《數(shù)學分析II》課程教學大綱

《數(shù)學分析Ⅱ》教學大綱課程編號：123306A課程類型：eq\o\ac(□,√)通識教育必修課□通識教育選修課□學科基礎(chǔ)課□專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學時：96講課學時：96實驗（上機）學時：0學分：6考試類型：eq\o\ac(□,√)考試□考查適用對象：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學（金融方向）、統(tǒng)計學、金融學、經(jīng)濟學eq\o\ac(□,√)是□否適合作為其他專業(yè)學生的個性化選修課先修課程：數(shù)學分析Ⅰ一、教學目標《數(shù)學分析》是高等院校數(shù)學專業(yè)、統(tǒng)計學專業(yè)和其它對數(shù)學要求較高專業(yè)的極為重要的數(shù)學基礎(chǔ)課之一，是幾乎所有數(shù)學和統(tǒng)計后繼課程的必備基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)至關(guān)重要?！稊?shù)學分析Ⅱ》是其第二部分。目標1：通過本課程的學習，使學生掌握《數(shù)學分析Ⅱ》的基本理論和方法。目標2：培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S和推理論證能力。目標3：提高學生運用數(shù)學工具來觀察問題、思考問題、分析問題和解決問題的能力，為進一步學習現(xiàn)代數(shù)學科學和應(yīng)用科學打下扎實的數(shù)學基礎(chǔ)。目標4：培育有堅定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實基礎(chǔ)學識，堅韌奮斗進取品格的社會主義新青年。二、教學內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系（一）教學內(nèi)容及要求《數(shù)學分析II》主要教學內(nèi)容包括反常積分、數(shù)項級數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)微分學、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、重積分等。在教學過程中要細講基本概念、基本性質(zhì)及相關(guān)理論，使學生建立基本的知識框架，提高數(shù)學思維能力。在講多元函數(shù)的微積分學中，注意與一元函數(shù)微積分學進行對比教學，培養(yǎng)學生將知識從一維空間到多維空間推廣的科研能力。在講課中，注意引入一些實際問題，激發(fā)學生的學習興趣，逐步提高學生的知識運用能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力。（二）教學方法和教學手段在課堂教學中，以啟發(fā)式教學為主進行課堂講授，板書教學和多媒體教學結(jié)合。課堂上加強與學生的互動，引導(dǎo)學生探索討論，激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的學習主動性，提高課堂學習效率。本課程的實踐教學環(huán)節(jié)以習題評析、實例討論和應(yīng)用研究為主，使學生能夠理論聯(lián)系實際，學以致用，從而逐步提高學生的知識運用能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力。（三）學習要求學生需要做好課前預(yù)習、課堂學習、課后復(fù)習、完成作業(yè)等學習環(huán)節(jié)，以掌握本課程所學內(nèi)容。（四）該課程與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系該課程是專業(yè)知識結(jié)構(gòu)中極為重要的根基，可以使學生掌握數(shù)學分析的基本理論和方法，為后續(xù)課程的學習打下基礎(chǔ)。同時，本課程可以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S和推理論證能力，提高學生運用數(shù)學工具解決實際問題的能力。三、各教學環(huán)節(jié)學時分配教學課時分配序號章節(jié)內(nèi)容講課實驗其他合計1第十一章反常積分第一節(jié)反常積分概念第二節(jié)無窮積分的性質(zhì)與收斂判別第三節(jié)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別882第十二章數(shù)項級數(shù)第一節(jié)級數(shù)的收斂性第二節(jié)正項級數(shù)第三節(jié)一般項級數(shù)1010 3第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)第一節(jié)一致收斂性第二節(jié)一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)884第十四章冪級數(shù)第一節(jié)冪級數(shù)第二節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開10105第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)平面點集與多元函數(shù)第二節(jié)二元函數(shù)的極限第三節(jié)二元函數(shù)的連續(xù)性886第十七章多元函數(shù)微分學第一節(jié)可微性第二節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法第三節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第四節(jié)泰勒公式與極值問題16167第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用第一節(jié)隱函數(shù)第二節(jié)隱函數(shù)組第三節(jié)幾何應(yīng)用第四節(jié)條件極值12128第二十一章重積分第一節(jié)二重積分的概念第二節(jié)直角坐標系下二重積分的計算第三節(jié)格林函數(shù)曲線積分與線路的無關(guān)性第四節(jié)二重積分的變量變換第五節(jié)三重積分第六節(jié)重積分的應(yīng)用第七節(jié)n重積分第八節(jié)反常二重積分22229課程總結(jié)22合計9696四、教學內(nèi)容第十一章反常積分第一節(jié)反常積分的概念第二節(jié)無窮積分的性質(zhì)和收斂判別第三節(jié)瑕積分的性質(zhì)和收斂判別教學重點、難點：無窮積分與瑕積分斂散性的判別課程的考核要求：掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；能應(yīng)用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。課程思政切入點：認識世界、改變世界,做人做事的基本道理復(fù)習思考題：反常積分的定義是什么？無窮積分與瑕積分斂散性的主要判別方法。第十二章數(shù)項級數(shù)第一節(jié)級數(shù)的收斂性第二節(jié)正項級數(shù)1.正項級數(shù)收斂性的一般判別原則2.比較判別法和根式判別法3.積分判別法4.拉貝判別法第三節(jié)一般項級數(shù)1.交錯級數(shù)2.絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)3.阿貝爾判別法與狄利克雷判別法教學重點、難點：數(shù)項級數(shù)收斂的概念與性質(zhì)，級數(shù)斂散性的判別。課程的考核要求：理解無窮級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的斂散性；熟悉幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。課程思政切入點：批判性思維復(fù)習思考題：1.如何選擇正項級數(shù)斂散性判別的方法？一般思路是什么？2.如何選擇一般項級數(shù)斂散性判別的方法？一般思路是什么？第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)第一節(jié)一致收斂性1.函數(shù)列及其一致收斂性2．函數(shù)項級數(shù)及其一致收斂性3．函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法第二節(jié)一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)1.一致收斂函數(shù)列2．函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)教學重點、難點：函數(shù)項級數(shù)收斂的概念與性質(zhì)，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的判別。課程的考核要求：掌握函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的收斂域、和函數(shù)與一致收斂、等概念；掌握函數(shù)列極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂性。課程思政切入點：學無止境、不斷探索復(fù)習思考題：1.函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的判別法有哪些？2.一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)有哪些？如何證明？第十四章冪級數(shù)第一節(jié)冪級數(shù)1.冪級數(shù)的收斂區(qū)間2.冪級數(shù)的性質(zhì)3.冪級數(shù)的運算第二節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開1.泰勒級數(shù)2.初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式教學重點、難點：冪級數(shù)的收斂域以及和函數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開課程的考核要求：理解冪級數(shù)、收斂半徑、收斂區(qū)間、泰勒級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域以及和函數(shù)的求法；掌握將一些函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般方法。課程思政切入點：整體與個體的關(guān)系、換一種視角認識世界復(fù)習思考題：1.如何求冪級數(shù)的收斂域？2.冪級數(shù)的和函數(shù)的求法有哪些？3.將函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般方法？第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第一節(jié)平面點集與多元函數(shù)1.平面點集2.上的完備性定理3.二元函數(shù)4.n元函數(shù)第二節(jié)二元函數(shù)的極限1.二元函數(shù)的極限2.累次極限第三節(jié)二元函數(shù)的連續(xù)性1.二元函數(shù)的連續(xù)性概念2.有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)教學重點、難點：二元函數(shù)的極限，重極限與累次極限的關(guān)系，二元函數(shù)的連續(xù)性。課程的考核要求：理解平面點集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性的概念；理解重極限與累次極限之間的關(guān)系；會計算一些簡單的二元函數(shù)極限；掌握有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。課程思政切入點：未知的世界需要不斷探索復(fù)習思考題：1.二元函數(shù)的極限的存在性的判斷。若極限存在，極限的求法有哪些？2.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其證明。第十七章多元函數(shù)微分學第一節(jié)可微性1.可微性與全微分2.偏導(dǎo)數(shù)3.可微性條件4.可微性幾何意義及應(yīng)用第二節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.復(fù)合函數(shù)的全微分第三節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第四節(jié)泰勒公式與極值問題1.高階偏導(dǎo)數(shù)2.中值定理和泰勒公式3.極值問題教學重點、難點：偏導(dǎo)數(shù)，全微分，多元函數(shù)與一元函數(shù)微分學區(qū)別課程的考核要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；理解泰勒公式；掌握函數(shù)的極值和最值的求法。課程思政切入點：科技興則民族興，科技強則國家強復(fù)習思考題：1.函數(shù)的全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系。2.如何判斷分段函數(shù)在分段點的可微性？3.多元函數(shù)極值和最值的求法。第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用第一節(jié)隱函數(shù)1.隱函數(shù)概念2.隱函數(shù)存在性條件的分析3.隱函數(shù)定理4.隱函數(shù)求導(dǎo)舉例第二節(jié)隱函數(shù)組1.隱函數(shù)組概念2.隱函數(shù)組定理3.反函數(shù)組與坐標變換第三節(jié)幾何應(yīng)用1.平面曲線的切線與法線2.空間曲線的切線與法平面3.曲面的切平面與法線第四節(jié)條件極值教學重點、難點：隱函數(shù)定理,拉格朗日乘數(shù)法課程的考核要求：理解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，掌握隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；掌握條件極值概念及求法。課程思政切入點：民族復(fù)興的理想和責任復(fù)習思考題：1.隱函數(shù)存在定理的條件和結(jié)論是什么？如何用之求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。2.條件極值的一般求法有哪些？舉例說明拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用步驟。第二十一章重積分第一節(jié)二重積分的概念1.平面圖形的面積2.二重積分的定義及其存在性3.二重積分的性質(zhì)第二節(jié)直角坐標系下二重積分的計算第三節(jié)曲線積分與線路的無關(guān)性1.格林公式2.曲線積分與路線的無關(guān)性第四節(jié)二重積分的變量變換1.二重積分的變量變換公式2.用極坐標計算二重積分第五節(jié)三重積分1.三重積分的概念2.化三重積分為累次積分3.三重積分換元法第六節(jié)重積分的應(yīng)用1.曲面的面積2.重心3.轉(zhuǎn)動慣量4.引力第七節(jié)n重積分第八節(jié)反常二重積分教學重點、難點：多重積分概念及計算，格林公式，曲線積分計算。課程的考核要求：熟練掌握二重積分、三重積分的概念、性質(zhì)；掌握直角坐標系下重積分的計算方法；熟練應(yīng)用變量代換法計算重積分，掌握極坐標下二重積分的計算方法和球坐標下三重積分的計算；了解重積分在幾何與物理方面簡單應(yīng)用；理解格林公式的意義和曲線積分與路徑無關(guān)的條件，掌握利用格林公式計算曲線積分的方法。課程思政切入點：民族復(fù)興的理想和責任復(fù)習思考題：1.比較二重積分、三重積分與定積分的概念和性質(zhì)的異同.2.總結(jié)重積分的計算方法.3.格林公式計算曲線積分的方法.五、考核方式、成績評定本課程采用閉卷考試的方式進行考核?？己顺煽儼ㄆ綍r成績與期末考試成績，其中平時成績（包括作業(yè)、考勤、課堂表現(xiàn)及期中考試）占40%，期末考試成績占60%。六、主要參考書及其他內(nèi)容教材華東師范大學數(shù)學系編著.數(shù)學分析(第五版)上、下冊.北京:高等教育出版社.2019年。教學參考書[1]WalterRudin著，趙慈庚，蔣鐸譯.《數(shù)學分析原理》（原書第三版）.北京：機械工業(yè)出版社