專題241圓（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（滬科版）

專題24.1圓（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)任意一組對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；(3)對應線段相等、對應角相等.【知識點二】點和圓的位置關(guān)系：點在圓外，；點在圓上，；點在圓內(nèi)，；【知識點三】圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弦、兩條弧、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.【知識點四】垂徑定理及推論：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.【知識點五】圓周角定理：圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的弧上的圓心角的一半.推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.推論2：直徑所對的圓周角是直角；圓周角所對的弦是直徑.推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.【知識點六】直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓的位置關(guān)系：（圓心到直線距離為，圓的半徑為）相交：直線與圓有兩個公共點，；相切：直線與圓有一個公共點，；相離：直線與圓無公共點，.【知識點七】切線定理：切線定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的判定方法：（1）直線與交點個數(shù)；（2）直線到圓心的距離與半徑關(guān)系；（3）切線的判定定理.【知識點八】切線長定理：切線長定理：過圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線是這兩條切線的夾角.【知識點九】弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角.經(jīng)過兩點可作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在這兩點連線的垂直平分線上.【知識點十】確定圓的條件：不在同一條直線上的三個點確定一個圓.【知識點十一】外心：外心：三角形外接圓的圓心叫三角形的外心.外心是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心是斜邊重點，鈍角三角形的外心在三角形外部。三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與外心連線夾角的一半.【知識點十二】內(nèi)心：內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做內(nèi)心，它的性質(zhì)是到三角形三邊的距離相等。三角形的一個內(nèi)角等于它另外兩個角頂點與內(nèi)心連線夾角減去再乘以2..三角形周長為，面積為，內(nèi)切圓半徑為,則.直角三角形兩直角邊分別是，斜邊為，內(nèi)切圓半徑為，則.【知識點十三】相交弦定理：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖1，是的兩條弦且交于點，則.圖1圖2圖3【知識點十四】切割線定理：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖2，是的切線，線段交于兩點，則.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。如圖3，線段交于兩點，交于兩點，則.【知識點十五】正多邊形、弧長與扇形面積：正變形的圓心角為度.弧長計算公式：在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長計算公式為.如果扇形的半徑為，圓心角為，那么扇形面積的計算公式為.如果扇形的半徑為，弧長為，那么扇形面積的計算公式為.【考點目錄】【考點1】旋轉(zhuǎn)???旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應點的理解與認識【考點2】旋轉(zhuǎn)???旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解與證明綜合【考點3】垂徑定理???利用定理進行證明與求值【考點4】圓周角???圓周角定理進行證明與求值【考點5】直線與圓的位置關(guān)系???切線性質(zhì)與判定的理解及綜合【考點6】三角形的內(nèi)切圓???求值與證明【考點7】正多邊形與圓【考點8】弧長與扇形面積【考點一】旋轉(zhuǎn)???旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應點的理解與認識【例1】（2023上·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等邊三角形，且B、C、D三點共線．

（1）可以看作是由繞著點，逆時針旋轉(zhuǎn)得到；（2）試證明這兩個三角形全等．【答案】（1），C，60；（2）見分析【分析】本題主要考查了等邊三角形，全等三角形，熟練掌握等邊三角形的邊角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．（1）可通過觀察與全等著手，尋找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，推出，根據(jù)推出，根據(jù)，因此可以看作是由繞著點C，逆時針旋轉(zhuǎn)得到；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，推出，根據(jù)推出．解：（1）∵和都是等邊三角形∴，，，∴，即，∴，∵，∴可以看作是由繞著點C，逆時針旋轉(zhuǎn)得到；故答案為：，C，60（2）∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，∴．【舉一反三】【變式1】（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）是由繞點C旋轉(zhuǎn)得到的，且點D落在邊上，則下列判斷錯誤的是（）

A．旋轉(zhuǎn)中心是點C B．C． D．點D是中點【答案】D【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．解：∵是由繞點C旋轉(zhuǎn)得到的，且點D落在邊上，∴旋轉(zhuǎn)中心是點C，，，點D不一定的中點，∴A、B、C結(jié)論正確．故選：D．【變式2】（2023上·山東濟寧·九年級?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長都是，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標是.

【答案】【分析】本題考查了坐標與圖形變化：旋轉(zhuǎn)，根據(jù)對應點連線的垂直平分線的交點，即可求解．解：將以某點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點為點，點的對應點為點，作線段和的垂直平分線，它們的交點為（，），旋轉(zhuǎn)中心的坐標為，故答案為.【考點二】旋轉(zhuǎn)???旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解與證明綜合【例2】（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形．

（1）如圖，當點E在上時．①若，則_____________°；②求證：；（2）探究：當為何值時，？請你畫出圖形，并說明理由．【答案】（1）①；②見分析；（2）或，見分析【分析】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)．（1）①由矩形的性質(zhì)可證；②由矩形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證（），從而可得，即可求證；（2）由線段垂直平分線的判定定理可得點G在的垂直平分線上，①當點G在右側(cè)時，取的中點H，連接交于M，可證是等邊三角形，即可求解；②當點G在左側(cè)時，同理可得是等邊三角形，即可求解；掌握性質(zhì)，并能根據(jù)G點的不同位置進行分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）解：①四邊形是矩形，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，故答案：；②由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，又，，，在和中，（），，又，．（2）解：如圖，當時，則點G在的垂直平分線上，①當點G在右側(cè)時，取的中點H，連接交于M，

，，四邊形是矩形，，垂直平分，，是等邊三角形，，旋轉(zhuǎn)角；②如圖，當點G在左側(cè)時，

同理可得是等邊三角形，，旋轉(zhuǎn)角．【舉一反三】【變式1】（2023上·安徽蕪湖·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則線段的長為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含角直角三角形性質(zhì)及勾股定理；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得；由含角直角三角形性質(zhì)得，再由勾股定理即可求得結(jié)果．解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得；∵，，∴，∴；在中，由勾股定理得：．故選：C．【變式2】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級?？计谥校┤鐖D，兩個全等的含角的直角三角板，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角（）得到，若交于點，連接，當時，為等腰三角形．【答案】或【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是表示出各個內(nèi)角，再分三種情況，根據(jù)等邊對等角列方程求解．解：由旋轉(zhuǎn)可知：，∴，∴，而，當時，，即，無解；當時，，即，解得：；當時，，即，解得：；綜上：當或時，為等腰三角形．故答案為：或．【考點三】垂徑定理???利用定理進行證明與求值【例3】（2023上·廣東惠州·九年級黃岡中學惠州學校?？计谥校┤鐖D，中兩條互相垂直的弦交于點．（1），的半徑為10，求弦的長；（2）過點作交于點，求證：．【答案】（1）16；（2）見分析【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理及勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）連接，由垂徑定理和勾股定理可得答案；（2）連接，由垂直的定義及等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．（1）解：如圖，連接，，過圓心，，由勾股定理得，，，即：；（2）證明：如圖，連接，，，，，，，，，，，，．【舉一反三】【變式1】（2023上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）已知是的外接圓，那么點O一定是的（）A．三個頂角的角平分線交點 B．三邊高的交點C．三邊中線交點 D．三邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】本題考查三角形外接圓圓心的確定，掌握三角形外接圓圓心的確定方法，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．解：已知是的外接圓，那么點O一定是的三邊的垂直平分線的交點，故選：D．【變式2】（2023上·吉林白城·九年級校聯(lián)考階段練習）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中記錄了計算圓弧長度的“會四術(shù)”．如圖，是以點為圓心，為半徑的圓弧，是AB的中點．．“會圓術(shù)”給出的長的近似值計算公式：．當時，的值為．【答案】【分析】本題考查圓中的垂徑定理，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，作出輔助線求的長度．連接，根據(jù)是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，，知共線，由，知是等邊三角形，得，即得，故．解：連接，如圖：∵是以為圓心，為半徑的圓弧，是的中點，，∴，∴共線，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，故答案為：．【考點四】圓周角???圓周角定理進行證明與求值【例4】（2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，直徑弦于，于，交于，連接．

（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理；（1）根據(jù)等角的余角相等得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，等量代換可得，進而根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，即可得證；（2）連接，在中，勾股定理求得，進而根據(jù)，即可求解．解：（1）證明：∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，又，∴，∴；（2）解：連接，如圖所示，

∵，∴，∵，在中，∴，∴，∴【舉一反三】【變式1】（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第二十五中學?？计谥校┤鐖D，半圓O的直徑為10，點C、D在圓弧上，連接，兩弦相交于點E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角和弧之間的關(guān)系，扇形的面積，連接、，根據(jù)，得出，得出，根據(jù)即可求得．解：連接、，是直徑，，，，的度數(shù)為，，．故選：B．【變式2】（2023上·廣西南寧·九年級廣西大學附屬中學校考階段練習）如圖，圓內(nèi)接四邊形中，，連接，．則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，圓周角定理．熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．由題意知，，則，，進而可求，根據(jù)，計算求解即可．解：由題意知，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【考點五】直線與圓的位置關(guān)系???切線性質(zhì)與判定的理解及綜合【例5】（2022上·河北石家莊·九年級?？计谀┤鐖D內(nèi)接于，，是的直徑，點是延長線上一點，且，．

（1）求證：是的切線；（2）求的直徑；（3）當點B在下方運動時，直接寫出內(nèi)心的運動路線長是．【答案】（1）見分析；（2）6；（3）【分析】（1）分別求出，，即可得，從而證明是的切線；（2）由（1）可知，，則，即可求圓的直徑是6；（3）設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，連接，，，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得，因此可知點在以為弦，弦所對的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，再由，可知點在圓上，連接，可得是等邊三角形，則，當點與點重合時，，所以內(nèi)心的運動路線長．（1）解：證明：連接，，

是圓的直徑，，，，，是等邊三角形，，，，，，，點在圓上，是的切線；（2）由（1）可知，，，，，，，，圓的直徑是6；（3）設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，連接，，，

，，是的平分線，是的平分線，，，由（2）可知，，點在以為弦，弦所對的圓周角為的圓上，作的外接圓，連接、，，，，點在圓上，連接，，，是等邊三角形，，當點與點重合時，，內(nèi)心的運動路線長，故答案為：．【點撥】本題考查圓的綜合應用，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)，切線的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，四點共圓的判定，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的弧長公式是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為半圓的直徑，，分別切于，兩點，切于點，連接，，下結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積計算等知識與方法，連接，由分別切于兩點，切于點，根據(jù)切線長定理得，，則，可判斷正確；由是的直徑得，，則，于是有，由切線長定理得，，則，因此，可判斷正確；根據(jù)“”可分別證明，，則，可判斷正確；先由，，證明，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到，故錯誤；正確作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，

∵分別切于兩點，切于點，∴，，∴，故正確；∵是的直徑，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故正確；∵是的半徑，∴，∴，，在和中，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故正確；∵，，∴，∴，∴，故錯誤；故選：．【變式2】（2023上·四川德陽·九年級四川省德陽中學校?？计谥校┤鐖D，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑，直線的解析式為．若直線與半圓有交點，則的取值范圍是．

【答案】【分析】此題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及用待定系數(shù)法求解直線的解析式等方法，若直線與半圓有交點，則直線和半圓相切于點開始到直線過點結(jié)束（不包括直線過點），當直線和半圓相切于點時，根據(jù)直線的解析式知直線與x軸所形成的的銳角是，從而求得，即可得出點的坐標，進一步得出t的值；當直線過點時，直線根據(jù)待定系數(shù)法求得的值，進而即可求解．解：若直線與半圓有交點，則

直線和半圓相切于點開始到直線過點結(jié)束，當直線和半圓相切于點時，直線與軸所形成的銳角是，∴，又∵半圓的半徑，∴，∴代入解析式，得，當直線過點時，把代入直線解析式，得，即當，直線和半圓有交點．【考點六】三角形的內(nèi)切圓???求值與證明【例6】（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，是的直徑，點是上一點，點是的內(nèi)心，的延長線交于點，連．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】（1）連接，運用內(nèi)切圓的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)問題即可解決．（2）連接．，過點作交的延長線于點，證明，都是等腰直角三角形，，得到；由勾股定理即可求得，；再利用即可即可解決問題．（1）解：如圖，連接；點是的內(nèi)心，，；，；；，，，．（2）連接．，過點作交的延長線于點，是直徑，，平分，，，，都是等腰直角三角形，；，是的直徑，，由勾股定理得：；∵，∴，，∴，又∵，∴，【點撥】該題在考查三角形的內(nèi)切圓及其性質(zhì)的應用的同時，還滲透了對等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定及其應用等幾何知識點．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形內(nèi)接于，點是的內(nèi)心，，點在的延長線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由點是的內(nèi)心知、，從而求得，再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角可得答案．解：∵點是的內(nèi)心，∴、，∵，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴,∴，故選：C．【點撥】本題主要考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及鄰補角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．【變式2】（2023上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，P為的內(nèi)心，經(jīng)過點P的線段分別與相交于點D、點E．若，，則點P到的距離為．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，連接，過P作于H，于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．解：連接，過P作于H，于G，∵P為的內(nèi)心，∴平分，平分，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴點P到的距離為，故答案為：．【考點七】正多邊形與圓【例7】（2023上·福建廈門·九年級廈門市松柏中學?？计谥校┤鐖D，分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊．若，（1）弧的長為；（2）連接，則與的面積比為．【答案】/【分析】本題考查正多邊形和圓，圓周角定理，弧長的計算，三角形的面積，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)．（1）設(shè)圓的圓心是，連接，根據(jù)是圓內(nèi)接正六邊形的一邊，算出的度數(shù)，得出圓的半徑為2，根據(jù)是圓內(nèi)接正方形的一邊，算出的度數(shù)，即可求解；（2）設(shè)半徑是，作交延長線于，根據(jù)解三角形算出根據(jù)垂徑定理求出根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出根據(jù)即可求解；解：（1）設(shè)圓的圓心是，連接，∵是圓內(nèi)接正六邊形的一邊，∴的度數(shù)，∴是等邊三角形，∴，∴該圓的半徑為2；∵是圓內(nèi)接正方形的一邊，∴的度數(shù)，的長；（2）設(shè)半徑是，作交延長線于，由（1）解得的度數(shù)，∵是圓內(nèi)接正三邊形的一邊，∴的度數(shù)，∴的度數(shù)，∴的度數(shù)，平分平分【舉一反三】【變式1】（2023上·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，正五邊形的內(nèi)角為，，則，然后計算求解，即可．解：由題意知，正五邊形的內(nèi)角為，，∴，∴，故選：C．【點撥】本題考查了正多邊形的內(nèi)角，正多邊形和圓的綜合．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握，正邊形的內(nèi)角為．【變式2】（2023上·北京海淀·九年級北京交通大學附屬中學?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形的邊長是4，則它的內(nèi)切圓圓心M的坐標.【答案】【分析】作、的垂直平分線交于點，即為內(nèi)切圓圓心，連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理確定，即可求解．解：如圖所示，作、的垂直平分線交于點，即