陜西省榆林市第十二中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

陜西省榆林市第十二中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.2．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.3．若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.4．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.25．設正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（）A.3 B.C. D.6．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150個完全相同的面包分給5個人，使每個人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之和的是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（）A.30 B.40C.50 D.607．曲線在點處的切線過點，則實數(shù)（）A. B.0C.1 D.28．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉化，相對統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，設圓O：，則下列說法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關于原點對稱是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④9．數(shù)列中，滿足，，設，則（）A. B.C. D.10．經(jīng)過點且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A. B.C. D.11．設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.512．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為___________.14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項和，滿足，則當取得最大值時，______15．一個質地均勻的正四面體，其四個面涂有不同的顏色，拋擲這個正四面體一次，觀察它與地面接觸的顏色得到樣本空間{紅，黃，藍，綠}，設事件{紅，黃}，事件{紅，藍}，事件{黃，綠}，則下列判斷：①E與F是互斥事件；②E與F是獨立事件；③F與G是對立事件；④F與G是獨立事件．其中正確判斷的序號是______（請寫出所有正確判斷的序號）16．過拋物線焦點的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為4，則線段AB的長度為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設，分別是橢圓：的左、右焦點，的離心率為，點是上一點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓E于A，B兩點，且，求直線的方程.18．（12分）（1）已知：方程表示雙曲線；：關于的不等式有解.若為真，求的取值范圍；（2）已知，，.若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知的三個頂點是，，（1）求邊所在的直線方程；（2）求經(jīng)過邊的中點，且與邊平行的直線的方程20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）21．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，，求證：；（3）當時，恒成立，求的取值范圍22．（10分）已知一張紙上畫有半徑為4圓O，在圓O內有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C.（1）求曲線C的焦點在軸上的標準方程；（2）過曲線C的右焦點（左焦點為）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，記的面積為S，試求S的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質.2、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C3、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：D4、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉化為直線上點與圓心連線和半徑的關系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結合勾股定理即可得出結果.【詳解】設為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.5、D【解析】由于，，為正數(shù)，且，所以利用基本不等式可求出結果【詳解】解：因為正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，所以，則，所以，所以故選：D.6、C【解析】根據(jù)題意得到遞增等差數(shù)列中，，，從而化成基本量，進行計算，再計算出，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，設遞增等差數(shù)列，首項為，公差，則所以解得所以最大項.故選：C7、A【解析】由導數(shù)的幾何意義得切線方程為，進而得.【詳解】解：因為，，，所以，切線方程為，因為切線過點，所以，解得故選：A8、B【解析】①③可以通過分析奇偶性和結合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點坐標為，能夠將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故②錯誤；函數(shù)的圖象關于原點對稱不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿足將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，所以④錯誤；故選：B9、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因為，，所以，，，因此故選C【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應用，意在考查學生合情推理的意識和數(shù)學建模能力10、C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設，把點代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設，把點代入方程解得參數(shù)，所以化簡得方程故選：C.11、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質，可得的值，再結合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.12、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或2【解析】由圓的方程有圓心，半徑為，討論雙曲線的焦點分別在x或y軸上對應的漸近線方程，根據(jù)已知及弦長與半徑、弦心距的幾何關系得到雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可求離心率.【詳解】由題設，圓的標準方程為，即圓心，半徑為，若雙曲線為時，漸近線為且，所以圓心到雙曲線漸近線的距離為，由弦長、弦心距、半徑的關系知：，故，得：，又，所以，故.若雙曲線為時，漸近線為且，所以圓心到雙曲線漸近線的距離為，由弦長、弦心距、半徑的關系知：，故，得：，又，所以，故.綜上，雙曲線的離心率為或2.故答案為：或2.14、9或10【解析】等差數(shù)列通項公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因為，公差，所以或10時，取得最大值故答案為：9或1015、②③【解析】由對立和互斥事件的定義判斷①③；由獨立事件的性質判斷②④.【詳解】{紅}，則E與F不是互斥事件；且，則F與G是對立事件；，則E與F是獨立事件；，，則F與G不是獨立事件故答案為：②③16、9【解析】由焦點弦公式和中點坐標公式可得.詳解】設，則，即，.故答案為：9三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)按照所給的條件帶入橢圓方程以及e的定義即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表達出，解方程即可.【小問1詳解】由題意知，，且，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率存在且不為0，故可設直線的方程為，設，.由得，則……①，……②，因為，所以，，由可得……③由①②③可得，解得，，所以直線的方程為或，故答案為：，或.18、（1）1m2；（2）(0，1]【解析】（1）由pq為真，可得p真且q假，然后分別求出p真，q假時的的取值范圍，再求交集即可，（2）求得p：1x2，再由p是q的必要不充分條件，得，解不等式組可求得答案【詳解】（1）因為pq為真，所以p真且q假，p真：m1m301m3，q假，則不等式無解，則402m2，所以1m2.（2）依題意，p：1x2，因p是q的必要不充分條件，于是得（不同時取等號），解得0m1，所以實數(shù)m的取值范圍是(0，1].19、（1）（2）【解析】（1）利用直線方程的兩點式求解；（2）先求得AB的中點，再根據(jù)直線與AC平行，利用點斜式求解.【小問1詳解】因為，，所以邊所在的直線方程為，即；【小問2詳解】因為，，所以AB的中點為：，又，所以直線方程為：，即.20、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問1詳解】解：因為，所以，解得，所以不等式的解集是；【小問2詳解】因為，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集是.21、（1）函數(shù)單調遞增區(qū)間為(0，1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對函數(shù)求導后，由導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結果【小問1詳解】當時，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調遞增區(qū)間為(0，1)，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問2詳解】由（1）知，當k＝1時，，故令，則，即，所以【小問3詳解】由，故當時，因為，所以，因此恒成立，且的根至多一個，故在(0，1]上單調遞增，所以恒成立當時，令，解得當時，，則單調遞增；當時，，則單調遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，利用導數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結論，考查數(shù)轉化思想，屬于較難題22、（1）；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)題意，作出圖像，可得，由此可知M的軌跡C為以O、A為焦點的橢圓；(2)分為l