高二理科2-2學案(完好版)

§1.1.1變化率問題

學習目標

1.知識與技能平均變化率的概念;平均變化率的幾何意義；

2.過程與方法理解平均變化率的概念；

3.能利用平均變化率解決生活中的實際問題.

一、新課學習

問題1氣球膨脹率

我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣

球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢？

氣球的體積V(單位：L)與半徑，(單位:加)之間的函數(shù)關系是附=

如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么r(V)=

［3V

分析：r(V)=3—

V4乃

(1)當V從0增加到1時,氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為_______________________________________

(2)當V從1增加到2時,氣球半徑增加了

氣球的平均膨脹率為________________________________________

可以看出，隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.

思考：當空氣容量從匕增加到七時,氣球的平均膨脹率是多少？

問題2高臺跳水

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度力(單位：〃?)與起跳后的時間［(單

位：s)存在函數(shù)關系〃(/)=-4.9〃+6.5,+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速

v度粗略地描述其運動狀態(tài)？

思考計算：0W/W0.5和的平均速度；

在04/W0.5這段時間里，v=

在］W/W2這段時間里，v=_________________________

探究：計算運動員在04t＜竺這段時間里的平均速度,并思考以下問題：

49

(1)運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？

問題3：觀察函數(shù)y=/(x)的圖像，平均變化率"=/。2)-/(演)表示什么?

Axx2-x1

二、預習檢測

1.在平均變化率的定義中，自變量的增量Ar滿足()

A.Ar>0B.Ax<0C.AxwOD.Ar=0

2.已知/(X)=X2-3,當x從1變化到1.1時，Af

等于()

A.0.021B.0.21C.0.12D.0.1

3.已知函數(shù)y=9+5,則當苫印時，籌=

4.國家環(huán)?？偩謱﹂L期超標準排放污物，污染嚴重而又未進行治理的單位，規(guī)定出一定

期限，強令在此期限內(nèi)完成排污治理.右圖是國家環(huán)?？偩衷谝?guī)定的排污達標日期前，對

甲、乙兩家企業(yè)連續(xù)檢測的結果(W表示排污量)，哪個企業(yè)治理的效率比效較高？為什

么？

［合作探究］

探究點一：

［例1］已知函數(shù)/(x)=f2+X的圖象上的一點4—1,—2)及

臨近一點B(-l+Ax,-2+Ay)則包=.

Ax

［拓展提升］已知函數(shù)/(X)=/-3X+5,求函數(shù)/(x)從1到2的平均變化率.

［達標檢測］

1、已知函數(shù)y=x2+l,當x從1變化到1+Ar時，則包等于()

A.2B.2xC.2+ArD.2+(Ar)2

2.函數(shù)y=2/+5在區(qū)間［2,2+Ar］內(nèi)的平均變化率是.

3.質(zhì)點運動規(guī)律為s=*+3,則在時間(3,3+Z)中相應的平均速度為.

4.物體按照s(f)=3產(chǎn)+/+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.

5.求函數(shù)＞=/從％到%+Ar的平均變化率，并計算當天=1,Ax=g時平均變化率的值.

課堂小結:

學后反思:

1.1.2導數(shù)的概念

學習目標

1.通過對大量實例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念

的實際背景。

2.會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率。

3.會利用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導數(shù)。

學習重點導數(shù)概念的形成，導數(shù)內(nèi)涵的理解

學習難點在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數(shù)的內(nèi)涵

通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點

知識鏈接請同學們閱讀課本第2頁-第6頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

1.函數(shù)的變化率

(1)平均變化率

定義：函數(shù)y=f(x)從加到X2的平均變化率為,簡記作魯o

作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間上的變化快慢。

(2)瞬時變化率

定義：函數(shù)y=f(x)在*=也瞬時變化率是函數(shù)y=f(x)從盟到xM\x的平均變化率在

△x—0時的極限，即=.

作用：刻畫函數(shù)值在附近變化的快慢。

【合作探究】

2.導數(shù)的概念

一般地，函數(shù)產(chǎn)/1(*)在A=Xo處的稱為函數(shù)片/1(X)在尸胸處的導數(shù)，記

作，

即/(%)=________________________________

典型例題

例1求y"(*)=2/+1,在區(qū)間上，尤+入4上的平均變化率，并求當x。=l,Ax=g

時的平均變化率的值。

例2求函數(shù)y=f(*)=x-,在x=l處的導數(shù)。

X

達標訓練

1.自變量從與變到七時的函數(shù)值的增量與相應自變量的增量之比是函數(shù)()

A.在區(qū)間［%,X［上的平均變化率

B.在X。處的變化率

C.在內(nèi)處的變化量

D.在區(qū)間卜),為］上的導數(shù)

2.函數(shù)y=/u)在/處可導，則lim'g()

*->oh

A.與X。,人都有關

B.僅與尤。有關，而與萬無關

C.僅與h有關，而與xo無關

D.與X。,.h均無關

3.一個物體的運動方程為s⑺=1T+產(chǎn)，其中s的單位是m,t的單位是s,那么物體在3s

末的瞬時速度是()

A.7m/sB.6m/sC.5m/sD.8m/s

4.若已知函數(shù)y=/(x)=2竟的圖像上點P(l,2)及鄰近點Q(l+Ax,2+Ay),則包的

Ax

值為()

A.4B.4xC.4+2Ax2D.4+2AX

5.函數(shù)y=/(x)=x+」，在x=l處的導數(shù)是

x

能力提升

1.設質(zhì)點作直線運動，已知路程S是時間t的函數(shù)，s=3r+2f+l

(1)求從t=2到t=2+Z\t的平均速度，并求△1=1,△t=0.1,△t=0.01時的平均速度；

(2)求t=2時的瞬時速度。

2.航天飛機發(fā)射后的一段時間內(nèi)，第ts時的高度〃⑺=5/+30產(chǎn)+45f+4,其中h的單

位為m,t的單位為s.

(1)h(0),h(l)分別表示什么？

⑵求第1s內(nèi)高度的平均變化率；

⑶求第1s末高度的瞬時變化率，并說明它的意義。

課堂小結

學后反思

1.1.3導數(shù)的幾何意義

學習目標

1.了解導函數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義；

2.會求導函數(shù)；

3.根據(jù)導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程

學習重點導數(shù)的幾何意義

學習難點導數(shù)的幾何意義

知識鏈接請同學們閱讀課本第6頁-第9頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

1.曲線的切線的定義

當點p.沿著曲線無限接近點P時，割線PP“趨近于,這個確定的位置的直線

PT稱為曲線在點P處的?

2.導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f（X）在點x=X。處的等于在該點（X0,/U0））處的切線的，

即女"/'（X。）=lim/（/十-）-/（/）

【合作探究】

3.求曲線在一點（x0,/（x0））處的切線的一般步驟：

①求出函數(shù)在該點處的導數(shù)；

②用點斜式寫出切線方程為_________________________________

4.導函數(shù)的概念

從求函數(shù)丁=/（%）在彳=玉）處導數(shù)的過程可以看到，當x=x0時，/'（%）是一

個。這樣，當x變化時，/'（X）便是x的一個,我們稱它為/（x）

的。（簡稱—）。y=/（x）的導函數(shù)有時也記作—，即

典型例題

例1已知曲線C：y^-x2+-

33

（1）求曲線C上的橫坐標為2的點處的切線方程

（2）第（1）小題中的切線與曲線C是否還有其他的公共點？

達標訓練

1.已知函數(shù)y=/(x)在點(2,1)處的切線與直線3x-y-2=0平行，則y'|x=2等于()

A.-3B.-lC.3D.1

3.下列說法正確的是()

A.曲線的切線和曲線有且只有一個交點

B.過曲線上一點作曲線的切線，這點一定是切點

C.若/(%)不存在，則曲線y=/(x)在點(/,/(/))處無切線

D.若曲線y=/(x)在點(%,/(4))處有切線，則/'(々)不一定存在

1,3

4.已知曲線y=—/一2上一點P"一一),，則點P處的切線的傾斜角為()

22

A.300B.450C.1350D.1650

5.若曲線y=/(x)=2/-4x+p與直線y=l相切，則p=

能力提升

1.求證：函數(shù)y=f(x)=x+！，圖像上的各點處切線的斜率小于1。

X

X

2.已知函數(shù)y=/(%)=——1(a>0)的圖像在x=l處的切線為1,求I與兩坐標軸圍

a

成的三角形面積的最小值。

課堂小結

學后反思

1.2導數(shù)的計算

1.2.1幾個常用函數(shù)的導數(shù)

學習目標

1.用由定義求導數(shù)的三個步驟推導四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=y=—的導

x

數(shù)公式；

2.掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導數(shù).

學習重點四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=/、y=’的導數(shù)公式及應用

X

學習難點四種常見函數(shù)y=c、y=x、y=F、y=_L的導數(shù)公式

x

知識鏈接

請同學們閱讀課本內(nèi)容第12-14頁。

新課學習

【自主學習】

下面我們求幾個常用的函數(shù)的導數(shù).

1.求函數(shù)y=/(x)=c的導數(shù)

根據(jù)導數(shù)定義，因為包="x+Ax)-./(x)=二二0

AxAxAx

所以y'=lim^=limO=O

Ax->oA,AX—O

幾何意義：y=o表示函數(shù)y=c圖像上每一點處的切線的斜率都為0

物理意義：若y=c表示路程關于時間的函數(shù)，則y'=O可以解釋為某物體的瞬時速度始

終為0,即物體一直處于靜止狀態(tài).

2.求函數(shù)y=/(x)=x的導數(shù)

幾何意義：

物理意義：

3.求函數(shù),=/(幻=/的導數(shù)

幾何意義：

物理意義：

4.函數(shù)y=/(%)='的導數(shù)

X

函數(shù)導數(shù)

y=cy=0

y=xy=1

y=x2y=2x

【合作探究】11

小結：、二一

Xy=_7

推廣

y=nxn~x

y=/(x)=x"(〃eQ*)

達標訓練

1.求函數(shù)(1)y=\[x(2)y=x~2(3)y=x3的導數(shù)

2.對于函數(shù)y=F,其導數(shù)等于原來函數(shù)值的點是

3.課本%探究

4.課本P”探究

課堂小結

學后反思

1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（第一課時）

學習目標

1.熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；

2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù)

學習重點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、

學習難點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式的應用

知識鏈接請同學們閱讀課本第14頁T5頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

函數(shù)導數(shù)

y=c

f(x)=x"(neQ*)f(x)=

/(x)=sinxf(x)=

/(x)=cosx/(x)=

/(%)=?'/(x)=

fM=e'73=

y(x)=iogax/(x)=

/(x)=lnx/(x)=

典型例題

例1求下列函數(shù)的導數(shù)

(Dy=10;(2)y=x'°;(3)y=V?；(4)y=-yl=；(5)y=3*;(6)y=log3x

例2已知拋物線y=x2,求：

(1)拋物線上哪一點的切線的傾斜角為45。？

(2)拋物線上哪一點的切線平行于直線4x-y-2=0?

(3)拋物線上哪一點的切線垂直于直線x+8y-3=0?

達標訓練

1.下列結論正確的個數(shù)為()

117

l)y=ln25ljy=%；2)y==，則y|』=一言

2x27

3)y=2",則y'=TIn2;4)y=logx,則y=--—

2xln2

A.OB.lC.2D.3

2.已知/(x)=x3的切線的斜率等于i,則其切線方程有()

A.1個B.2個C.多于兩個D.不能確定

3.f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數(shù)，若f(x),g(x)滿足/(x)=g(X),則f(x)與g(x)

滿足()

A.f(x)=g(x)

B.f(x)-g(x)為常數(shù)函數(shù)

C.f(x)=g(x)=O

D.f(x)+g(x)為常數(shù)函數(shù)

4.已知命題p：函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；命題q：函數(shù)y=/(x)是一次函數(shù)，則

命題p是命題q的()

A.充分不必要條件B必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.設函數(shù)/(x)=logu=-1,則a=

6..設曲線y=￡F〃€N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為X”,令an=lgxn,

則6+%+…+%9的值為

能力提升

1.點p是曲線y=ex上任意一點，求點p到直線y=x的最小距離

2.求過曲線y==/上的點(1,1)的切線方程。

課堂小結

課后反思

1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(第二課時)

學習目標

1.熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；

2.掌握導數(shù)的四則運算法則；

3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).

學習重點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則

學習難點基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的應用

知識鏈接請同學們閱讀課本第15頁T6頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

(1)

導數(shù)運算法則

1.[/(x)±g(x)]=f'(x)±g\x)

2.[/(x>g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)

3'',~7~gr^(2~(g50)

(2)推論：[(/(x)]'=cf\x)

(常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù))

【合作探究】

典型例題

例1

求下列函數(shù)的導數(shù)

(1)y=%?tanx

(2)y=(x+l)(x+2)(x+3)

(4)y=xsinx-----

cosx

達標訓練

1.下列求導正確的是()

A.(XH—)'=1H——

XX

B.(log,x)'=——

-A-In2

C.(3x+ln3)=3sln3+l/3

I),(x2cosx)'=-2xsinx

2./(x)=a?+3/+2,若/(—1)=4,則a的值等于()

“1916c13n10

A,—Bn.—C.—D.—

3333

3.曲線y=xlnx在點(1,0)處的切線方程為()

A.y=2x+2B.y=2x-2

C.y=x-lD.y=x+1

4.已矢口f(x)=sinx-cosx,貝ijf/(x)=

5.求函數(shù)y=(x—。)(x—人)(X—c),的導數(shù)，得y二

能力提升

1.已知向量a=(2cos2,tan(2+口))3=(V2sin(—+—),tan(—--)),

2242424

令/Xx）=Z?兀是否存在實數(shù)xe[0”],使得/（x）+/'（尤）=0（其中

/'（X）是/1（X）的導函數(shù)）？若存在，求出X的值；若不存在，說明理由。

課堂小結

學后反思

1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(第三課時)

學習目標能運用復合函數(shù)的求導法則進行復合函數(shù)的求導

學習重點會求復合函數(shù)的導數(shù)。

學習難點在復合函數(shù)的求導過程中，中間變量的選取。

知識鏈接請同學們研讀課本16頁-17頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

1.復合函數(shù)的概念：

一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u),u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成,那

么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u),u=g(x)的復合函數(shù)，記作

2.復合函數(shù)的求導法則：

復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為yx=

即y對x的導數(shù)等于o

【合作探究】

3.思考：如何利用復合函數(shù)求導法則求復合函數(shù)的導數(shù)？

典型例題

例1試說明下列函數(shù)是怎樣復合而成的？

(1)y=(2-x2)3(2)y=sinx2

(3)y=cos(^-)-x(4)y=lnsin(3x-l)

4

例2求下列函數(shù)的導數(shù)

(1)=In—;(2)y=e3x

x

(4)y=esin(av+fe)

2

(5)y-sin(2x+(6)y=51og2(2x+l)

達標訓練

1函數(shù)片一二的導數(shù)是()

(3尤_1-

6666

A------------B-------------C--------D--------

(3x-l)37(3x-l)2(3x-1)r3(31)27

TT

2函數(shù)片sin3(3x+—)的導數(shù)為()

4

、7171,7171

A3sin2(3x+—)cos(3x+—)B9sin2(3x+—)cos(3x+—)

4444

71兀冗

C9sin2(3x+—)D—9sin2(3x+—)cos(3x+—)

44

3函數(shù)片cos(sinx)的導數(shù)為()

A—[sin(sinx)]cosxB-sin(sinx)

C[sin(sinx)]cosxDsin(cosx)

4函數(shù)片(l+sin3x)3是山_________________________________兩個函數(shù)復合而成,

5過曲線片一1一上點P(L-)

且與過P點的切線夾角最大的直線的方程為()

x+12

A2y—8x+7=0B2y+8x+7=0C2y+8x—9=0D2y—8x+9=0

6.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即/'(X)存在，且導函數(shù)/'(1)在D上也可導,

則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)，記/“(X)=(/'(X))',若/"(X)<0在D上恒成立,

則稱f(x)在D上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在(0,￡)上不是凸函數(shù)的是()

2

A./(x)=sinx+cosxB./(x)=Inx—2x

C.f(x)=-x3+2x-\D./(x)=-xe'x

能力提升

1已知函數(shù)片(x)是可導的周期函數(shù)，試求證其導函數(shù)片/'(x)也為周期函數(shù)

2若可導函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，求證：其導函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

課堂小結

學后反思

1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(理科)

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

學習目標

1.正確理解利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；

2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

3.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

學習重點利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性..

學習難點利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

知識鏈接請同學們閱讀課本第22頁-26頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

1.一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系：

設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)有導數(shù)，

若在這個區(qū)間內(nèi)<>0,那么函數(shù)y=%x)在這個區(qū)間內(nèi)；

若在這個區(qū)間內(nèi)<>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi).

【合作探究】

2.一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變

化得快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些。

3.如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有/'(x)=0,則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)

典型例題

例1已知函數(shù)y=f(x)的導數(shù)/'(X)滿足如下條件：

1)當x<-l或x>；時，./''(x)>0;

2)當-l<x<g時,/'(x)<0;

3)當x=-l,或x=；時，/'(幻=0。試畫出函數(shù)y=f(x)的大致圖像。

例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1)f(x)-x3-X；

2)/(x)=3x2-2Inx.

達標訓練

1.若函數(shù)y=Y-2歷c+6在(2,8)內(nèi)是增函數(shù)，則()

A.bW2B.b<2C.b22D.b>2

2.若在區(qū)間(a,b)內(nèi)有/'(x)>0,且f(a)》0,則在(a,b)區(qū)間內(nèi)有()

A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=OD.不能確定

3.已知/(X)=2COS2X+Lxe(O,%),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(萬,2%)B.(0,萬)C.(—,^)D.(0,—)

22

4.函數(shù)y=/(x)=In%-2)的遞增區(qū)間為

5.函數(shù)/。)=0?--+_￥-5在(一8,+oo)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

6.已知函數(shù)y=o?+6尤+i的遞增區(qū)間為(-2,3),求a,b的取值范圍。

能力提升

1.已知函數(shù)y=ax,與y=—2在(0,+oo)上都是減函數(shù),試確定函數(shù)y=axy+bx2+5的

X

單調(diào)區(qū)間。

2.已知函數(shù)/(x)=Inx,g(x)=gar2+2x,aN0。

若函數(shù)〃(x)=/(幻―g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍。

課堂小結

學后反思

1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)(理科)

學習目標

1.結合函數(shù)圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；

2.會用導數(shù)求函數(shù)的極大值，極小值。

學習重點極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟.

學習難點對極大、極小值概念的理解及求可導函數(shù)的極值的步驟.

知識鏈接請同學們閱讀課本第26頁-29頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

1.極大值點與極值

(1)極小值點與極小值

函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，/'(a)=0；而

且在x=a附近的左側,右側,則把點a叫做函數(shù)

y=f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值。

(2)極大值點與極大值

函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/,0)=0；

而且在點x=b附近的左側,右側,則把點b叫做

函數(shù)y=f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值。,統(tǒng)稱為極值

點，

和統(tǒng)稱為極值。

【合作探究】

2.求函數(shù)y=f(x)的極值的方法：

1.解方程f/(x0)=02.觀察y=f/(x)在x0附近左右兩側函數(shù)值的正負

(1)如果在X。附近的左側/'(x)>0,右側/'(x)<0,那么/(X。)是；

(2)如果在x。附近的左側/'(x)<0,右側/'(x)>0,那么/(X。)是；

典型例題

例1求下列函數(shù)的極值：

(1)f(x)=x3-12x;

”、Inx

⑵/(x)=---

X

例2已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2^x=-l時有極值0,求常數(shù)a,b的值。

達標訓練

L函數(shù)/(x)=—3/+5X2+2尤取極小值時，x的值是()

A.2B.2,-1C.-lD.-3

2.已知函數(shù)/(x)=Y—pF一”的圖像與x軸相切于(1,0),則極小值為()

45

A.OB.--------C.-------D.1

2727

9

4*〃

3.若函數(shù)/(%)=，在x=l處取得極值，則a=______________

x+1

4.已知函數(shù)y=田？+法2,當x=i時，有極大值3

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)y的極小值。

能力提升

設函數(shù)/(幻=2/+以2+以+1的導數(shù)為:(幻，若函數(shù)y=/'(x)的圖像關于直線

x=—g對稱，且廣⑴=0.

(1)求實數(shù)a,b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值。

課堂小結

學后反思

1.3.3函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)（理科）

學習目標

1.理解最值的概念，了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別和聯(lián)系。

2.會用導數(shù)求出給定區(qū)間上函數(shù)的最大值，最小值。

學習重點利用導數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法.

學習難點函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系.

知識鏈接請同學們閱讀課本第29頁-31頁的內(nèi)容

新課學習

【自主學習】

1.函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最值

一般地，如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有

和

，并且函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點取得。

【合作探究】

2.求函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值和最小值的步驟

(1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的

(2)求函數(shù)y=f(x)的各極值與的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是,

最小的一個是

典型例題

例1求下列函數(shù)的最值。

(1)/(%)=2x3-12x,xe［-l,3］；

(2)/(x)=—x+sinx,xe[0,2乃]

例2已知/(x)=ax3-6ax2+b,問是否存在實數(shù)a,b使f(x)在上取最大值3,最小

值-29?若存在，求出a,b的值；若不存在，說明理由。

達標訓練

1.設f(x)是｛a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且在(a,b)內(nèi)可導，則下列結論正確的是()

A.f(x)的極值點一定是最值點

B.f(x)的最值點一定是極值點

C.f(x)在此區(qū)間上可能沒有極值點

D..f(x)在此區(qū)間上可能沒有最值點

2,若函數(shù)/(x)=-/+3/+9X+”在區(qū)間12,山上的最大值為2,則它在該區(qū)間上的最

小值為()

A.-5B.7C.10D.-19

3.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M,最小值是m,若M二m,則/"(%)()

A.等于0B.大于0C.小于0D以上都有可能

4對于R上可導的任意函數(shù)f(x),若滿足(X—1)?/(x)>0,則必有()

A./(0)+/(2)<2/(l)

B./(0)+/(2)<2/(l)

C./(0)+/(2)>2/(1)

D./(0)+/(2)>2/(1)

能力提升

1.已知函數(shù)f(x)=ax3+x2+bx(其中常數(shù)a,beR),g(x)=f(x)+/'(x)是奇函數(shù)。

(1)求f(x)的表達式；

(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間口,2]上的最大值與最小值。

課堂小結

學后反思

導數(shù)的綜合應用(第一課時)

題型一、利用導數(shù)求切線的斜率

【例1】求曲線y=x/+2x+l在(0,])處的切線方程

【點撥】利用切點在曲線上，又曲線在切點處的切線的斜率為曲線在該點處的導數(shù)來列

方程，即可求得切點的坐標.

y=-x3+-

【變式訓練】1、求己知曲線33則過點Q,4)的切線方程

2、函數(shù)y=f(x)的在點p(3,m)處的切線方程是y=-x+5,則/(3)+/(3)=------

3、設P為曲線C:丁=/+2%+3上的點，且曲線c在點p處的切線傾斜角的取值范圍

為L一。凹彳」，則點P橫坐標的取值范圍為()

-1--1]1J

A['2」B[-1,0]c[0,1]D[2)

題型二求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

g(x)=—+aInx(aeR)

【例1】已知函數(shù)》，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間

【變式訓練】已知函數(shù)/(x)=/+lnx-ax在91)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.

【點撥】當f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)時=f(x)20在(a,b)上恒成立；同樣，當函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)時W，(x)S0在(a,b)上恒成立,然后就要根據(jù)不等式恒成立的條件來

求參數(shù)的取值范圍了.

題型三求函數(shù)的最值

f(x)-x3--x2+1

【例】已知2求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］的最小值

變式訓練求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］的最大值

能力提高1.已知函數(shù)人對二111》一社2+(2-a)x

(1)當a=0時求函數(shù)f(x)在點(1,2)處的切線方程

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性

2.已知函數(shù)/(x)=V一”一+1在區(qū)間(0,4)為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。

課時小結

導數(shù)的綜合應用（第二課時）

題型四利用函數(shù)的最值解決恒成立問題

32

f（x）=x--x+6x、n

【例】1、已知函數(shù)2對于任意實數(shù)X,J（幻一恒成立求m

的取值范圍

【例】2、已知函數(shù)/(/=混-3(加+1)/+(3加+6次+1其中01<0當》引-1,1］時函

數(shù)y=f(x)的圖像上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍

能力提升

r/\13,1216

/(x)=—xH—x+-------

1、已知函數(shù),32，當0<a<2時,f(x)在［1,4］上的最小值為3,求

在該區(qū)間上的最大值。

2、已知函數(shù)/(x)=x3+3ox-l,g(x)=r(x)一以-5,其中尸。)是日)的導函數(shù)，對

于滿足一IWaWl的一切a的值，都有g(x)<0,求實數(shù)x的取值范圍

題型五函數(shù)的零點個數(shù)

例1、設函數(shù)/(x)=x2-mlnx,h(x)=x2—x+a。當m=2時，若函數(shù)k(x)=/(x)-h(x)在口,3]

上恰有兩個不同零點，求實數(shù)。的取值范圍。

1、若〃>2,則函數(shù)1力=$一62+1在區(qū)間(0,2)上恰好有()

A.0個零點B.1個零點C.2個零點D.3個零點

2、若函數(shù)人力三^—3x+a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

題型六利用函數(shù)證明不等式

1(2011,遼寧文科)設函數(shù)/(x)=x+ax2+binx,曲線y=/(x)過P(1.0),

且在P點處的切線斜率為2.

(1)求a,匕的值；

(2)證明：/(%)<2x-2?

h

2.(2011?課標全國卷文科)己知函數(shù)/(幻=2/7I吐nr+±,曲線y=/(x)在點(1,/(I))

X+1X

處的切線方程為x+2y-3=0。

(1)求a,h的值；

Inx

(2)證明：當x>0,且時，/(%)>——

x-\

課時小結

1.4生活中的優(yōu)化問題舉例（理科）

學習目標

1.通過實例體會導數(shù)在解決實際問題中的作用；

2.掌握利用導數(shù)解決某些實際問題的方法，能夠利用導數(shù)解決簡單的實際生活中

的優(yōu)化問題。

學習重點求實際問題的最值時，一定要從問題的實際意義去考察，不符合實際意義的理

論值應予舍去。

學習難點在實際問題中，有/（幻=°常常僅解到一個根，若能判斷函數(shù)的最大（小）

值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大（小）值。

知識鏈接請同學們閱讀課本第34頁-36頁的內(nèi)容。

新課學習

【自主學習】

1.生活中經(jīng)常遇到求,，等問題，這些問題通常

稱為優(yōu)化問題。

2.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是

3.解決優(yōu)化問題的基本思路

上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的過程。

思考：解決優(yōu)化問題的一般步驟是什么？

【合作探究】

題型一幾何中的面積，容積最值問題

例題1用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制容器的底面的一邊

長比另一邊長長0.5m,那么高為多少時，容器的容積最大？并求它的最大容積。

題型二利潤最大問題

思考：（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）

是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？

例題2：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0-8乃/分，其中

「是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制

造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm

問題：（1）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子的半徑多大時,

每瓶的利潤最??？

達標訓練

將8分為兩個非負數(shù)之和，使其立方和最小，則應分為（）

A.2和6B.4和4C.3和5D,以上都不對

二.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關系式

為了=一:％3+8尻一234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為（）

A.13萬件B.11萬件C.9萬件D.7萬件

三.某廠要圍建一個面積為512平方米得矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他

三邊要砌新墻，當砌新墻所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為（）

A.32米，16米B.30米，15米

C.40米，20米D.36米，18米

四.做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使水桶的體積是27%,且用料最省，則水桶的底面

半徑為—

能力提升

1.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知速度為10海里/小時，燃料

費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元，問輪船的速度是多少時，航

行1海里所需的費用總和最小？

課后小結

學后反思

1.5.1曲邊梯形的面積（理科）

學習目標：

（1）了解定積分的實際背景。

（2）了解“以直代曲”的思想方法。

（3）會求曲邊梯形的面積。

重點難點：

（1）了解“以直代曲”的思想方法。

（2）會求曲邊梯形的面積。

知識鏈接：

閱讀課本68fM2頁。

新課學習：

［自主學習］

1連續(xù)函數(shù)

一般地，如果函數(shù)丫=/⑴在某個區(qū)間I上的圖象是一條的曲線，那么就把它

稱為區(qū)間I上的函數(shù)。

練一練：

1下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)不是連續(xù)函數(shù)的是（）

A/(x)=WB/(x)=sinxC/,(%)=1gx—1D

r,fx2,x>0

—x+1,x<0

2曲邊梯形的面積

(1)曲邊梯形：由直線x=a,x=b(a#b),y=O和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形

(2)求曲邊梯形面積的方法與步驟：

①分割：把區(qū)間分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些

②近似代替：對每個小曲邊梯形“"，即用的面積近似代替小曲邊梯

形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的

③求和：以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值_____；

④取極限：當小曲邊梯形的個數(shù)趨向無窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向一

個,即為曲邊梯形的面積。

「Iz1

練一■練：1函數(shù)/(力=%2在區(qū)間---，一上()

Af(x)的值變化很小Bf(x)的值變化很大

Cf(x)的值不變化D當n很大時，f(x)的值變化很小

2

2求由拋物線/(%)=x,直線x=l以及x軸所圍成的平面圖形的面積時，若將區(qū)間

［0/5等分，以小區(qū)間中點的縱坐標為高，所有小矩形的面積之和為。

［合作探究］

例1：求由直線x=l,x=2和y=0及曲線y=/所圍成的曲邊梯形的面積。

達標檢測：

1把區(qū)間［l,3］n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為()

1231

A—B—C—D—

nnn2n

)「Ii

2當n的值很大時，函數(shù)/在區(qū)間一上的值，可以用下列函數(shù)值近似代替

nn

的是()A/(I)B/(2)C/(與D

nn〃八i”

5

3和式Z(%+1)可表示為()

i=l

A()|+l)+(>5+1)

B-+為+%+以+%+1

C月+為+%+九+%+5

D(%+i)(%+1)...(y5+i)

4在區(qū)間［0,8］上插入9個等分點之后，則所分的小區(qū)間長度△*=,第5個小區(qū)

間是。

課堂小結：

課后反思：