當(dāng)與反向時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，，且與不共線時(shí)，滿足，，但是與不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)與同向時(shí)；當(dāng)與反向時(shí)；當(dāng)與不共線時(shí)，設(shè)，，以、為鄰邊作一個(gè)平行四邊形，則，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，即，即；綜上可得，故D正確.故選：CD10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)，的說法錯(cuò)誤的是（）A若，則 B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于，取即可判斷；對(duì)于，設(shè)，，，，，，利用復(fù)數(shù)的乘法和共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷；對(duì)于，取，，利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于，若，則，但，故錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，，，，，，，所以，，所以，故正確；對(duì)于，取，，，，所以，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，取，，，，，但，故錯(cuò)誤.故選：.11.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.若，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是C.若，則在區(qū)間上的值域?yàn)镈.若，且在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】由函數(shù)的對(duì)稱性舉反例可得A錯(cuò)誤；由兩角和的余弦公式、二倍角的正余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)可得，在利用正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合周期公式可得B正確；由整體法和正弦函數(shù)的值域可得C錯(cuò)誤；由整體法和正弦函數(shù)的零點(diǎn)可得D正確；詳解】A：若，則，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，又，，矛盾，故A錯(cuò)誤；B：由題意可得，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，又在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以，解得，故B正確；C：若，則，因?yàn)?，則，所以，所以，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)?，因?yàn)?，又在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)，則__________．【答案】【解析】【分析】由已知根據(jù)復(fù)數(shù)的相等可得，，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，所?故答案為：.13.如圖，一摩天輪的半徑為50m，最高點(diǎn)到地面的距離為110m，該摩天輪按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)一周需要．一游客在摩天輪的艙位轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置時(shí)進(jìn)艙，由此接著轉(zhuǎn)動(dòng)后，該游客距離地面的高度為__________m．【答案】85【解析】【分析】設(shè)在時(shí)，距離地面的高度為，其中，，根據(jù)題中條件求出、的值，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，然后將代入函數(shù)解析式，即可得解.【詳解】因?yàn)槟μ燧喌陌霃綖?0m，最高點(diǎn)到地面的距離為110m，設(shè)在時(shí)，距離地面的高度，，，則，可得，則，由摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每轉(zhuǎn)一圈，所以，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，所以游客進(jìn)艙轉(zhuǎn)動(dòng)后，該游客距離地面的高度為.故答案為：85.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”（如圖（1）），亦稱“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，已知與的面積之比為，設(shè)，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)出邊長(zhǎng)，建立平面直角坐標(biāo)系，同時(shí)在中利用余弦定理結(jié)合等面積法和勾股定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，后依據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，求解參數(shù)，最后求和即可.【詳解】設(shè)邊長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為，由題意得與的面積之比為，可得，化簡(jiǎn)得，可得，不妨設(shè)，如圖，作，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，在中，設(shè)，由余弦定理得，解得，故，，且設(shè)，作，故，故得，解得，由勾股定理得，故，易知，，，可得，，，且，，可得，得到，解得，顯然.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，然后求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到所要求的參數(shù)值，再求和即可．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量，．（1）若的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求．【答案】（1）且（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件計(jì)算即可求出；（2）由坐標(biāo)表示向量垂直的沖要條件結(jié)合模長(zhǎng)的計(jì)算即可；【小問1詳解】因?yàn)榈膴A角為銳角，所以且與不共線，則解得且，故實(shí)數(shù)的取值范圍是且.【小問2詳解】由題可得．由，得，即，解得，則，所以．16.已知復(fù)數(shù)．（1）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍；（2）若，且，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，求向量在上的投影向量的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式組，解出即可；（2）由復(fù)數(shù)的幾何意義求出，再根據(jù)投影向量的坐標(biāo)計(jì)算出結(jié)果即可；【小問1詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以解得，故的取值范圍為【小問2詳解】由題可知．所以，，則，，所以．所以在上的投影向量的坐標(biāo)為．17.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且．（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知根據(jù)正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，利用兩角和的正弦公式即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，則，又，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以，即周長(zhǎng)的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換后結(jié)合正弦函數(shù)的值域求出，再根據(jù)有零點(diǎn)，即有解求出即可；（2）由同角的的三角函數(shù)關(guān)系求出，再經(jīng)過拆角變換和兩角差余弦展開式求出即可；【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以．?dāng)時(shí)，有零點(diǎn)，即有解，所以的取值范圍為．【小問2詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，所以?9.已知函數(shù)．（1）在如圖所示的坐標(biāo)系中，畫出在區(qū)間上的圖象；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在時(shí)有2個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍和的值．【答案】（1）作圖見解析（2）4（3），【解析】【分析】（1）先列表，再作圖即可；（2）因式分解已知方程后結(jié)合（1）中的圖象作答即可；（3）由圖象平移的性質(zhì)得到，再由正弦函數(shù)的值域結(jié)合方程根的性質(zhì)得到，最后利用