第六章第六節(jié)復(fù)數(shù)

第六節(jié)復(fù)數(shù)【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.通過方程的解,認(rèn)識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運算,了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.【考情分析】考點考法:高考對復(fù)數(shù)的考查相對穩(wěn)定,為每年必考題型.復(fù)數(shù)的運算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義是?？键c,以選擇題的形式考查.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運算、直觀想象.【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.實部是a,虛部是b.(2)復(fù)數(shù)的分類(3)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di互為共軛復(fù)數(shù)?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b【微點撥】(1)虛數(shù)不能比較大小;(2)復(fù)數(shù)集包含實數(shù)集與虛數(shù)集.2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,b∈R).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O為坐標(biāo)原點).【微點撥】(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義:若復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量OZ1,OZ2不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以O(shè)Z1(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義:復(fù)數(shù)z1z2是OZ1OZ23.復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②減法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic+di=(【微點撥】復(fù)數(shù)的運算律:任何z1,z2,z3∈C①復(fù)數(shù)加法交換律:z1+z2=z2+z1,結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).②復(fù)數(shù)乘法交換律:z1·z2=z2·z1,結(jié)合律:(z1z2)z3=z1(z2z3),乘法對加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13241.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.若|z|=1,則z=±1或z=±iB.若z∈C,則|z2|=|z|2C.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z+2i|的最大值為3D.若a+bi=1+i(a,b∈C),則a=b=1【解析】選BC.對于A,若z=12+32i,滿足|z|=1,故A對于B,設(shè)z=a+bi,a,b∈R,則|z2|=|a2b2+2abi|=(=a4+b4+2a2b2=(a2+b2)2=a2+b2,|z|2=(a2+故B正確;對于C,設(shè)z=a+bi,a,b∈R,因為|z|=1,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點P在以原點O為圓心,1為半徑的圓上,|z+2i|的幾何意義為點P(a,b)到(0,2)的距離,其最大值為(0,2)與圓心(0,0)的距離加1,即2+1=3,故C正確;對于D,若a=1+2i,b=1,則a+bi=1+i(a,b∈C),此時a≠b≠1,故D錯誤.2.(虛部概念掌握不清致誤)復(fù)數(shù)z=13+4i的虛部是 (A.325 B.325i C.425【解析】選C.z=13+4i=3-4i(3+4i)(3-4i)=3-3.(必修第二冊P69例1·變條件)若a∈R,復(fù)數(shù)z=(a22a)+(a2a2)i是純虛數(shù),則()A.a≠2且a≠1 B.a=0C.a=2 D.a=0或a=2【解析】選B.復(fù)數(shù)z=(a22a)+(a2a2)i是純虛數(shù),則a2-2a4.(2022·全國乙卷)設(shè)(1+2i)a+b=2i,其中a,b為實數(shù),則 ()A.a=1,b=1 B.a=1,b=1C.a=1,b=1 D.a=1,b=1【解析】選A.因為a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=1.【巧記結(jié)論·速算】1.in(n∈N)的周期性:(1)i4n=1,i4n+1=i,i4(2)i4n+i4n+12.復(fù)數(shù)模的性質(zhì):(1)|z|2=|z|2=z·z;(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;(3)|z1z2|=|z1||z2|(【即時練】1.已知a為實數(shù),若復(fù)數(shù)z=(a21)+(a1)i為純虛數(shù),則a+i2A.1 B.0 C.1+i D.1i【解析】選B.若復(fù)數(shù)z=(a21)+(a1)i為純虛數(shù),所以a2-1=0a-a+i202412.(多選題)已知i為虛數(shù)單位,則以下四個說法錯誤的是 ()A.i+i2+i3+i4=0B.復(fù)數(shù)2i的虛部為iC.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),則|z|2=z2D.若z1,z2為復(fù)數(shù),則|z1·z2|=|z1||z2|【解析】選BC.對于A,i+i2+i3+i4=i1i+1=0,A正確;對于B,復(fù)數(shù)2i的虛部為1,B錯誤;對于C,若z=i,則z2=1,|z|2=1,C錯誤;對于D,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),于是z1z2=acbd+(ad+bc)i,|z1z2|=(=a2c2+b2d2+a2d2+【核心考點·分類突破】考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念[例1](1)(2023·保定模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足z(1i)=i,則z的虛部為 ()A.12 B.12 C.12i 【解析】選A.復(fù)數(shù)z滿足z(1i)=i,則z=i1-i=i(1+i所以z=1212i,z的虛部為(2)(2023·全國甲卷)若復(fù)數(shù)(a+i)(1ai)=2,a∈R,則a= ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.因為(a+i)(1ai)=aa2i+i+a=2a+(1a2)i=2,所以2a=21-a(3)i是虛數(shù)單位,若(1+mi)(3i)為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為 ()A.3 B.4 C.3 D.4【解析】選C.依題意,(1+mi)(3i)=(3+m)+(3m1)i,而m為實數(shù),因此3+m=03m-1≠0,解得m=【解題技法】解決復(fù)數(shù)概念問題的常用方法(1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部,只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),則該復(fù)數(shù)的實部為a,虛部為b.(2)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=z;③z∈R?z2≥0.(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+z=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z=abi,則z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,則z【對點訓(xùn)練】1.(2023·菏澤模擬)設(shè)z=i(2i),則z= ()A.1+2i B.1+2iC.12i D.12i【解析】選C.因為z=i(2i)=1+2i,所以z=12i.2.(2022·全國乙卷)已知z=12i,且z+az+b=0,其中a,b為實數(shù),則 ()A.a=1,b=2 B.a=1,b=2C.a=1,b=2 D.a=1,b=2【解析】選A.z=1+2i,z+az+b=12i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a2)i,由z+az+b=0,得1+a+b=0考點二復(fù)數(shù)的四則運算[例2](1)(2023·石家莊模擬)(1+i3)(2i)= ()A.3i B.3+iC.13i D.1+3i【解析】選C.(1+i3)(2i)=(1i)(2i)=2i2i1=13i.(2)(2023·全國乙卷)設(shè)z=2+i1+i2+i5,A.12i B.1+2i C.2i D.2+i【解析】選B.由題意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1-1+i=(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,則zz=A.i B.i C.0 D.1【解析】選A.因為z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i)(4)(2023·全國乙卷)|2+i2+2i3|= ()A.1 B.2 C.5 D.5【解析】選C.由題意可得2+i2+2i3=212i=12i,則|2+i2+2i3|=|12i|=12+(-(5)(2022·北京高考)若復(fù)數(shù)z滿足i·z=34i,則|z|= ()A.1 B.5 C.7 D.25【解析】選B.由已知,得z=3-4ii=43i,所以|【解題技法】復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運算(注意:i2=1),可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),使分母實數(shù)化.【對點訓(xùn)練】1.(2022·全國甲卷)若z=1+3i,則zzz-1A.1+3i B.13iC.13+33i D.1【解析】選C.因為z=1+3i,所以z·z=|z|2=((-1)2則zzz-1=-1+32.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1z)=1,則z+z= ()A.2 B.1 C.1 D.2【解析】選D.由題設(shè)有1z=1i=ii2=i,故z=1+i,故z+z3.(一題多法)(2023·忻州模擬)若復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+3i),則|z|= ()A.25 B.42 C.20 D.32【解析】選A.方法一:由題意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=2+4i,則|z|=4+16=25.方法二:|z|=|1+i||1+3i|=2×10=25.4.已知a,b∈R,a+i與3+bi互為共軛復(fù)數(shù),則|abi|=()A.2 B.3 C.10 D.4【解析】選C.因為a+i與3+bi互為共軛復(fù)數(shù),所以a=3,b=1,所以|abi|=|3+i|=10.【加練備選】1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(12i)= ()A.2+4i B.24iC.6+2i D.62i【解析】選D.(2+2i)(12i)=2+44i+2i=62i.2.(2022·全國甲卷)若z=1+i.則|iz+3z|=()A.45 B.42 C.25 D.22【解析】選D.因為z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-i所以iz+3z=4+4考點三復(fù)數(shù)的幾何意義[例3](1)復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i(2+i)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.復(fù)數(shù)z=i(2+i)=2i+i2=1+2i,復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z=12i,z對應(yīng)的點為(1,2),在第三象限.(2)(2023·唐山模擬)已知復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=a+i1-i對應(yīng)的點(x,y)滿足x+y=0,則實數(shù)aA.1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.由z=a+i1-i=(a+i)(1+i)(1-i)(1+i)則a-12+a+12(3)(2023·景德鎮(zhèn)模擬)已知i為虛數(shù)單位,且|z2i|=1,則|z|的最大值是__________.

【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由|z2i|=1的幾何意義知:z對應(yīng)的點(a,b)的軌跡是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓,即a2+(b2)2=1,因為|z|的幾何意義為點(a,b)到坐標(biāo)原點(0,0)的距離,所以|z|max=(0-答案:3【解題技法】復(fù)數(shù)幾何意義的解題策略(1)已知復(fù)數(shù)對應(yīng)點的位置求參數(shù)范圍,可依據(jù)點所在位置建立不等式求解.(2)研究復(fù)數(shù)模的問題,可利用數(shù)形結(jié)合法,考慮模的幾何意義求解:①|(zhì)zz0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點之間的距離;②||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.【對點訓(xùn)練】1.(2023·北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,3),則z的共軛復(fù)數(shù)z= ()A.1+3i B.13iC.1+3i D.13i【解析】選D.因為在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,3),所以z=1+3i,則z的共軛復(fù)數(shù)z=13i.2.若i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1,則|z(1+i)|的最大值為 ()A.21 B.2C.2+1 D.22【解析】選C.設(shè)z=x+yi,x,y∈R,則x2+y2≤1,表示以(0,0)為圓心,1為半徑的圓上和圓內(nèi)的點,|z(1+i)|=|x1+(y1)i|=(x-1)2+(y-1)2,表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓上和圓內(nèi)的點到點(1,1)3.已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=m2m(m1)i(m∈R).(1)若z為純虛數(shù),求z;(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)若z為純虛數(shù),則m2-m=0-(m-1)≠0,解得(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則m2-m>0-(m-1)<0考點四復(fù)數(shù)與方程[例4](1)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有實根b,且z=a+bi,則復(fù)數(shù)z等于()A.22i B.2+2iC.2+2i