專題410直線與角章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題4.10直線與角章末九大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】 1【題型2根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】 4【題型3根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】 8【題型4鐘表中的角度計(jì)算】 11【題型5根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】 18【題型6根據(jù)角與角之間的關(guān)系求角度】 22【題型7線段中的分類討論思想問題】 29【題型8角度中的分類討論思想問題】 34【題型9展開與折疊】 39【題型1直線、射線、線段、角的相關(guān)概念辨析】【例1】（2023上·河南·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫铝姓Z句正確的有(

)（1）線段AB就是A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）畫射線AB=10（3）A，B兩點(diǎn)之間的所有連線中，最短的是線段AB；（4）在直線上取A，B，C三點(diǎn)，若AB=5cm，BC=2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離的定義可以判斷A、C，根據(jù)射線的定義可以判斷B，據(jù)題意畫圖可以判斷D．【詳解】∵線段AB的長(zhǎng)度是A、B兩點(diǎn)間的距離，∴（1）錯(cuò)誤；∵射線沒有長(zhǎng)度，∴（2）錯(cuò)誤；∵兩點(diǎn)之間，線段最短∴（3）正確；∵在直線上取A，B，C三點(diǎn)，使得AB=5cm，BC=2cm，當(dāng)C在B的右側(cè)時(shí)，如圖，AC=5+2=7cm當(dāng)C在B的左側(cè)時(shí)，如圖，AC=52=3cm，綜上可得AC=3cm或7cm，∴（4）錯(cuò)誤；正確的只有1個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段與射線的定義，線段的和差，熟記基本定義，以及兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023上·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段條數(shù)為m，小于平角的角的個(gè)數(shù)為n，則n-m的值為（A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質(zhì)得出m，n的值，再代入求解即可．【詳解】由題意得m故n故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和平角的問題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023上·天津北辰·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，辰辰同學(xué)根據(jù)圖形寫出了四個(gè)結(jié)論：①圖中有兩條直線；②圖中有5條線段；③射線AC和射線AD是同一條射線；④直線BD經(jīng)過點(diǎn)C．其中結(jié)論正確的結(jié)論是．【答案】①③【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義結(jié)合圖形即可分析判斷求解．【詳解】解：①直線是沒有端點(diǎn)，向兩邊無限延伸，圖中有兩條直線，分別是：直線BC和直線BD，故①說法正確；②直線上兩點(diǎn)及兩點(diǎn)之間的部分是線段，圖中有6條線段，分別是：線段AB、線段BC、線段BD、線段AC、線段CD、線段AD，故②說法錯(cuò)誤；③射線AC和射線AD是同一條射線，都是以點(diǎn)A為端點(diǎn)，同一方向的射線，故③說法正確；④直線BD和直線BC相交于點(diǎn)B，直線BD經(jīng)過點(diǎn)B，不經(jīng)過點(diǎn)C，故④說法錯(cuò)誤，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查直線、射線、線段的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并區(qū)分相關(guān)定義．【變式13】（2023上·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖,已知A、B、C、D四點(diǎn),根據(jù)下列要求畫圖:(1)畫直線AB、射線AD；(2)畫∠CDB；(3)找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P既在AC上又在BD上.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用直線以及射線的定義畫出圖形即可；（2）利用角的定義作射線DC，DB即可；（3）連接AC，與BD的交點(diǎn)即為所求．【詳解】解：（1）如圖所示：直線AB、射線AD即為所求；（2）如圖所示：∠CDB即為所求；（3）如圖所示：點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直線、射線以及角的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【題型2根據(jù)線段間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例2】（2023上·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D、E順次為線段AB上的兩點(diǎn)，AB=20，C為AD的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

A．若BE-DE=0，則AE-CDC．若BE-DE=4，則AE-CD【答案】D【分析】先利用中點(diǎn)的含義及線段的和差關(guān)系證明AE-CD【詳解】解：∵C為AD的中點(diǎn)，∴AC∵BE-DE=0∴AE故A不符合題意；∵BE-DE=2∴2CD∴CD同理：AE-CD=CE∵BE-DE=4∴2CD∴CD同理：AE-CD=CE∵BE-DE=6∴2CD∴CD同理：AE-CD=CE故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差關(guān)系，線段的中點(diǎn)的含義，掌握“線段的和差關(guān)系即中點(diǎn)的含義證明AE-CD【變式21】（2023上·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②AD>BE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①③④【分析】①由題意可知隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，故正確；②可以推得當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC<BC，故錯(cuò)誤；③由題意及中點(diǎn)的性質(zhì)可知正確；④由題意，當(dāng)AC=BC時(shí)，C為DE中點(diǎn)，根據(jù)已知，P也為DE中點(diǎn)，所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．【詳解】解：①∵點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，∴D、E隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P隨著D、E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此，隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，∴本選項(xiàng)正確；②∵AD∴當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由題意可知：DC=∴DE=12AB，即④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC，所以C為DE中點(diǎn)，又P也為DE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴本選項(xiàng)正確．故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握中點(diǎn)的意義和性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式22】（2023上·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，B在線段AC上，且BC=3AB，D是線段AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論：①EC=13AE，②DE=5BD，A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)題中的已知條件，結(jié)合圖形，對(duì)結(jié)論進(jìn)行一一論證，從而選出正確答案．【詳解】解：∵E是BC的三等分點(diǎn)，BC=3∴EC=1∴AB∴AB∴AE∴EC故①正確；∵EC∴AE∵AB∴AE∵D是線段AB的中點(diǎn)，∴AD∴DE∴DE故②正確；∵BE=2∴1∵BE∴BE∴BE故③正確；∵BC=3AB∴6∵AE∴AE故④正確；綜上，正確的有①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，中點(diǎn)的定義，用幾何式子正確表示相關(guān)線段，結(jié)合圖形進(jìn)行線段的和差計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023上·福建泉州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB=30，C為射線AB上一點(diǎn)，BC比AC的4倍少20，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC=2AC；②運(yùn)動(dòng)過程中，QM的長(zhǎng)度保持不變；③AB=4NQ；④當(dāng)BQ=PB時(shí)，t=12，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)AB=30，BC比AC的4倍少20可分別求出AC與BC的長(zhǎng)度；分別表示出BM、BQ，由QM=BM+BQ即可得QM的值；由N為QM的中點(diǎn)得NQ=12QM可得NQ的值；當(dāng)BQ=PB時(shí)，可得302t=t，此時(shí)t=10秒，綜上所述即可得結(jié)論【詳解】∵AB=30，BC比AC的4倍少20，∴AC=10，BC=20，∴BC=2AC，①正確；∵P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為2單位/秒和1單位/秒的速度，∴BP=302t，BQ=t，∵M(jìn)為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，∴PM=MB=15t，MQ=MB+BQ=15，NQ=7.5，∴運(yùn)動(dòng)過程中，QM的長(zhǎng)度保持不變，AB=4NQ，②③正確；∵PB=302t，BQ=t，當(dāng)BQ=PB時(shí)，，∴302t=t，解方程得：t=10，④錯(cuò)誤；∴①②③項(xiàng)結(jié)論正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)線段之間的關(guān)系式.【題型3根據(jù)線段間的關(guān)系求線段長(zhǎng)度】【例3】（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知線段AB=23，BC=15，點(diǎn)M是

(1)求線段AM的長(zhǎng)；(2)在CB上取一點(diǎn)N，使得CN:NB=2:3【答案】(1)4(2)MN的長(zhǎng)度是10【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系，可得AC=8，根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，可得AM（2）由CN:NB=2:3，求得CN=6,根據(jù)點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，求得【詳解】（1）解：線段AB=23，BC=15∴AC=AB又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)．∴AM=12AC=（2）解：∵BC=15，CN∴CN=2又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，AC=8∴MC=1∴MN=MC+NC=4+6=10，即【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差的計(jì)算，線段中點(diǎn)的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023上·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)題意，補(bǔ)全解題過程．如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且AE:EB=2:5，若EC

解：設(shè)AE=2∵AE:∴EB=______∴AB=AE∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=______=______∴EC=______-AE∵EC=3∴x=______∴AB=7x【答案】5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；【分析】根據(jù)線段之間的關(guān)系按照推理過程即可解答．【詳解】設(shè)AE=2∵AE:∴EB=5∴AB=∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=∴EC=∵EC=3∴x=2∴AB=7故答案為：5x；EB；7x；12AB或BC；3.5x；AC；1.5【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離以及推理過程的完整書寫，解題的關(guān)鍵是正確理解題干中的信息和把握?qǐng)D中的線段關(guān)系．【變式32】（2023上·河南南陽·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段BD=13AB=14CD，點(diǎn)M、N分別是線段

【答案】48【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得AB與BD的關(guān)系，CD與BD的關(guān)系，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AM與BM的關(guān)系，DN與NC的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：∵BD=∴AB=3BD，CD∵點(diǎn)M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，AM=BM=1∵BN=DN-BD∴MN=BM解得BD=8．∴AC=【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，熟練的利用線段的和差倍分關(guān)系建立方程解題是關(guān)鍵．【變式33】（2023上·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB=12，AC=8，求

（2）設(shè)AB=a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，①如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即AM=13AC，②若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即AM=1nAC，【答案】（1）6；（2）①23a；【分析】（1）由中點(diǎn)的定義可得MC=12（2）由AM=13AC，BN=（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1）∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)∴MC∵AB∴MN（2）①∵AM∴MC∵AB∴MN=②∵∴∴∴∴MN【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．【題型4鐘表中的角度計(jì)算】【例4】（2023上·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個(gè)大格，每個(gè)大格分成5個(gè)小格，所以每個(gè)大格對(duì)應(yīng)的是30°角，每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的是6°角，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是0.5度，分針每分針轉(zhuǎn)過的角度是6度．(1)解決問題：當(dāng)時(shí)鐘的時(shí)刻是8：30時(shí)，求此時(shí)分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時(shí)針．(3)設(shè)在8：00時(shí)，分針的位置為OA，時(shí)針的位置為OB，運(yùn)動(dòng)后的分針為OP，時(shí)針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【答案】(1)75°(2)48011(3)48013分鐘或96023分鐘或【分析】（1）根據(jù)8：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是2.5個(gè)大格，可得所夾的銳角的度數(shù)；（2）計(jì)算出8：00時(shí)時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角的度數(shù)，設(shè)x分鐘后分針第一次追上時(shí)針，利用追擊問題列方程，即可求解；（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分【詳解】（1）解：8：30時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是2.5個(gè)大格，2.5×30°=75°，即分針與時(shí)針?biāo)鶌A的銳角的度數(shù)是75°．（2）解：設(shè)x分鐘后分針第一次追上時(shí)針．8：00時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A鈍角是8個(gè)大格，8×30°=240°，由題意，6x解得x=即8：00開始48011（3）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)m分鐘后，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．分三種情況：如圖①，當(dāng)OB平分∠QOP時(shí)，∠∴0.5m解得m=如圖②，當(dāng)OP平分∠QOB時(shí)，∠∴0.5m解得m=如圖③，當(dāng)OQ平分∠POB時(shí)，∠∴6m解得m=48綜上，運(yùn)動(dòng)48013分鐘或96023分鐘或48分鐘后，OB，OP，【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，以及角平分線的定義，能夠計(jì)算出任一時(shí)刻時(shí)針與分針之間的角度是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2023上·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，鐘表的秒針因故障停滯不動(dòng)，時(shí)針與分針正常運(yùn)行．小晶發(fā)現(xiàn)3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，經(jīng)過m分鐘后，秒針又一次成為時(shí)針與分針夾角的角平分線，則m的最小值是．

【答案】720【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)分針轉(zhuǎn)一圈再回到秒針左側(cè)時(shí)，秒針再次平分時(shí)針與分針夾角，此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間最少，分針每分鐘走360°60°=6°，時(shí)針每分鐘走30°60°=12°，根據(jù)題意得：∠AOB=∠【詳解】解：

∵3點(diǎn)整時(shí)，秒針正好是時(shí)針與分針夾角的角平分線，分針在秒針的左側(cè)，秒針不動(dòng)，∴當(dāng)分針轉(zhuǎn)一圈再回到秒針左側(cè)時(shí)，秒針再次平分時(shí)針與分針夾角，此時(shí)經(jīng)過的時(shí)間最少，分針每分鐘走360°60°=6°，時(shí)針每分鐘走根據(jù)題意得：∠AOB經(jīng)過m分鐘后，∠AOA1∵OB平分∠A∴∠A∴∠A∴360-6m解得：m=故答案為：72013【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，正確理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七年級(jí)學(xué)生小聰和小明完成了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)《鐘面上的數(shù)學(xué)》后，制作了一個(gè)模擬鐘面，如圖所示，點(diǎn)O為模擬鐘面的圓心，M、O、N在一條直線上，指針OA、OB分別從OM、ON出發(fā)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，OA順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OB逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，OA運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)15°，OB運(yùn)動(dòng)速度為每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5°，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（(1)當(dāng)t=3秒時(shí)，求∠(2)當(dāng)OA與OB第三次重合時(shí)，求∠BOM(3)在OA與OB第四次重合前，當(dāng)t=___________時(shí)，直線MN平分∠【答案】(1)120°(2)45°(3)18或54秒【分析】（1）根據(jù)∠AOB=180°-∠AON-∠BON（2）設(shè)t秒后第三次重合，由題意得15t+5t=360×2+180，解方程求出（3）先用t的代數(shù)式表示∠BON和∠AON，然后根據(jù)∠BON【詳解】（1）解：當(dāng)t=3∴∠AOM=15°×3=45°，∴∠AOB（2）解：設(shè)t秒后第三次重合，由題意得15t解得t=455°×45-180°=45°．答：∠BOM的度數(shù)為45°（3）解：在OA與OB第一次重合前，直線MN不可能平分∠AOB在OA與OB第一次重合后第二次重合前，∠BON=5依題意有5t解得t=18在OA與OB第二次重合后第三次重合前，直線MN不可能平分∠AOB在OA與OB第三次重合后第四次重合前，∠BON=360-5依題意有360﹣解得t=54故當(dāng)t=18或54秒時(shí)，直線MN平分∠故答案為：18或54秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023上·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大?。?3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．【答案】(1)30°(2)20°(3)8011【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)題意分類討論，分為射線OC在∠AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況計(jì)算即可；（3）根據(jù)鐘表轉(zhuǎn)動(dòng)求出時(shí)針和分針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，再根據(jù)分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度=∠AOB增加的度數(shù)，建立方程解出答案即可．【詳解】（1）解：∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，∴∠BOM（2）當(dāng)射線OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON∴∠MON當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，如圖所示，∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，∴∠BON∴∠MON綜上所述，∠MON的度數(shù)為20°或（3）∵OM平分∠AOB，∠BOM＝50°∴∠設(shè)經(jīng)過x分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°，∵分針OB的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360°60時(shí)針OA的運(yùn)動(dòng)速度為每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)：360°12×60∴6°x解得x=所以經(jīng)過8011分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應(yīng)用之行程問題，分類討論思想和方程思想是本題的關(guān)鍵．【題型5根據(jù)角與角之間的關(guān)系判斷結(jié)論】【例5】（2023上·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OB在∠AOC內(nèi)部，且∠BOC=3∠AOB，OD是∠AOB的平分線，∠BOC=3∠COE，則下列結(jié)論：①∠EOC=13

【答案】①②④【分析】根據(jù)∠BOC=3∠AOB，∠BOC=3∠COE，得到∠AOB=∠COE【詳解】解：∵∠BOC=3∠AOB∴∠AOB∴∠AOB∴∠AOE∴∠AOE=3∠COE∴∠COE=1∴∠BOE∵OD是∠AOB∴∠BOD∴∠BOE∴∠DOE=5∠BOD∵∠AOE=3∠AOB∴∠AOE∴12∵∠BOE∴∠BOE≠1∵65∠BOC∴∠AOE=6故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角度之間的和差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知∠AOB=∠BOC=∠COD，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．OB、OC分別平分∠AOC、B．∠C．∠D．∠【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的和差逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴OB、OC分別平分∠AOC、∠BOD，故正確；B、∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∴∠AOD=∠AOB+∠AOC，故正確；C、∵∠BOC═∠AOC∠AOB，∵∠AOB=∠BOC=∠COD，∴∠AOC=23∠AOD∴∠BOC=23∠AOD∠AOBD、∵∠AOB=∠COD，∴∠COD=∠AOD∠BOC∠AOB，∴2∠COD=∠AOD∠BOC，∴∠COD=12(∠AOD∠BOC)故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義和角的和差是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023上·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知O為直線AB上一點(diǎn)，將直角三角板MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，若OC是∠MOB的平分線，則下列結(jié)論正確的是（

∠AOM=3∠NOC BC．2∠AOM=3∠NOC【答案】B【分析】先求解2∠BON=180°-2∠AOM,【詳解】解：∵∠MO