3.4 質數與合數（學霸課堂筆記）-2023-2024學年數學五年級下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.4質數與合數第一部分第一部分學問清單一個數，假如只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數（或素數）。如2、3、5都是質數。一個數，假如除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數。如4、6、9都是合數。1的因數只有1個。1既不是質數，也不是合數。質數與合數的個數都是無限的，沒有最大的質數或合數。最小的質數是2，最小的合數是4。其中，2是唯一一個既是偶數又是質數的數。自然數（不包括0）可以分成質數、合數和1三大類。其次部分其次部分典型例題例1：將分別標有1、2、3、4、5的五張卡片放在一個口袋里，從口袋里任意摸出一張，摸后放回，下面（

）說法是正確的。A．摸到奇數的可能性比偶數的大 B．摸到偶數的可能性最大C．摸到質數的可能性最小 D．摸到合數的可能性最大答案：A分析：找出1、2、3、4、5中奇數、偶數、質數、合數的個數，再依據數量的多少進行比較，數量最多的，摸到的可能性最大，數量最少的，摸到的可能性最小，數量相等的，摸到的可能性一樣。詳解：五張卡片中奇數有1、3、5共3個；偶數有2、4共2個；質數有2、3、5共3個；合數只有4共1個。3＝3＞2＞1所以摸到奇數、質數的可能性相等，摸到偶數的可能性居中，摸到合數的可能性最小。故答案為：A點睛：本題主要考查可能性的大小，找格外數、偶數、質數、合數的個數是解題的關鍵。例2：甲數是一個質數，乙數是一個合數，它們的和是11，甲、乙兩數相乘的積最小是()，把這個乘積分解質因數是()。答案：1818＝2×3×3分析：一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數。一個數除了1和它本身兩個因數，還有其他的因數，這個數叫做合數。先把11拆分兩個數相加，找出符合題意的全部狀況，再找出最小的積即可；分解質因數是將合數寫成幾個質數相乘的形式表示出來。據此解答。詳解：11＝1＋10＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6符合題意的只有2＋9、3＋8、4＋7、5＋6；2×9＝183×8＝244×7＝285×6＝3018＜24＜28＜3018＝2×3×3甲數是一個質數，乙數是一個合數，它們的和是11，甲、乙兩數相乘的積最小是18，把這個乘積分解質因數是18＝2×3×3。點睛：本題主要考查了質數、合數以及分解質因數的生疏和應用，要嫻熟把握每個學問點。例3：兩個質數的和不肯定是合數。()答案：√分析：在自然數中，除了1和它本身外，沒有別的因數的數為質數，比如3，只有1和它本身這兩個因數，所以3是質數；一個大于1的自然數，除了1和它自身外，還能整除其他自然數的數，即除了1和它本身以外還有其他因數，這樣的數叫合數，通過對質數和合數的生疏解題即可。詳解：由分析可得：比如質數2和3，它們的和為：2＋3＝55，只有1和它本身兩個因數，所以5也是質數，由此可見，兩個質數的和不肯定是合數。故答案為：√點睛：本題考查的是質數和合數的有關學問，需要嫻熟把握概念，同時不能光死記硬背概念，而是要把對概念的理解，嫻熟的運用到題目中來。例4：哥哥和妹妹的年齡是兩個質數，已知這兩個質數的積是85，則哥哥和妹妹分別是多少歲？答案：哥哥17歲：妹妹5歲分析：把85寫成兩個質數相乘，其中較大的數是哥哥的年齡，較小的數是妹妹的年齡。詳解：85＝17×5，所以哥哥17歲，妹妹5歲。答：哥哥17歲，妹妹5歲。點睛：解答此題的關鍵在于知道85是兩個質數17和5的積。：基礎過關練一、選擇題1．假如a、b為非0自然數，那么3a＋3b的結果肯定是（

）。A．奇數 B．偶數 C．質數 D．合數2．學校階段學了很多數學學問，它們之間有親密的聯系。下列不能正確表示它們之間關系的是（

）。A． B． C．3．有名的“哥德巴赫猜想”被喻為“數學皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數都是兩個質數之和。下列3個算式中，符合這個猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．40＝23＋17 C．20＝9＋114．將分別標有數字2、3、4、5、6、7的六個同樣小球放在一個不透亮?????的袋子里，從袋子里任意摸出一個球，摸到標有（

）的球可能性最小。A．奇數 B．偶數 C．質數 D．合數5．哥德巴赫猜想被譽為“數學皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數都可以寫成兩個質數之和，下面的式子中反映這個猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝7＋47二、填空題6．在括號里填不同的質數。20＝()＋()

20＝()＋()7．已知，均為質數，且＝32，那么與的乘積最小是()，最大是()。8．一個四位數，它個位上的數是最大的一位數，十位上的數是最小的合數，百位上的數是合數且是奇數，千位上最小的質數，這個四位數是()。9．在1，2，17，27，49，70，87，97中，質數有()個，把70分解質因數是()。10．“哥德巴赫猜想”被喻為“數學皇冠上的明珠”。該猜想認為：任何大于4的偶數都是兩個奇質數之和。依據這個猜想，16＝()＋()＝()＋()。11．端午節(jié)期間，小明和爸爸去大洋灣觀看龍舟賽。入住酒店后，小明問爸爸：“我們的房間號是多少？”爸爸說：“房間號由三個數字組成，第一個數字代表樓層，它既是質數又是偶數；后面兩個數字代表房間挨次，它是20以內最大的奇數。”小明和爸爸的房間號是()。三、推斷題12．一個自然數，不是質數就是合數。()13．若正方形的邊長是質數，則它的面積是合數。()14．最小的合數是最小的質數的2倍。()15．質數加上1就可以變成合數。()16．哥德巴赫猜想是任何一個數都可以拆成兩個質數相加。()：培優(yōu)提升練四、解答題17．下面括號中被除數是大于6的質數。（1）試舉例，并算出商和余數。（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（

）÷6＝（

）……（

）

（

）÷6＝（

）……（

）（2）發(fā)覺：上面（

）÷6的余數是哪些數？（

）（3）用所學學問解釋說明為什么余數不行能是其他的數？18．五（1）的同學在學習《蒜葉的生長》時，栽種了幾行大蒜，每行的棵數一樣多，四位同學一起數大蒜的棵數，只有一個人數對了，你知道是誰嗎？你是怎樣想的？請加以說明。姓名佳峰宇陽言麗玉梁棵數4143454719．按要求填一填。(1)德國數學家哥德巴赫提出猜想：“全部大于2的偶數，都可以表示為兩個質數的和”。該猜想成為數學中的一個有名的難題，被稱為“數學皇冠上的明珠”。下面符合這個猜想的是（

）。A．20＝2＋18 B．20＝3＋17C．20＝5＋15 D．20＝11＋9(2)請你仿照上面正確的例子填寫：30＝()＋()，40＝()＋()。(3)從這個猜想又可推出：任意一個大于5的奇數都可以寫成三個質數之和，如：11＝3＋3＋5，21＝3＋5＋13。請你再寫三個符合猜想的算式。()＝()＋()＋()()＝()＋()＋()20．下面的數，哪些是質數，哪些是合數？21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

47

1．D分析：奇數：末尾是1、3、5、7、9的數是奇數；偶數：末尾是0、2、4、6、8的數是偶數；質數：除了1和它本身，沒有其它因數的數是質數；合數：1和它本身，還有其它因數的是數合數。據此即可逐項分析。詳解：A．當a＝2，b＝4，則3a＋3b＝3×2＋3×4＝6＋12＝18；18是偶數，不符合；B．當a＝1，b＝2，則3a＋3b＝3×1＋3×2＝3＋6＝9；9是奇數；不符合；C．由于3a＋3b＝3×（a＋b），那么這個數的積肯定是3的倍數，所以它不是質數；D．3a＋3b＝3×（a＋b），這個數有因數3，它肯定是合數。故答案為：D點睛：本題主要考查奇數、偶數、質數、合數的意義，嫻熟把握它們的含義是解題的關鍵。2．A分析：合數：除了1和它本身，還有其它因數的數是合數；偶數：能被2整除的數是偶數；等腰三角形：兩條邊相等的三角形是等腰三角形；正三角形：三條邊相等的三角形是正三角形；正三角形是特殊的等腰三角形；方程：含有未知數的等式就是方程；方程是等式，等式不是方程，據此即可逐項分析。詳解：A．偶數和合數不是包含關系，2是偶數，但不是合數，所以選項A不能表示它們之間的關系。B．等腰三角形兩腰相等，兩個底角相等，當三條邊都相等時，就變成了正三角形，所以B能表示它們之間的關系。C．方程是等式，是含有未知數的等式，所以選項C能表示它們之間的關系。故答案為：A點睛：解答本題需嫻熟把握分類標準，明確分類方法。3．B分析：整數中，是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數，在自然數中，除了1和它本身外，沒有別的因數的數為質數，比如3，只有1和它本身這兩個因數，所以3是質數，據此解答即可。詳解：由分析可得：A．4＝1＋3，1不是質數，所以不符合題意；B．40＝23＋17中，23和17都是質數，所以符合題意；C．20＝9＋11中，9不是質數，其有1、3、9三個因數，所以不符合題意；故答案為：B點睛：本題考查了質數和偶數的概念，生疏概念的同時也要會結合題目機敏運用。4．D分析：在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數；一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數；一個數除了1和它本身兩個因數，還有其他的因數，這個數叫做合數。不確定大事發(fā)生的可能性的大小與事物的數量有關，數量越多，可能性越大，反之則越小。所以合數最少，摸到標有合數的球可能性最小。詳解：奇數有3、5、7，共3個；偶數有2、4、6，共3個；質數有2、3、5、7，共4個；合數有4、6，共2個。2＜3＜4合數最少，摸到標有合數的球可能性最小。故答案為：D點睛：本題主要考查可能性大小的推斷，理解不確定大事發(fā)生的可能性的大小與事物的數量有關。5．C分析：依據質數的定義，除了1和它本身外，沒有其它因數的數叫質數；是2的倍數是數是偶數，不是2的倍數的數是奇數，依據題意“這個猜想的內容是任何大于2的偶數都是兩個質數之和”進行推斷逐項分析即可。詳解：A．“4＝1＋3”中1既不是質數，也不是合數，不符合猜想；B．“13＝2＋11”中13是奇數，不是偶數，不符合猜想；C．“54＝7＋47”中54是偶數，7和47是質數，符合猜想；故答案為：C點睛：此題考查了質數的意義以及拓展應用，要嫻熟把握嫻熟把握質數的意義是解答本題的關鍵。6．317713分析：一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫做質數。一個數除了1和它本身兩個因數，還有其他的因數，這個數叫做合數。1既不是質數也不是合數，據此解答。詳解：由分析可知：20＝3＋1720＝7＋13點睛：本題考查了質數的生疏以及應用，把握質數的定義是解答本題的關鍵。7．87247分析：一個數的因數只有1和它本身兩個因數，這樣的數就是質數；找到和是32的兩個質數，然后把它們相乘即可。詳解：32＝3＋29；32＝13＋193×29＝87；13×19＝247所以m與n的乘積最小是87，最大是247。點睛：本題考查質數，明確質數的定義是解題的關鍵。8．2949分析：最大的一位數是9；依據合數的意義：在自然數中，除了1和它本身還有別的因數的數是合數；最小的合數是4；百位上的數是合數且是奇數，即百位上是9，在自然數中，除了1和它本身，沒有別的因數的數是質數，最小的質數是2，由此即可解答。詳解：由分析可知：這個四位數是：2949。點睛：本題主要考查質數、合數的意義，嫻熟把握它們的意義并機敏運用。9．370＝2×5×7分析：只有1和它本身兩個因數的數叫做質數，除了1和它本身還有其它因數的數叫做合數，據此推斷在1，2，17，27，49，70，87，97中質數的個數；把一個合數分解成若干個質因數的乘積的形式，即求質因數的過程叫做分解質因數；據此解答。詳解：在1，2，17，27，49，70，87，97中，2、17、97是質數，所以在1，2，17，27，49，70，87，97中，質數有3個。70＝2×5×7，所以把70分解質因數是70＝2×5×7。點睛：本題考查質數的生疏及合數分解質因數的方法。10．313511分析：整數中，是2的倍數的數叫偶數，不是2的倍數的數叫奇數；除了1和它本身之外沒有其它因數，這樣的數叫質數。據此將16分成兩個奇質數的和即可。詳解：16＝3＋13＝5＋11點睛：關鍵是理解奇數、偶數、質數、合數的分類標準。11．219分析：一個數，假如只有1和它本身兩個因數，那么這樣的數叫做質數；一個數，假如除了1和它本身還有別的因數，那么這樣的數叫做合數；整數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數。詳解：第一個數字代表樓層，它既是質數又是偶數，即2；后面兩個數字代表房間挨次，它是20以內最大的奇數，即19；小明和爸爸的房間號是219。點睛：本題考查質數、偶數與奇數的意義及應用，明確2是最小的質數，也是偶數中唯一的質數。12．×分析：一個數只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數。一個數的因數除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數，1既不是質數，又不是合數。據此推斷即可。詳解：由分析可知：1是自然數，它既不是質數也不是合數，原題說法錯誤。故答案為：×點睛：本題考查質數和合數，明確質數和合數的定義是解題的關鍵。13．√分析：正方形面積＝邊長×邊長；除了1和本身還有別的因數的數，是合數。據此分析推斷。詳解：由于正方形面積＝邊長×邊長，所以正方形的面積至少有3個因數，分別為1、本身和邊長。所以，若正方形的邊長是質數，則它的面積是合數。故答案為：√點睛：本題考查了質數和合數、正方形的面積，把握面積公式、質數和合數的定義是解題的關鍵。14．√分析：質數：除了1和它本身，沒有其它因數的數是質數；合數：除了1和它本身，還有其它因數的數是合數；最小的質數是2，最小的合數是4，用4除以2即可推斷。詳解：由分析可知：4÷2＝2最小的合數是最小的質數的2倍，原題說法正確。故答案為：√點睛：本題主要考查質數和合數的意義，嫻熟把握它的意義是解題的關鍵。15．×分析：自然數中除了1和它本身以外，不含其它因數的數是質數；除了1和它本身外，還含有其它因數的數是合數；據此舉例，繼而得出結論。詳解：如：2是質數，2＋1＝3，而3是質數，所以全部的質數加上1后都是合數說法錯誤。故答案為：×點睛：解答此題應依據質數和合數的含義，并結合題意，舉例說明即可。16．×詳解：200百多年前，德國數學家哥德巴赫猜想發(fā)覺每一個大于4的偶數都可以表示成兩個奇質數之和；同時，歐拉又補充指出：任何大于2的偶數都是兩個質數之和；后來這兩個命題被合稱為“哥德巴赫猜想”；原說法中沒有限定“任何大于2的偶數”，所以說法錯誤。故答案為：×17．（1）7；1；111；1；513；2；117；2；519；3；123；3；5（2）大于6的質數；1或5（3）見詳解分析：（1）一個數，只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數，找出大于6的質數，計算出商和余數；（2）依據大于6的質數÷6，得到余數進行解答；（3）依據余數是其他數，那么被除數就不行能是質數，據此解答。詳解：（1）試舉例，并算出商和余數。（7）÷6＝1…1

（11）÷6＝1…5（13）÷6＝2…1

（17）÷6＝2…5（19）÷6＝3…1

（23）÷6＝3…5（2）發(fā)覺：上面（大于6的質數）÷6的余數是（1或5）。（3）大于6的質數做被除數余數不能為2和3、4，若余數是2或4，則被除數是偶數，不是質數；若余數為3，那么被除數肯定能整除3，也不是質數，所以余數只能是1或5，不行能是其他數。點睛：嫻熟把握質數的意義以及偶數