第12節(jié) 導數(shù)的綜合應用（解析版）

第12節(jié)導數(shù)的綜合應用核心素養(yǎng)要做實題型一利用導數(shù)證明不等式【例1】設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.【解析】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)．f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，無極大值．(2)證明：設g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當a>ln2－1時，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當a>ln2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．又g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.【方法歸納】待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證．【跟蹤訓練1】已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在(0,1)處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當x>0時，x2<ex.【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.因為f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2，當x<ln2時，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減；當x>ln2時，f′(x)>0，f(x)在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增．所以當x＝ln2時，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2，f(x)無極大值．(2)證明：令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x.由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，故g(x)在R上單調(diào)遞增．所以當x>0時，g(x)>g(0)＝1>0，即x2<ex.題型二導數(shù)與函數(shù)的零點問題探究1確定函數(shù)的零點個數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋2sinx，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．(1)求證：f′(x)在(0，π)上存在唯一零點；(2)求證：f(x)有且僅有兩個不同的零點．【證明】(1)設g(x)＝f′(x)＝eq\f(1,x)－1＋2cosx，當x∈(0，π)時，g′(x)＝－2sinx－eq\f(1,x2)<0，所以g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，又因為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(3,π)－1＋1>0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(2,π)－1<0，所以g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上有唯一的零點α，所以命題得證．(2)①由(1)知：當x∈(0，α)時，f′(x)>0，f(x)在(0，α)上單調(diào)遞增，當x∈(α，π)時，f′(x)<0，f(x)在(α，π)上單調(diào)遞減；所以f(x)在(0，π)上存在唯一的極大值點αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)<α<\f(π,2)))，所以f(α)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝lneq\f(π,2)－eq\f(π,2)＋2>2－eq\f(π,2)>0，又因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＝－2－eq\f(1,e2)＋2sineq\f(1,e2)<－2－eq\f(1,e2)＋2<0，所以f(x)在(0，α)上恰有一個零點．又因為f(π)＝lnπ－π<2－π<0，所以f(x)在(α，π)上也恰有一個零點．②當x∈[π，2π)時，sinx≤0，f(x)≤lnx－x，設h(x)＝lnx－x，h′(x)＝eq\f(1,x)－1<0，所以h(x)在[π，2π)上單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(π)<0，所以當x∈[π，2π)時，f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立，所以f(x)在[π，2π)上沒有零點．③當x∈[2π，＋∞)時，f(x)≤lnx－x＋2，設φ(x)＝lnx－x＋2，φ′(x)＝eq\f(1,x)－1<0，所以φ(x)在[2π，＋∞)上單調(diào)遞減，所以φ(x)≤φ(2π)<0，所以當x∈[2π，＋∞)時，f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立，所以f(x)在[2π，＋∞)上沒有零點．綜上，f(x)有且僅有兩個零點．【方法歸納】利用導數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點的個數(shù)．(2)利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上的零點的個數(shù)．探究2根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍【例3】若函數(shù)f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】由f(x)＝0可得eq\f(1,a)＝eq\f(x2,ex)，令k(x)＝eq\f(x2,ex)(x∈(0，＋∞))，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，即直線y＝eq\f(1,a)與函數(shù)k(x)的圖象在(0，＋∞)上有兩個不同的交點，k′(x)＝eq\f(2x－x2,ex)＝eq\f(x2－x,ex)，令k′(x)＝0得x＝2，當x∈(0,2)時，k′(x)>0，當x∈(2，＋∞)時，k′(x)<0，所以k(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值為k(2)＝eq\f(4,e2)，因為k(0)＝0，并且當x>2時，eq\f(x2,ex)>0，所以當0<eq\f(1,a)<eq\f(4,e2)時，k(x)在(0，＋∞)上的圖象與直線y＝eq\f(1,a)有兩個不同的交點，即當a>eq\f(e2,4)時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點．所以，若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2,4)，＋∞)).【方法歸納】已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．【跟蹤訓練2】若函數(shù)g(x)＝ex(x－2)－m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】g(x)＝ex(x－2)－m，函數(shù)g(x)＝ex(x－2)－m有兩個零點，相當于曲線u(x)＝ex·(x－2)與直線y＝m有兩個交點．u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，當x∈(－∞，1)時，u′(x)<0，所以u(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，當x∈(1，＋∞)時，u′(x)>0所以u(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x＝1時，u(x)取得極小值u(1)＝－e，又x→＋∞時，u(x)→＋∞；x<2時，u(x)<0，所以－e<m<0.題型三導數(shù)在解決實際問題中的應用【例4】某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設距離為x千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為(2＋eq\r(x))x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)；(2)需要修建多少個增壓站才能使總費用y最??？【解析】(1)設需要新建n個增壓站，且(n＋1)x＝720，即n＝eq\f(720,x)－1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝f(x)＝108n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝108×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(720,x)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(720,x)－1＋1))(2＋eq\r(x))x＝eq\f(77760,x)＋720eq\r(x)＋1332；(2)由(1)知，f(x)＝eq\f(77760,x)＋720eq\r(x)＋1332，f′(x)＝－eq\f(77760,x2)＋eq\f(360,\r(x))，令f′(x)＝0，得x＝216，解得x＝36，當0<x<36時，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,36)內(nèi)為減函數(shù)，當36<x<720時，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(36,720)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x＝36處取得最小值，此時n＝eq\f(720,36)－1＝19，即需要新建19個增壓站才能使y最小．【方法歸納】利用導數(shù)的方法解決實際問題．當在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．【跟蹤訓練3】某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該商場將當年的廣告費控制在三百萬元以內(nèi)，則應投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產(chǎn)生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費用)(2)現(xiàn)在該商場準備投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預算，每投入技術(shù)改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)，請設計一個資金分配方案，使該商場由這兩項共同產(chǎn)生的收益最大．【解析】(1)設投入廣告費t(百萬元)后由此增加的收益為f(t)(百萬元)，則f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以當t＝2時，f(t)max＝4，即當商場投入兩百萬元廣告費時，才能使商場由廣告費而產(chǎn)生的收益最大．(2)設用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的費用為(3－x)(百萬元)，則由此兩項所增加的收益為g(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3.對g(x)求導，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．當0<x<2時，g′(x)>0，即g(x)在[0,2)上單調(diào)遞增；當2<x<3時，g′(x)<0，即g(x)在(2,3]上單調(diào)遞減，所以當x＝2時，g(x)max＝g(2)＝eq\f(25,3).故在三百萬資金中，兩百萬元用于技術(shù)改造，一百萬元用于廣告促銷，這樣商場由此所增加的收益最大，最大收益為eq\f(25,3)百萬元．達標檢測要扎實1．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若方程在(0，1)內(nèi)存在唯一實根，求證：．【解析】(1)函數(shù)的定義域為則：當，時，恒成立，所以單調(diào)遞減；當時，令，解得或(舍去)，令，，令，所以在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增．綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(2)由題意知：當時，方程在(0，1)內(nèi)存在唯一根，令，則，當時，，則有兩個不相等的實數(shù)根，又，，故設，令，則，或則當時，g(x)單調(diào)遞增，當時，g(x)單調(diào)遞減，當時，g(x)單調(diào)遞增，又，且g(x)在(0，1)內(nèi)存在唯一零點，則，即，所以①，且②，由①得：，代入②得令，則，當時，∴h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又，∴h(x)在區(qū)間有且僅有一個零點，即．2．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，，證明：當時，；當時，(2)若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍【解析】(1)，，當時，，故單調(diào)遞增，當時，，故單調(diào)遞減，故，故單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，(2)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，即存在零點，由可知，又，而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，令，又①若，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單增，函數(shù)即在區(qū)間上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求.②若，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，函數(shù)即在區(qū)間上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求.③若，則，于是當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，在區(qū)間上單增，若，則則，由所以在區(qū)間上單增，在區(qū)間上單減，即恒成立于是，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，所以，得，又，所以綜上，的取值范圍為3．已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖象的一條切線，求實數(shù)的值；(2)若，且，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【解析】(1)因為，所以在處切線斜率，切線，又，設與相切時的切點為，則斜率，則切線的方程又可表示為，由，解之得；(2)，理由如下：由題，由得，當時，，單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，①同理②①+②得，因為，由得，即，所以，即，所以．4．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在無零點，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)由題知，當時，，∴，令，．∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增．∴是的極小值點，∴的極小值為，無極大值．(2)由題知，∴，；令，∴，∵，∴恒成立，∴單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增．①當時，∴，∴單調(diào)遞增∴恒成立，即在上無零點，∴．②當時，令，，，又單調(diào)遞增，∴時，，時，，∴在時單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，∴，又∵時，∴，，即在上有零點，不合題意；綜上所述．5．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.【解析】(1)當時，函數(shù)，其定義域為，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由，可得，設，則，令，即，解得，當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，且，顯然，若在上存在極值，則滿足或，解得，綜上可得，當時，在上存在極值，所以實數(shù)的取值范圍為.6．已知函數(shù)．(1)若在處的切線與軸平行，求的值；(2)有兩個極值點，比較與的大??；(3)若在上的最大值為，求的值．【解析】(1)，由，解得，當時，，，符合題意；當時，，，此時切線與x軸重合，不符合題意；所以；(2)由（1）知：，令可得或，則在單增，在上單減，則是的兩個極值點，不妨設，則，，又，即；(3)由（2）知：在單增，在上單減.當時，，則在上單增，則，解得或，故；當時，，則在上單增，在上單減，則，解得，不滿足，不合題意；當時，，則在上單減，則，不合題意；當時，，則在上單減，在上單增，則，若，則，解得或，不滿足，不合題意，若，則，解得或，不滿足，不合題意；當時，則在上單增，則，解得或，故；綜上：或.7．已知函數(shù).(1)若有兩個零點，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.【解析】(1)函數(shù)的定義域為.當時，函數(shù)無零點，不合乎題意，所以，，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，由可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：且當時，，由圖可知，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是.(2)證明：因為，則，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為方程有兩個實根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個實根、，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，，整理可得，不妨設，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，故原不等式成立.8．設函數(shù)，．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當時，．【解析】(1)，，即切線.，，則切線方程為：.(2)，恒成立等價于，恒成立.設，，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，所以，即.(3)，等價于，.設，，，設，，，所以在為增函數(shù)，即，所以，即在為增函數(shù)，即，即證：.9．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；(3)設是函數(shù)的兩個極值點，證明：.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，由已知得在處的切線的斜率為，則，即，解得；(2)由（1）得，則，∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，∵，設，則，∴只需或，解得或，故實數(shù)的取值范圍為；(3)證明：由題意可知，，∵有兩個極值點，，∴，是的兩個根，則，∴，∴要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立．10．已